专题03 函数的概念及其性质(十六大题型）（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的概念及其性质(十六大题型） 【考点01：函数的概念辨析】 【考点02：判断是否为同一函数】 【考点03：求函数的定义域】 【考点04：求函数的解析式】 【考点05：分段函数求值与求参】 【考点06：判断函数的单调性】 【考点07：根据函数的单调性求参】 【考点08：求函数的最值/值域】 【考点09：判断函数奇偶性】 【考点10：函数奇偶性的应用】 【考点11： 利用奇偶性与单调性解不等式】 【考点12：利用奇偶性与单调性比较大小】 【考点13：利用函数周期性求值】 【考点14： 幂函数的图象及应用】 【考点15：幂函数的性质及应用】 【考点16：简单函数模型的实际应用】 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，． 2函数的三要素：（1）对应关系：，．（2）定义域：x的取值范围A （3）值域.：与x的值相对应函数值的集合， 【注意】： （1） A、B集合的非空性； （2） 对应关系的存在性、唯一性、确定性； （3） A中元素的无剩余性； （4） （4）B中元素的可剩余性。 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示 区间表示： ；； ； ； . 【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点2 函数的表示法 1.函数的三种表示方法： （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. （3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2.分段函数 概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数 定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集 知识点3 函数定义域的求法 确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 【注意】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 知识点4增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点5 函数的单调区间 1.定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【特别提醒】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 2. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点6 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点8 函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点9 求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 知识点10函数奇偶性的定义 知识点11 函数奇偶性的判定方法 1.定义法： 若函数的定义域不是关于原点对称，则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与等于0，从而确定奇偶性； 即（1）如果或，则函数为偶函数； （2） 如果或，则函数为奇函数． 2.图像法： 若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数关于y轴对称，则函数为偶函数. 知识点12 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点13 　奇偶性与单调性 （1）若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性； （2）若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 知识点14 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 三个条件缺一不可： （1） xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数 知识点15 五个幂函数的图象与性质 知识点16 幂函数的特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4.幂函数y＝xα （前提：定义域关于原点对称） （1） a为奇数则奇函数；（2）a为偶数则偶函数； a为分数⟹ n为偶数则为偶函数 知识点17 一次函数模型的应用 一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点18二次函数模型的应用 1．二次函数的一般形式是其定义域为R． 2．若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3．建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模解答． 知识点19 函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 【考点01：函数的概念辨析】 1．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．B．C． D． 2．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 3．多选题下列各图象中，是函数图象的是（    ） A．B．C．D． 4．多选题以下从到的对应关系表示函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D． 5．多选题已知集合，，下列四个对应关系能构成从A到B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点02：判断是否为同一函数】 6．下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 7．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 8．多选题下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．多选题下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 【考点03：求函数的定义域】 10．已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考点04：求函数的解析式】 13．（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数，且满足. 14．根据下列条件，求的解析式． (1)已知满足； (2)已知是二次函数，且满足，； (3)已知满足． 15．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 16．当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． (1)求的解析式； (2)求． 【考点05：分段函数求值与求参】 17．已知函数，则（ ） A． B． C． D．1 18．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 19．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．设函数，若，则实数的取值范围是 . 【考点06：判断函数的单调性】 22．下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 23．多选题下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 24．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 25．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 26．多选题下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 27．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 28．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 29．已知函数． (1)求函数的定义域，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在区间上的值域. 30．设函数 (1)利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增： (2)当时，求函数的最大值． 【考点07：根据函数的单调性求参】 31．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 33．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点08：求函数的最值/值域】 36．函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 37．已知函数，则在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 【考点09：判断函数奇偶性】 38．下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【考点10：函数奇偶性的应用】 39．设函数，若，则（   ） A． B． C．3 D．5 40．设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 41．已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 42．已知函数，若，则 ． 【考点11： 利用奇偶性与单调性解不等式】 43．已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 44．奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 45．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 46．定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点12：利用奇偶性与单调性比较大小】 47．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 48．若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 49．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 50．若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 51．函数，比较两个函数值的大小： . 【考点13：利用函数周期性求值】 52．多选题已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则下列命题正确的是（    ） A．是周期为2的函数 B．当时， C．是偶函数 D． 53．多选题若的定义域为，且满足为偶函数，关于成中心对称，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的一条对称轴为 C． D． 54．多选题已知定义在R上的函数不恒等于零，，且对任意的∈R，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 55．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，若，则 . 【考点14： 幂函数的图象及应用】 56．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   57．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 58．已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p为奇数，且B．p为奇数，且C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【考点15：幂函数的性质及应用】 59．已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C． D． 60．若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 61．幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（   ） A．经过第一象限和第三象限 B．只经过第一象限 C．是奇函数 D．是偶函数 62．多选题已知幂函数满足，则（    ） A． B． C．的图象经过原点 D．的图象不经过第二象限 63．多选题已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 64．多选题若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（    ） A．在定义域内是减函数 B．图象过点 C．是奇函数 D．其定义域是 【考点16：简单函数模型的实际应用】 65．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 66．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 67．新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． (1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 68．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03函数的概念及其性质(十六大题型） 【考点01：函数的概念辨析】 【考点02：判断是否为同一函数】 【考点03：求函数的定义域】 【考点04：求函数的解析式】 【考点05：分段函数求值与求参】 【考点06：判断函数的单调性】 【考点07：根据函数的单调性求参】 【考点08：求函数的最值/值域】 【考点09：判断函数奇偶性】 【考点10：函数奇偶性的应用】 【考点11： 利用奇偶性与单调性解不等式】 【考点12：利用奇偶性与单调性比较大小】 【考点13：利用函数周期性求值】 【考点14： 幂函数的图象及应用】 【考点15：幂函数的性质及应用】 【考点16：简单函数模型的实际应用】 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，． 2函数的三要素：（1）对应关系：，．（2）定义域：x的取值范围A （3）值域.：与x的值相对应函数值的集合， 【注意】： （1） A、B集合的非空性； （2） 对应关系的存在性、唯一性、确定性； （3） A中元素的无剩余性； （4） （4）B中元素的可剩余性。 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示 区间表示： ；； ； ； . 【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点2 函数的表示法 1.函数的三种表示方法： （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. （3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2.分段函数 概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数 定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集 知识点3 函数定义域的求法 确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 【注意】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 知识点4增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点5 函数的单调区间 1.定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【特别提醒】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 2. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点6 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点8 函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点9 求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 知识点10函数奇偶性的定义 知识点11 函数奇偶性的判定方法 1.定义法： 若函数的定义域不是关于原点对称，则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与等于0，从而确定奇偶性； 即（1）如果或，则函数为偶函数； （2） 如果或，则函数为奇函数． 2.图像法： 若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数关于y轴对称，则函数为偶函数. 知识点12 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点13 　奇偶性与单调性 （1）若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性； （2）若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 知识点14 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 三个条件缺一不可： （1） xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数 知识点15 五个幂函数的图象与性质 知识点16 幂函数的特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4.幂函数y＝xα （前提：定义域关于原点对称） （1） a为奇数则奇函数；（2）a为偶数则偶函数； a为分数⟹ n为偶数则为偶函数 知识点17 一次函数模型的应用 一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点18二次函数模型的应用 1．二次函数的一般形式是其定义域为R． 2．若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3．建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模解答． 知识点19 函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 【考点01：函数的概念辨析】 1．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 2．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】根据函数的定义，每个都有一个对应的唯一确定的函数值， 故只有③④符合条件. 故选：D. 3．多选题下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以A错误， 对于B，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以B正确， 对于C，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以C错误， 对于D，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以D正确. 故选：BD 4．多选题以下从到的对应关系表示函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D． 【答案】BD 【分析】判断从到的对应关系是否表示函数，主要是判断集合中的每一个元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应即可. 【详解】对于A选项，因而0没有倒数，故A项错误； 对于B选项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合中的每一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，故B项正确； 对于C选项，因每个正数的平方根都有两个，即集合M中的每个元素在集合中都有两个元素与之对应，故C项错误； 对于D选项，因当时，即有 且每个对应唯一的值，故必有成立,故D项正确. 故选：BD. 5．多选题已知集合，，下列四个对应关系能构成从A到B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】依次计算函数对应的值域的集合，根据是否为集合的子集得到答案. 【详解】对选项A：，，对应的值域集合为，正确； 对选项B：，，对应的值域集合为，正确； 对选项C：，，对应的值域集合为，正确； 对选项D：，，对应的值域集合为，错误； 故选：ABC 【考点02：判断是否为同一函数】 6．下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为， 又由函数有意义，则满足，解得或 即函数的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C中，由函数 与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D不符合题意. 故选：C. 7．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 8．多选题下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 9．多选题下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 【答案】AC 【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案. 【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数； C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数. 故选：AC 【考点03：求函数的定义域】 10．已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解方程求得的值. 【详解】由，得，解得. 故选：A 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式下大于等于零和分母不为零解不等式组求出即可； 【详解】由题意可得，解得且， 所以定义域为， 故选：B. 12．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用抽象函数定义域的确定方法，先确定的定义域，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，则， 由，解得，所以函数的定义域为， 故选：D. 【考点04：求函数的解析式】 13．（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数，且满足. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解 【详解】（1）令 ，则， 可得， 所以； （2）因为，可得， 即，消去可得； （3）设， 因为，即， 整理得， 所以，解得， 所以. 14．根据下列条件，求的解析式． (1)已知满足； (2)已知是二次函数，且满足，； (3)已知满足． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配凑法求解析式； （2）利用待定系数法求解析式； （3）利用方程法求解析式. 【详解】（1）， 所以. （2）设， 因为，所以， 因为，所以， 整理得， 所以，解得， 所以. （3）在①中，令替换得②， 由②得③， 将③代入①得， 所以./ 15．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 16．当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． (1)求的解析式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意将点的坐标代入相应解析式中，从而得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式； （2）根据分段函数解析式计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以. （2）因为， 所以，， 所以. 【考点05：分段函数求值与求参】 17．已知函数，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据分段函数求函数值. 【详解】由题可知，， 故选:D. 18．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故选：C 19．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求解值域，再取并集即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 20．已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 21．设函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【考点06：判断函数的单调性】 22．下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 23．多选题下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】逐项判断各个函数的奇偶性及在上的单调性即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 24．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为 ， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 25．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由偶函数排除两个选项，再判断单调性即得. 【详解】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是上的奇函数，C不是； 函数、都是R上的偶函数，在上都为增函数，BD是. 故选：BD 26．多选题下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】逐项判断各个函数的奇偶性及在上的单调性即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 27．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为 ， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 28．多选题下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由偶函数排除两个选项，再判断单调性即得. 【详解】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是上的奇函数，C不是； 函数、都是R上的偶函数，在上都为增函数，BD是. 故选：BD 29．已知函数． (1)求函数的定义域，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，是增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据分母不为零可以求出函数的定义域，对函数解析式变形可判断函数的单调性，利用定义法对函数的单调性进行证明. （2）根据函数的单调性，结合解析式就可以求出函数的值域. 【详解】（1）∵，∴，∴， ∴函数的定义域为. ∵，∴函数在上是增函数. 证明如下：任取，，且， 则， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴在上是增函数. （2）∵函数在上是增函数， ∴在上单调递增， ∴函数， ∵当时， ∴函数的值域为. 30．设函数 (1)利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增： (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义即可证得结论成立； （2）由已知可得，利用基本不等式可求得在上的最小值. 【详解】（1）证明：任取、，且， 则 ， 因为，所以，，，， 故．所以在单调递增． （2）解： ， 当且仅当，即当时取等号，所以最大值为． 【考点07：根据函数的单调性求参】 31．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 32．已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 33．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 34．已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 35．若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 即的取值范围为． 故选：C． 【考点08：求函数的最值/值域】 36．函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D 37．已知函数，则在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数的单调性计算即可得. 【详解】， 则在上单调递减，在单调递增， 又，，， 故在区间的值域为. 故选：C. 【考点09：判断函数奇偶性】 38．下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 【考点10：函数奇偶性的应用】 39．设函数，若，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由可得，代入的表达式得解. 【详解】将代入解析式可得， 则. 故选：B． 40．设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得. 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 41．已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 【答案】B 【分析】根据是定义域为的奇函数，分别求出的值，结合题意，即可求解 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，，， 所以． 故选：B． 42．已知函数，若，则 ． 【答案】6 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】解：令，， 所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 故答案为：6. 【考点11： 利用奇偶性与单调性解不等式】 43．已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和单调性，将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果. 【详解】不妨令，则由得：， 令，则在上单调递增； ，， 为定义在上的奇函数，在上单调递增； 由得：，即， ，解得：，即不等式的解集为. 故选：C. 44．奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性，单调性结合题意可得答案. 【详解】因奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，. 得；. 则或. 故选：C 45．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且 又因，所以， 又因在为增函数，在上， 在上， 又因在为减函数，所以上， 综上，当时，，当时， 当时，则，所以，则， 当时，则，所以，则， 不等式可化简变形为， 综上所述可知当时，. 故选：D 46．定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在上单调递增，根据奇偶性和单调性可得不等式的解集. 【详解】不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ①当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ②当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 【考点12：利用奇偶性与单调性比较大小】 47．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解. 【详解】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 48．若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 49．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性及，比较出大小关系. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 50．若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小. 【详解】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则，又， 所以. 故选：D 51．函数，比较两个函数值的大小： . 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性比大小. 【详解】由函数在上单调递增， 且， 所以， 故答案为：. 【考点13：利用函数周期性求值】 52．多选题已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则下列命题正确的是（    ） A．是周期为2的函数 B．当时， C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】A选项：根据得到，然后两式相减得到，即可得到的周期； B选项：根据和时的解析式求时的解析式即可； C选项：利用特殊值的思路和奇偶性的定义判断即可； D选项：利用周期求函数值即可. 【详解】A选项：由得，两式相减可得，即可得到，所以得周期为2，故A正确； B选项：令，则，，所以，故B正确； C选项：，，，所以不是偶函数，故C错； D选项：，故D正确. 故选：ABD. 53．多选题若的定义域为，且满足为偶函数，关于成中心对称，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的一条对称轴为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意推导出函数的周期，可判断A选项；利用函数周期性和对称性的定义可判断B选项；利用函数的周期性可判断CD选项. 【详解】因为为偶函数，则，令，可得， 因为函数关于点对称， 设，则，即， 所以，，则， 故，即，故， 所以，. 对于A选项，的一个周期为，A错； 对于B选项，，故函数的一条对称轴为，B对； 对于C选项，因为，则函数的图象关于点对称， 又因为函数的定义域为，则， 则，C对； 对于D选项，，，， 因此， ，D对. 故选：BCD. 54．多选题已知定义在R上的函数不恒等于零，，且对任意的∈R，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【分析】分别给取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质. 【详解】对于A，令得，又函数不恒等于零，所以，选项A正确； 对于B，令得，所以，故函数是偶函数，选项B正确； 对于C,D，令，得，即，，所以函数是周期函数，且周期为，选项D错误；又是偶函数，即，所以，即，所以的图象关于点对称，选项C正确. 故选：ABC. 55．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇函数性质，再结合其为周期函数，即可得解. 【详解】由题意知函数为奇函数且为周期函数，且定义域为， 所以得：，， 所以得：，， 所以得：. 故答案为：. 【考点14： 幂函数的图象及应用】 56．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用图象上的点求出函数解析式，根据幂函数的性质选项正确选项. 【详解】设幂函数，则，即，解得，即， 的定义域是，，函数为偶函数， 由，则在上递增且越来越慢. 故选：A. 57．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【答案】D 【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值. 【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点 则，又 则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上， 点C在幂函数图像上， 则曲线对应的指数分别为 故选：D 58．已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p为奇数，且B．p为奇数，且C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【答案】D 【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征 【详解】因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为， 且在上单调递减， 则有， 所以． 故选：D． 【考点15：幂函数的性质及应用】 59．已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义得出的值，结合的图像与坐标轴没有公共点，确定，代值计算即可得出答案． 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 则或， 又因为的图像与坐标轴没有公共点， 所以，则， 故选：C． 60．若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 【答案】D 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为，所以在上为减函数，错误； 对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误； 对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误； 对于D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，正确. 故选：D 61．幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（   ） A．经过第一象限和第三象限 B．只经过第一象限 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，作出该函数的图象，即可得出合适的选项. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，则，解得， 所以，，该函数的定义域为， 当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的图象只经过第一象限，不经过第三象限，且该函数是非奇非偶函数. 故选：B. 62．多选题已知幂函数满足，则（    ） A． B． C．的图象经过原点 D．的图象不经过第二象限 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得，结合图象逐项判断即可得答案. 【详解】设幂函数，根据题意可得，解得，则， 的图象如图所示：    则的图象经过原点，不经过第二象限． 故选：ACD. 63．多选题已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 【答案】ABD 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质及奇偶性一一判断即可. 【详解】由幂函数的图象过点， 则，即，即. 则幂函数定义域为， 又，则函数的值域为，故C错误； 当时，，则函数的图象过原点，故A正确； 由，则，所以函数为偶函数，故B正确； 因为函数在上单调递增， 由偶函数的的对称性可得函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 64．多选题若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（    ） A．在定义域内是减函数 B．图象过点 C．是奇函数 D．其定义域是 【答案】BC 【解析】先由已知条件求出函数解析式，然后对选项依次分析判断即可 【详解】解：因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以， 由反比例函数的性质可知，在和上递减，所以A错误； 当时，，所以函数图象过点，所以B正确； 因为，所以为奇函数，所以C正确； 函数的定义域为，所以D错误， 故选：BC 【考点16：简单函数模型的实际应用】 65．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 66．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. （2）由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 67．新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． (1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】(1)； (2)当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 【分析】（1）分、分别求解即可； （2）根据、及二次函数、基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 所以； （2）解：当时，， 当时，y取得最大值，最大值为500万元； 当时，， 当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为560万元． 综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 68．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$