专题4 等可能条件下的概率（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

4 等可能条件下的概率 【考点01 可能性的大小】 【考点02 概率公式的计算】 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 【考点10 几何概率】 知识点 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点01 可能性的大小】 【典例1】下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．标准大气压下，水的沸点是 B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环 C．北京某日的最高气温为 D．用长，，的三根木棍首尾相接做成一个三角形 【变式1-1】在如图所示的转盘中，转出的可能性最大的颜色是（　　　） A．红色 B．黄色 C．白色 D．黑色 【变式1-2】掷一枚硬币3次有两次正面向上，一次反面向上，则第4次掷正面向上的可能性（    ） A．100% B． C． D． 【考点02 概率公式的计算】 【典例2】活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】一副扑克牌是54张，随意摸到一张是10的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】从平行四边形、菱形、矩形、正方形四个四边形中，任意选取一个四边形，则这个四边形恰为轴对称图形的概率是（      ） A． B．1 C． D． 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【典例3】卯兔追冬去，辰龙报春来．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有两张印有汉字“龘”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“北斗”和“高铁”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】五张分别印有“德”、“智”、“体”、“美”、“劳”的卡片（除卡片上的字不同外，其余均相同），将它们洗匀后随机抽取两张，则恰好是“德”和“智”的概率是 ． 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【典例4】在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．小滨自由转动A盘，小河自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率． 【变式4-1】如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率； (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由． 【变式4-2】如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处重转），两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是 ． 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【典例5】一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】一不透明袋子中装有红、绿小球各个，它们除颜色外无其他差别，先随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到绿球的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机连续抽取两本（不放回），两本都是小说的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】不透明盒子中装有除颜色外没有其它区别的4个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球不放回，然后搅匀再摸出一个球，两次都摸出红球的概率是 ． 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 【典例6】围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【变式6-2】在一个箱子中放有三张完全相同的卡片，卡片上分别标有数学1、2、3，从箱子中任意取出一张卡片，用卡片上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一张卡片，用卡片上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题． (1)按这种方法能组成哪些两位数？ (2)组成的两位数是2的倍数的概率是多少？ 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 【典例7】在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 【典例8】学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【变式8-1】在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为_________； (2)若设计一种游戏方案：从袋中同时任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏甲获胜的概率是多少?说明理由． 【变式8-2】在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 【典例9】有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【变式9-1】一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 【变式9-2】一个不透明的袋子里装有除颜色外其他完全相同的红、白、黄三种颜色的球各10个，至少要摸( ) 个才能保证摸出两个不同颜色的球，至少摸( ) 个才能保证摸出两个黄色的球． 【变式9-3】某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有 种（用数字作答）． 【考点10 几何概率】 【典例10】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 【变式10-2】如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 一、单选题 1．某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为  （   ） A． B． C． D． 2．一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（   ） A．红球可能性最大 B．白球可能性最大 C．黄球可能性最大 D．三种小球的可能性相同 3．任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 4．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是 ． 5．布袋中有2个红球和1个百球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ． 6．某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ． 7．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 三、解答题 8．贵州有着丰富的旅游资源．小星计划假期来贵州游玩，他打算从3个自然景点（A．黄果树瀑布；B．梵净山；C．荔波小七孔）中随机选取一个，再从2个人文景点（D．遵义会议会址；E．息烽集中营）中随机选取一个． (1)小星从3个自然景点中选中梵净山的概率是 　　； (2)用画树状图或列表的方法求小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的概率． 9．有一个转盘如图，转盘可以自由转动． (1)让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． (2)让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 10．北京冬奥会于年2月4日正式拉开帷幕．某校对九年级部分学生对冰上运动项目：A:速度滑冰、B:短道速度滑冰、C:花样滑冰、D:冰球的知晓情况进行了调查．并将调查情况制成了两幅不完整的统计图．试根据图中信息，回答下列问题： (1)本次调查的方式是______调查，共调查了______名学生； (2)扇形统计图中项目D所对应的圆心角为______度；请补齐条形统计图； (3)已知项目D中男女学生人数相等，若从项目D的学生中随机抽取2名学生参加冰上运动宣讲会，请用列表或画树状图的方法，求抽取学生恰好为一男一女的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4 等可能条件下的概率 【考点01 可能性的大小】 【考点02 概率公式的计算】 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 【考点10 几何概率】 知识点 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点01 可能性的大小】 【典例1】下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．标准大气压下，水的沸点是 B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环 C．北京某日的最高气温为 D．用长，，的三根木棍首尾相接做成一个三角形 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件，解答本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 利用随机事件，必然事件和不可能事件的概念逐一判断即可解题． 【详解】解：A．标准大气压下，水的沸点为，是必然事件； B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件； C．北京某日的最高气温为，是随机事件； D．用长为，，三根木棒做成一个三角形，是不可能事件； 故选D． 【变式1-1】在如图所示的转盘中，转出的可能性最大的颜色是（　　　） A．红色 B．黄色 C．白色 D．黑色 【答案】B 【分析】要求转出的可能性最大的颜色，只要看在整个圆中，哪种颜色所占整个圆的比例大，根据图很容易得出结论． 【详解】解：由图知：白色和红色各占整个圆的，黑色所占比例少于整个圆的，黄色大于整个圆的，所以黄色转出的可能性最大． 故选：B． 【点睛】本题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【变式1-2】掷一枚硬币3次有两次正面向上，一次反面向上，则第4次掷正面向上的可能性（    ） A．100% B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的意义就是事件出现的机会的大小，硬币出现正面向上与反面的机会相等，即可确定． 【详解】解：每次掷硬币正面朝上的概率都是，前面的结果对后面的概率是没有影响的，所以出现正面向上的概率是相同的． 故选：B． 【点睛】考查了可能性的大小的知识，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解答本题的关键． 【考点02 概率公式的计算】 【典例2】活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据求概率，根据概概率等于所求情况数与总情况数之比，即可解答． 【详解】解：一共有（个）， 红球有2个， ∴摸到红球的概率， 故选：B． 【变式2-1】一副扑克牌是54张，随意摸到一张是10的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据概率公式知，共54张，其中有4张10，即可得出摸到一张是10的概率． 【详解】解：在一副扑克牌中，共54张，其中有4张10， 则随意抽取一张是10的概率为． 故选：C． 【变式2-2】掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式、倍数，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有2种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有：3，6，共2种， 出现3的倍数的概率为． 故选：B． 【变式2-3】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，一枚质地均匀的骰子有个面，点数为偶数的面有个，据此即可求解． 【详解】解：∵一枚均匀的骰子有个面，点数为偶数的面有个， ∴抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为偶数的概率为：， 故选：B． 【变式2-4】从平行四边形、菱形、矩形、正方形四个四边形中，任意选取一个四边形，则这个四边形恰为轴对称图形的概率是（      ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，以及概率的计算．从这4个图形中找到是轴对称图形的个数，再利用概率公式计算可得． 【详解】解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形这4个图形中，是轴对称图形的是菱形、矩形、正方形这3个图形， 所以这个四边形恰为轴对称图形的概率是， 故选：D． 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【典例3】卯兔追冬去，辰龙报春来．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有两张印有汉字“龘”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题时要注意是放回实验还是不放回实验，以及概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图，得到共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有两张印有汉字“龘”的结果有2个，再由概率公式求解，即可解题． 【详解】解：解：把“龘”“龙”“行”分别记为A、B、C，画树状图如图： 共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有两张印有汉字“龘”的结果有2个， 抽取完两张卡片后，恰有两张印有汉字“龘”的概率为． 故选：D． 【变式3-1】现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“北斗”和“高铁”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是能够通过列表或画树状图展示所有等可能的结果，做到不重复、不遗漏． 画树状图，共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“北斗”和“高铁”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把印有“北斗”、“天河”“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：、、、， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是和的结果有2种， ∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“北斗”和“高铁”的概率为． 故选：A． 【变式3-2】五张分别印有“德”、“智”、“体”、“美”、“劳”的卡片（除卡片上的字不同外，其余均相同），将它们洗匀后随机抽取两张，则恰好是“德”和“智”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是“德”和“智”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 德 智 体 美 劳 德 （德，智） （德，体） （德，美） （德，劳） 智 （智，德） （智，体） （智，美） （智，劳） 体 （体，德） （体，智） （体，美） （体，劳） 美 （美，德） （美，智） （美，体） （美，劳） 劳 （劳，德） （劳，智） （劳，体） （劳，美） 共有20种等可能的结果，其中恰好是“德”和“智”的结果有：（德，智），（智，德），共2种， 恰好是“德”和“智”的概率是． 故答案为：． 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【典例4】在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．小滨自由转动A盘，小河自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率． 【答案】所得两数之和为3的倍数的概率为 【分析】本题考查列表法与树状图法，画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 一共有12种情况，两数之和为3的倍数的情况有4种， ∴P（两数之和为3的倍数）， 答：所得两数之和为3的倍数的概率为． 【变式4-1】如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率； (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出乙获胜的概率，比较即可． （2）根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：（1）列表：        A盘 B盘 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果． ； （2）解：公平． ， ． ， 游戏公平． 【变式4-2】如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处重转），两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比. 列举出所有情况，看两个转盘指针指向数字之积不超过4的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中数字之积不超过4的结果有7种，所以两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是． 故答案为： 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【典例5】一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C分别表示红球，白球，绿球，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次摸到的球恰好有一个红球的概率为4种， ∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 故选：B． 【变式5-1】一不透明袋子中装有红、绿小球各个，它们除颜色外无其他差别，先随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到绿球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次都摸到绿球的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中随机摸出一个，两次都摸到绿球的结果数为， 所以随机摸出一个，两次都摸到绿球的概率． 故选：B． 【变式5-2】书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机连续抽取两本（不放回），两本都是小说的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件的结果数目m，然后根据概率公式计算事件的概率． 画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解： 用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文，画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6， 所以从中随机抽取2本都是小说的概率． 故选：A． 【变式5-3】不透明盒子中装有除颜色外没有其它区别的4个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球不放回，然后搅匀再摸出一个球，两次都摸出红球的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，利用列表的方法找出所有的可能，进而找出两次都为白球的情况数，即可求出两次都摸到白球的概率． 【详解】解：列表如下： 红 红 红 红 白 白 红 --- （红，红） （红，红） （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） --- （红，红） （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （红，红） --- （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （红，红） （红，红） --- （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （红，白） （红，白） --- （白，白） 白 （红，白） （红，白） （红，白） （红，白） （白，白） --- 可得出所有的可能有30种情况，其中两次都为红球的占了12种情况， 则两次都摸出红球的概率是． 故答案为：． 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 【典例6】围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到不同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的棋子的结果数为4种， ∴两次摸到不同颜色的棋子的概率， 故选：D． 【变式6-1】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率、以及概率公式，根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 【变式6-2】在一个箱子中放有三张完全相同的卡片，卡片上分别标有数学1、2、3，从箱子中任意取出一张卡片，用卡片上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一张卡片，用卡片上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题． (1)按这种方法能组成哪些两位数？ (2)组成的两位数是2的倍数的概率是多少？ 【答案】(1)能组成的两位数有：11，12，13，21，22，23，31，32，33； (2)组成的两位数是的倍数的概率是． 【分析】（1）画出表格或树状图即可得解； （2）根据概率公式列式即可得解． 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：画树状图如下： 能组成的两位数有：11，12，13，21，22，23，31，32，33； （2）解：∵共有种均等结果，组成的两位数是的倍数的有种：， ∴组成的两位数是的倍数的概率是：． 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 【典例7】在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 同时闭合、，灯泡会发光，根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答． 【详解】解：同时闭合、，灯泡会发光， 根据题意列出表格如下： 由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种， ∴能使灯泡发光的概率． 故选：A． 【变式7-1】如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能让灯泡发光的有6种情况， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 【变式7-2】如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，再由概率公式求解即可．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种， 使得小灯泡能正常工作的概率为， 故答案为：． 【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 【典例8】学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 【变式8-1】在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为_________； (2)若设计一种游戏方案：从袋中同时任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏甲获胜的概率是多少?说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案； （2）首先画出树状图，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：； 故答案为：； （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果， ∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况， ∴ 【变式8-2】在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． （1）先解方程，根据概率公式即可得出概率； （2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：当代数式的值为时， ， 解得，， ∴从甲袋摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2种结果，其概率为：； （2）解：列表如下： n           m 3 4 5 6 4 5 6 7 总共有16种等可能结果，其中都是该方程的解的有4种结果， 故小明获胜的概率为：； ，中有不是该方程的解的结果有12种， 故小张获胜的概率为， 所以，小明获胜的概率大，此游戏不公平． 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 【典例9】有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【答案】1500元 【分析】根据概率公式求出一次摸到3个白球的概率，则得到每摸一次的平均收益，继而可求若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱． 【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为， 每摸一次平均收益为：， ∴元， ∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式9-1】一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 【答案】(1)0.02 (2)16 【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率； （2）需要准备兑换的节能灯数＝销售的节能灯×次品的概率，依此计算即可． 【详解】（1）抽查总体数m＝50+100+200+300+400+500＝1550， 次品件数n＝1+3+5+6+7+9＝31， 这批节能灯中任抽1个是次品的概率为0.02； （2）根据（1）的结论：这批节能灯中任抽1件是次品的概率为0.02， 则800×0.02＝16（个）． 答：准备16个兑换的节能灯． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 【变式9-2】一个不透明的袋子里装有除颜色外其他完全相同的红、白、黄三种颜色的球各10个，至少要摸( ) 个才能保证摸出两个不同颜色的球，至少摸( ) 个才能保证摸出两个黄色的球． 【答案】 11 22 【分析】（1）由题意可知，袋中共有红、白、黄三种颜色的球，最坏的情况是，取出三个球后，每种颜色的球各有一个，此时只要再任意拿出一个球，就能保证取到的球中有两个颜色相同的球．即至少要取个． （2）考虑最坏情况：摸出10个球都是红种颜色，再摸出10个球都是白种颜色，再摸出2个都是黄色，即可保证摸出两个黄色的球． 【详解】解：（1）（个）， （2）（个）， 答；至少要摸出 4个才能保证有两个球的颜色相同，至少要摸22个才能保证摸出两个黄色的球． 故答案为：4，22． 【点睛】本题考查抽屉原理，熟练掌握抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键． 【变式9-3】某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有 种（用数字作答）． 【答案】9 【分析】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解． 【详解】解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法， 假设甲拿的是乙写的贺卡， 接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法， 则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去， 这样两人只有一种拿法， 所以总的拿法为种； 故答案为：9． 【点睛】本题考查了排列组合的计数问题，解题的关键是看出前两个人都抽取贺卡后，第三个人和第四个人只有一种结果． 【考点10 几何概率】 【典例10】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 【变式10-1】如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明阴影部分的面积三角形的面积，求出三角形的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． ，，， ， 由旋转变换的性质可知，， ， ， ，， 现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为． 故答案为：． 【变式10-2】如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分占整体的份数成为解题的关键． 先作辅助线把正方形分成若干等份以及阴影部分的份数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：如图：作辅助线可将正方形分成16等份，其中阴影部分占6份，则投掷在阴影区域的概率是． 故答案为：． 一、单选题 1．某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为  （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法求出概率，根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下： A B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种， ∴； 故选A． 2．一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（   ） A．红球可能性最大 B．白球可能性最大 C．黄球可能性最大 D．三种小球的可能性相同 【答案】C 【分析】本题考查可能性的大小即概率，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．分别用红球、白球或黄球的个数除以总球的个数，再比较即可得出答案． 【详解】解：∵不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和3个黄球，共有6个球， ∴摸到红球的可能性是， 摸到白球的可能性是， 摸到黄球的可能性是， ， ∴摸到黄球的可能性最大， 故选：C． 3．任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中和为的情况有4种，和为6的情况有5种，和为7的情况有6种，和为8的情况有5种， ∴和为的概率为，和为6的概率为，和为7的概率为，和为8的概率为， ∵， ∴和为7的概率最大， 故选：C． 二、填空题 4．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之积是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之积是偶数的有5种情况， 两次两次抽取的卡片上数字之积是偶数的概率． 故答案为：． 5．布袋中有2个红球和1个百球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．画树状图，共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图：    共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果， 摸到的两个红球的概率是：． 故答案为：． 6．某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中、两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：列表得： 项目必考，再从、、、四项中随机抽考两项， 共有12种等可能的结果，恰好选中、两位同学的有2种情况， （恰好选中、． 故答案为：． 7．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 三、解答题 8．贵州有着丰富的旅游资源．小星计划假期来贵州游玩，他打算从3个自然景点（A．黄果树瀑布；B．梵净山；C．荔波小七孔）中随机选取一个，再从2个人文景点（D．遵义会议会址；E．息烽集中营）中随机选取一个． (1)小星从3个自然景点中选中梵净山的概率是 　　； (2)用画树状图或列表的方法求小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）先列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，再根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【详解】（1）解：小星从3个自然景点（A．黄果树瀑布；B．梵净山；C．荔波小七孔）中随机选取一个，共有三种等可能结果，符合条件的结果只有一种：B．梵净山，所以小星从3个自然景点中选中梵净山的概率是； 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的结果有1种， 所以小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的概率为． 9．有一个转盘如图，转盘可以自由转动． (1)让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． (2)让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）将黄色区域平分成两部分，再运用概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，将黄色区域平分成两部分， 这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为． （2）解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况， ∴两次指针都落在黄色区域的概率为：； 10．北京冬奥会于年2月4日正式拉开帷幕．某校对九年级部分学生对冰上运动项目：A:速度滑冰、B:短道速度滑冰、C:花样滑冰、D:冰球的知晓情况进行了调查．并将调查情况制成了两幅不完整的统计图．试根据图中信息，回答下列问题： (1)本次调查的方式是______调查，共调查了______名学生； (2)扇形统计图中项目D所对应的圆心角为______度；请补齐条形统计图； (3)已知项目D中男女学生人数相等，若从项目D的学生中随机抽取2名学生参加冰上运动宣讲会，请用列表或画树状图的方法，求抽取学生恰好为一男一女的概率． 【答案】(1)抽样， (2)，图见解析 (3) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由题意得出调查方式为抽样调查，再由A项目的人数除以所占百分比即可； （2）求出B、C项目的人数，补齐条形统计图即可； （3）画树状图，共有个等可能的结果，其中抽取学生恰好为一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：调查方式为抽样调查， 调查学生人数为：（名）， 故答案为：抽样，； （2）解：项目人数为（名）， ∴项目人数为（名）， ∴图2中D选项所对应的圆心角度数为， 故答案为：， 补全条形图如下： （3）解：项目D中男女学生人数相等， ∴男生2名，女生2名， 画树状图如下： 共有个等可能的结果，其中抽取学生恰好为一男一女的结果有8种， ∴抽取学生恰好为一男一女的概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$