1.1 锐角三角函数和特殊角的三角函数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.1 锐角三角函数和特殊角的三角函数 【考点1 锐角三角函数的概念】】 【考点2 锐角三角函数的增减性】 【考点3 特殊角三角函数值】 【考点4 同角三角函数的关系】 【考点5 互余两角三角函数的关系】 【考点6三角函数的计算】 知识点1 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【考点1 锐角三角函数的概念】 【典例1】在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 知识点2 锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 【考点2 锐角三角函数的增减性】 【典例2】的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 知识点3 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　注意： 　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 【考点3 特殊角三角函数值】 【典例3】在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】的值等于（    ） A． B． C．2 D．1 【变式3-3】的值等于（    ） A． B． C． D．2 知识点4 锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：， ； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 注意： 　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【考点4 同角三角函数的关系】 【典例4】若tanA=， 则sinA的值是（　　） A． B． C．3 D． 【变式4-1】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点5 互余两角三角函数的关系】 【典例5】在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】在中，，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【考点6三角函数的计算】 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算 (1)； (2)． 【变式6-3】计算： (1) (2) 1．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 2．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 5．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果为（   ） A． B． C． D．3 7．计算： ． 8．如图，正六边形的边长为4，则线段的长为 ． 9．计算： 10．如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 锐角三角函数和特殊角的三角函数 【考点1 锐角三角函数的概念】】 【考点2 锐角三角函数的增减性】 【考点3 特殊角三角函数值】 【考点4 同角三角函数的关系】 【考点5 互余两角三角函数的关系】 【考点6三角函数的计算】 知识点1 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【考点1 锐角三角函数的概念】 【典例1】在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 【变式1-1】如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义．根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】解：∵中，，、、所对的边分别为a，b，c， ∴，即，则A选项不成立，B选项成立； ，即，则C、D选项均不成立； 故选：B． 【变式1-2】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可． 【详解】解：如图，在中，，若，    ∴， 故答案选：B． 【变式1-3】在中，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义．根据勾股定理求出，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，由勾股定理得，， 则， 故选：A． 知识点2 锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 【考点2 锐角三角函数的增减性】 【典例2】的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 【变式2-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 【变式2-2】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 【变式2-3】s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，． 又，正弦值随着角的增大而增大， ． 故选D． 知识点3 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　注意： 　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 【考点3 特殊角三角函数值】 【典例3】在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-1】在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴．                                 ∵， ∴，                        ∴． 故选B． 【变式3-2】的值等于（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3-3】的值等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 知识点4 锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：， ； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 注意： 　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【考点4 同角三角函数的关系】 【典例4】若tanA=， 则sinA的值是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据cosA，tanA，可得关于sinA的方程，解方程，可得答案． 【详解】tanA，4sinA，解得：sinA． 故选B． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用cosA，tanA得出关于sinA的方程是解题的关键． 【变式4-1】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解： ， ． 故选：． 【变式4-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1． 【变式4-3】已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意设中，对应边分别为，然后根据条件求解，再结合正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：设中，对应边分别为， 则，和， ∵， ∴， 设，则， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，理解基本三角函数的定义，熟练转换是解题关键． 【考点5 互余两角三角函数的关系】 【典例5】在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【变式5-1】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式5-2】在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据cosB＝=，sinA=，代入即可得出答案． 【详解】如图所示： ∵在△ABC中，∠C=90°，cosB＝=， ∴sinA=． 故选B． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，注意：如果∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB． 【变式5-3】在中，，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵cosB=cos（90°-A）=sinA=， 故选C． 【点睛】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）是解题的关键． 【考点6三角函数的计算】 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，负整指数幂，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （3）先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整指数幂，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ． 【变式6-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，先根据特殊角的三角函数值，乘方、负整数指数幂的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 【变式6-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． （1）根据特殊角的三角函数值即可化简求解； （2）根据实数的性质化简，再合并求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再计算加减乘除混合运算即可； （2）先求出特殊角的三角函数值与零次幂，再计算加减乘除混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；根据可得，则，再根据直角三角形的特征求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 2．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据，，即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C 3．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：D． 4．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 5．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 6．计算的结果为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、乘方，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】 ， ， 故选：D． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的锐角函数值的计算，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简每一个锐角函数值，再进行二次根式的计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．如图，正六边形的边长为4，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点C作于点G，根据正六边形的边长为2，得到，继而得到，，结合解答即可． 本题考查了正多边形的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】过点C作于点G， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 9．计算： 【答案】2 【分析】此题主要考查了实数运算及特殊角的三角函数的运算，正确化简各数是解题关键． 直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 10．如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$