期中测试卷02（测试范围：第1-3章）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

2024-2025年高一数学上学期期中测试卷02（测试范围：第1-3章） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 5．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．27 B．81 C．6 D．9 7．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．函数的大致图像为（    ） A． B． C． D． 11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若实数a，b满足，则的最小值为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，则它的真子集有 个 13．已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 14．用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．已知，，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 17．如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 18．已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 19．已知二次函数，，.若有，我们就称为函数的一阶不动点；若有，我们就称为函数的二阶不动点. (1)求证：； (2)若函数具有一阶不动点，求的取值范围； (3)若函数具有二阶不动点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年高一数学上学期期中测试卷02（测试范围：第1-3章） 一､选择题 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义求解即可. 【解析】因为，所以， 则，故B正确. 故选：B 2．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】且. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选B. 3．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得. 【解析】函数、在R上单调递增，AB不是； 函数在上单调递增，C不是； 函数在上单调递减，D是. 故选：D 4．若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 【答案】D 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【解析】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为，所以在上为减函数，错误； 对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误； 对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误； 对于D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，正确. 故选：D 5．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式解的情况得到，，代入求解不等式即可. 【解析】由题意得是方程两根，且，则， 则，所以不等式，即，所以， 故选：D. 6．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．27 B．81 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值. 【解析】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，所以. 故选：B 7．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【解析】由题意可知，解不等式得. 故选：D 8．已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在处取到最小值计算即可. 【解析】因为时，， 所以要使是的最小值，则， 又当时，， 当且仅当时取等号， 所以，又因为， 所以. 故答案为：C 二、多选题 9．下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AB 【分析】根据函数的定义判断． 【解析】由函数解析式知ABD中两个函数的定义域都是，只有C中定义域是，的定义域是，它不是同一函数， 对A对应法则都是求绝对值，是同一函数，对B，对应法则都是求立方运算，是同一函数，对D，一个对应自变量本身，一个对应的是自变量加1，对应法则不同，不是同一函数． 故选：AB． 10．函数的大致图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可得到结果. 【解析】当时，，对应选项A; 当时，当时，，为对勾函数的一部分， 当时，单调递减，对应选项B; 当时，当时，单调递增， 当时，，其中为对勾函数的一部分，对应选项D. 故选:ABD 11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若实数a，b满足，则的最小值为2 【答案】CD 【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D 【解析】对于A，若，则，A错误； 对于B，∵，∴，， ∴ （当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误； 对于C，∵，∴，，又， （当且仅当，即时取等号），C正确； 对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确． 故选：CD 三、填空题 12．已知集合，则它的真子集有 个 【答案】3 【解析】首先确定集合中的元素，然后由真子集的定义求解． 【解析】由题意，∴的真子集有3个：，，． 故答案为：3． 13．已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据函数的值域的概念以及一元二次不等式恒成立问题求解. 【解析】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为: . 14．用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据定义，得到分段函数，再求的最小值即可求解. 【解析】因为，由，得或， 则， 当时，当时，单调递减，则， 综上，时，， 则恒成立，即，解得， 则的最大值是3. 故答案为：3 四、解答题 15．已知，，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）分与两种情况分析即可. 【解析】（1），，故 （2），，若， 当时，不合题意； 当时，，解得 16．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性求出函数的值域. 【解析】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 17．如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 【答案】(1)长宽均为； (2)长为，宽为 【分析】（1）由，然后利用基本不等式求出的最大值，从而求解； （2）由体积一定得然后利用基本不等式求出的最小值，从而求解. 【解析】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为， 所以，得，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以底面面积最大为. （2）由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可， ，当，即取等号， 故当长为、宽为时，用料最少. 18．已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法即可得解； （2）利用赋值法依次求得，进而得到关于的函数方程组，解之即可得解； （3）利用（2）中结论，结合二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的位置，从而得解. 【解析】（1）因为， 令，则， 又，有，故. （2）令，有， 即，得， 令，有， 即，得， 令，有， 即，得， 令，有， 令，有，则， 联立，解得， 所以. （3）由（2）得，， 其图象开口向上，对称轴为，又， 当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时， . 19．已知二次函数，，.若有，我们就称为函数的一阶不动点；若有，我们就称为函数的二阶不动点. (1)求证：； (2)若函数具有一阶不动点，求的取值范围； (3)若函数具有二阶不动点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式以及不等式的性质证明即可； （2）利用不动点的性质求解即可； （3）根据（2）可知当时，符合题意，再对分析判断即可. 【解析】（1）由题可知，， 所以 故. （2）由题可知 因为， 所以. （3）若，由（2）可知：函数具有一阶不动点， 即存在，使得，则， 所以函数具有二阶不动点， 若，由（2）可知函数不具有一阶不动点， 可知对任意，且连续不断，可知或恒成立， 若，则，此时函数不具有二阶不动点； 若，则，此时函数不具有二阶不动点； 即时，函数不具有二阶不动点； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于复合函数我们经常令某一个函数，然后换元计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$