1.1 锐角三角函数（7个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.1 锐角三角函数（7个考点） 【考点1 锐角三角函数的概念】 【考点2 求角的函数值】 【考点3 已知函数值求边长】 【考点4 特殊角三角函数值】 【考点5 同角三角函数的关系】 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【考点7三角函数的计算】 【考点1 锐角三角函数的概念】 1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值（   ） A．都扩大 1 倍 B．都没有变化 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定 5．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．已知在中，，若，则的值为 ． 10．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【考点2 求角的函数值】 11．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 12．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，则的值为 ． 14．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【考点3 已知函数值求边长】 15．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 16．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 17．如图，在中，，则的长是 ． 18．如图，在中，，则的长度为 ． 19．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 20．如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【考点4 特殊角三角函数值】 21．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 22．的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 23．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 24．的值等于 ． 25．计算： ． 【考点5 同角三角函数的关系】 26．已知在中，，，那么下列说法中正确的是（      ） A． B． C． D． 27．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 28．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（　　） A． B． C． D．2 29．已知：则（      ） A． B． C． D． 【考点6 互余两角三角函数的关系】 30．已知在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 31．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=  ， 则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 32．在中，，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 33．在中，，，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 34．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA等于(     ) A． B． C． D． 35．若cos(36°－A)＝，则sin(54°＋A)的值是(　 　) A． B． C． D． 36．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于（ ） A． B． C． D． 【考点7三角函数的计算】 37．计算：． 38．计算：． 39．计算：． 40．计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 锐角三角函数（7个考点） 【考点1 锐角三角函数的概念】 【考点2 求角的函数值】 【考点3 已知函数值求边长】 【考点4 特殊角三角函数值】 【考点5 同角三角函数的关系】 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【考点7三角函数的计算】 【考点1 锐角三角函数的概念】 1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 3．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据正弦的定义解答即可．掌握锐角的对边a与斜边c的比叫做的正弦成为解题的关键． 【详解】解：在中，， 故选：A． 4．在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值（   ） A．都扩大 1 倍 B．都没有变化 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定 【答案】B 【分析】在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值；根据锐角三角函数值的概念进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据锐角三角函数的概念，知： 如果各边都扩大 1 倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，则其锐角的三角函数值不变． 故选：B． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数的概念，掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关是解决此题关键． 5．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 7．在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键． 先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 8．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得进而利用三角函数定义即可得解． 【详解】解：如图，根据勾股定理得， 故选．    9．已知在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设，利用勾股定理求出，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，求解即可． 【详解】解：如图： 在中，，， ∴可设， ∴， 故． 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【考点2 求角的函数值】 11．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形，然后利用网格及勾股定理确定三边长，即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， ∵， ， 故选：B． 12．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 13．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，旋转的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，再由旋转的性质得到，，，则，，再由正切的定义即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由旋转得：，，， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 【考点3 已知函数值求边长】 15．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握正弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， 米， 故选：A． 16．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 17．如图，在中，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：6． 18．如图，在中，，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 19．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 20．如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由正弦函数求解即可； （2）根据同角的余角得出，再求余弦值即可； （3）根据正弦函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴； （2）解：∵于，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【考点4 特殊角三角函数值】 21．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 22．的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值及实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．把的值代入计算即可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 23．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据角的余弦值即可求解 【详解】解：， 故选：A 24．的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见角的三角函数值成为解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 25．计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数运算法则与运算顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 先计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【考点5 同角三角函数的关系】 26．已知在中，，，那么下列说法中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的关系解答． 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA= A、cosB=sinA=，故本选项符合题意． B、cotA= ．故本选项不符合题意． C、tanA= ．故本选项不符合题意． D、cotB=tanA= ．故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比. 27．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由tana＝，可得sina=． 【详解】解：∵tana＝， ∴sina＝＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，解题的关键是结合三角函数的定义． 28．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数正、余弦的关系sin2α十cos2α =1即可解得． 【详解】根据sin2α十cos2α =1，所以sinα=1-=，选择答案C． 【点睛】本题考查锐角三角函数正、余弦的关系． 29．已知：则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把sinα=代入sin2α+cos2α=1求出即可． 【详解】解：∵sin2α+cos2α=1，， ∴+cos2α=1， ∴cos2α=， ∵α是锐角， ∴cosα=， 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，能熟记sin2α+cos2α=1是解此题的关键． 【考点6 互余两角三角函数的关系】 30．已知在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得到∠B的度数，即可得到∠A的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果. 【详解】解：∵, ∴∠B=60°， ∵∠C=90°， ∴∠A=30°， ∴cosA= 故选C. 【点睛】本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题. 31．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=  ， 则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为2x，斜边AB为5x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tanB． 【详解】解：∵sinA=， ∴设BC=2x，AB=5x， 则AC===x， 故tanB===. 故选A. 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用． 32．在中，，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵cosB=cos（90°-A）=sinA=， 故选C． 【点睛】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）是解题的关键． 33．在中，，，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据∠A+∠B=90°得出cosB=sinA，代入即可． 【详解】∵∠C=90°，sinA=． 又∵∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=． 故选A． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A+∠B=90°，能推出sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB． 34．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA等于(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据锐角三角函数的定义，结合勾股定理，用同一个未知数表示直角三角形的三边；再根据锐角三角函数的定义求解． 【详解】解： 由sinB=，可设∠B的对边是3k，斜边是5k． 则∠B的邻边是4k． ∴tanA=． 故选D． 【点睛】理解锐角三角函数的概念． 35．若cos(36°－A)＝，则sin(54°＋A)的值是(　 　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【分析】根据：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB. 【详解】因为，(36°－A)+ (54°＋A)=90°， 所以，sin(54°＋A)= cos(36°－A)= 故选B 【点睛】本题考核知识点：锐角三角函数. 解题关键点：熟记锐角三角函数性质. 36．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵tanB=，=，可令b=,a=2,则c=3,cosA=. 【考点7三角函数的计算】 37．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键； 首先计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂和零指数幂、然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可． 【详解】 ． 38．计算：． 【答案】5 【分析】首先计算零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后计算加减． 此题考查了零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 39．计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先进行开方，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解： 40．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先算平方，绝对值，零指数幂，负整指数幂以及代入特殊三角函数值，然后再算乘法，最后再算加减法． 【详解】解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$