精品解析：河南省商丘市中州联盟2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

中州联盟20232024学年上学期期末考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分析求解即可. 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下角标和性质直接求解. 【详解】由等比数列的性质易知. 故选：C. 3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 4. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值. 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 5. 已知平面的一个法向量是平面内一点，是平面外一点，则“”是“点到平面的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】依题意先求得，再利用点到平面的距离公式即可得解. 【详解】，若点到平面的距离为1， 则，解得或， 故“”是“点到平面的距离为1”的充分不必要条件． 故选:A． 6. 若数列满足（且），，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得. 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 7. 已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知直线过圆心，代入解得，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】圆可化为． 可知圆心为，半径， 因为圆关于对称，即直线过圆心， 则，解得， 可得，且， 所以． 故选：D． 8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得. 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若，则，所以，A正确； 对于选项B：若， 则，解得，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则，解得，故D错误． 故选：AC． 10. 已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 11. 已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线的结合性质可得，即可得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 12. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 当时，直线与直线所成角的大小为 D. 当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论. 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于， 可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为______m/s. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 所以该小球在时的瞬时速度为. 故答案为：. 14. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令解得，代入即可得. 【详解】因为，则， 令，则，解得， 可得， 所以． 故答案为：. 15. 已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得点到直线的距离等于，结合结论两点之间线段最短，垂线段最短求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由抛物线定义可得点到直线的距离等于， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以点到直线与到直线的距离之和等于， 由两点之间线段最短可得， 过作直线的垂线，垂足为， ， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立． 故答案为：. 16. 已知数列的前项和为，且，.设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为______. 【答案】973 【解析】 【分析】当时，，解得；当 时，由，得，两式相减，结合等比数列的通项公式可得，进而得到，数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的，利用求和公式即可得出结论． 【详解】当时，，解得； 当 时，由，得， 两式相减，得，即， ，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 因此，，即 是数列 中的第项， ，， 数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的， 数列 的前40项和为 ． 故答案为：973． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列公共项问题，关键是求出 是数列 中的第项. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记为等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列公差，依题列出方程组，求得，代入通项公式即得； （2）由（1）结论求得，再求，判断是等差数列，利用等差数列的前项和公式求解即得. 【小问1详解】 设的公差为，由，，得, 解得.故的通项公式为. 【小问2详解】 由，，得， 所以， 由可得数列是等差数列， 因首项为1，公差为1 ，故. 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值. 【小问1详解】 由，的定义域为， 得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 由，得，或， 当或时，，在上均单调递增； 当时，，在上单调递减； 故函数在处取得极大值，极大值为； 在处取得极小值，极小值为. 故函数有极大值，也有极小值，极大值为，极小值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，且四边形是矩形， 所以两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意，因为，且. 所以． 因为， 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系得到，借助数量积公式计算即可; （2）利用向量法求出平面与平面的法向量，求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得． 设是平面的一个法向量， 则， 令，得，所以． 因为平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为． 因为， 结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为． 20. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据前n项积与之间的关系分析求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，，可得； 且符合，所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 则，可得， 两式相减得， 所以． 21. 已知函数，． （1）当时，求函数在上的值域（）； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在区间单调递减，在区间单调递增； 当时，在区间单调递减，在区间单调递增； 当时，区间单调递减； 当时，在区间单调递减，在区间单调递增. 【解析】 【分析】（1）由题意得，再求导后分别求出单调性，从而可求解. （2）对函数求导得，然后分情况讨论的情况，再结合导数求出相关单调性，从而可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 令，得或(舍去)， 当时，，，， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以当时，取到极小值也是最小值， 所以当，，， 又因为，因为， 此时，， 故在上的值域为. 【小问2详解】 ，， 当时，，， 当，，当，， 所以在区间单调递减，在区间单调递增； 当时，令，得或， 当时，时，，当时，， 所以在区间单调递减，在区间单调递增； 当时， 当时，，当，， 所以在区间单调递减，在区间单调递增； 当时， 所以在区间单调递减； 当时， 当时，，当时，， 所以在区间单调递减，在区间单调递增； 综上所述：当时，在区间单调递减，在区间单调递增； 当时，在区间单调递减，在区间单调递增； 当时，区间单调递减； 当时，在区间单调递减，在区间单调递增. 【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理； （2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用； （3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 22. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【小问1详解】 解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中州联盟20232024学年上学期期末考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知平面的一个法向量是平面内一点，是平面外一点，则“”是“点到平面的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若数列满足（且），，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 当时，直线与直线所成角的大小为 D. 当时，三棱锥的体积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为______m/s. 14. 已知函数，则________． 15. 已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是________． 16. 已知数列的前项和为，且，.设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记为等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 21. 已知函数，． （1）当时，求函数在上的值域（）； （2）讨论函数的单调性． 22. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $