不等式复习课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不等式 例 若a>b,则(　 　) A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b| 考向一　不等式的性质 ∵a>b, ∴a-b>0,取a-b=1,则ln(a-b)=0,故A错误. 由y=3x在R上单调递增可知3a>3b,故B错误. 由y=x3在R上是增函数可知a3>b3,故C正确. 取a=0,b=-1,则|a|<|b|,故D错误. C 2 3 2 1 总结提升 当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 解决不等式性质问题常用的三种方法 直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件; 利用特殊值法排除错误答案; 跟踪训练 (2023东北三省四市模拟)设a,b均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 a>|b|能推出a>b,进而得出a3>b3; 当a3>b3时,有a>b,但若b<a<0,则a>|b|不成立, 所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要条件. A 考向二　不等式的解法及“三个二次的关系” 例 (2023安徽江南十校检测)已知集合A={x|3x<x+4},B={x|x2-8x+7<0},则A∩B=(　 　) A.(-1,2) B.(2,7) C.(2,+∞) D.(1,2) A={x|3x<x+4}={x|x<2}, B={x|x2-8x+7<0}={x|1<x<7}, 所以A∩B={x|1<x<2}. D 三个二次的关系 总结提升 1.一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点,也是相应的一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应的二次函数图象的开口方向及与x轴的交点的横坐标,可以通过代入根或根与系数的关系求待定系数. 跟踪训练 (2023天津模拟)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞), 则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　) A.(-∞,-1)∪(3,+∞)   B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) C ∵关于x的不等式ax-b<0即ax<b的解集是(1,+∞), ∴a=b<0, ∴不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0, 解得-1<x<3, ∴所求不等式的解集是(-1,3). 考向三　不等式的恒成立问题 例 若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围是(    　) A. B.   C. D. ∪{2} 例 若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围是(    　) A. B. C. D. ∪{2} 综上, 实数a的取值范围是. 当a2-4=0时, 解得a=2或a=-2, 当a=2时,不等式可化为4x-1≥0,解集不是空集,不符合题意; 当a=-2时,不等式可化为-1≥0,解集为空集,符合题意. 当a2-4≠0时,要使不等式的解集为空集, 则得-2<a< . B 不等式恒成立问题解题策略 总结提升 1.对于一元二次不等式的恒成立问题,不等式恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间中全部在x轴上方,不等式恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间中全部在x轴下方.此类问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值的问题. 2.解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 跟踪训练 (2020山东枣庄高三模拟)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3], f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是　　　　　 　     . 当m>0时, g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m< ,则0<m< . 若f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 令g(x)=m +m-6, x∈[1,3]. 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述, m的取值范围是. 考向四　基本不等式及其应用 例 (2020重庆高三调研)已知a,b>0,a+2b=2,则+的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.[2,+∞) C.[+1,+∞) D.[2,+∞) 由题意得,  + = + = + +1≥2+1= +1,当且仅当= ,即a=2-2, b=2-时等号成立. C 例 (2020诸暨高三适应性考试)已知log2(a+4b)=2log2(2),则a+b的最小值是(　 　) A.2 B. +1 C. D. ∵log2(a+4b)=2log2(2), ∴a+4b=4ab,且则a>0,b>0,且+ =1, ∴a+b=(a+b)· =1+ + + ≥  +2 =  , 当且仅当  = ,即a=  ,b= 时,等号成立. C 总结提升 (1)凑项：通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积或和为定值. (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解,则可通过凑系数得到和或积为定值,从而可利用基本不等式求最值. (3)换元：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开,即化为y=m+ +Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式求最值. 基本不等式求最值的三种解题技巧   运用基本不等式时,一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”. “一正”是指“正数”; “二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值; “三相等”是指满足等号成立的条件. 若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致,否则取不到最值. 易错提醒 跟踪训练 (2020南昌二中高三模拟)若两个正实数x,y满足+ =2,且不等式x+ <m2-m有解,则实数m的取值范围是(　　) A.(-1,2) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-2,1) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) D 则由m2-m>2得m2-m-2>0,即(m+1)(m-2)>0, 若不等式x+ <m2-m有解,则m2-m> , ∵  + =2, ∴ + =1, 则x+ = = + + + ≥1+2 =1+2×=1+2× =2, 当且仅当= ,即x=1,y=4时取等号,即=2, 即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 解得m>2或m<-1, 通过本节课，你学会了什么？ $$