湖南省岳阳市平江县颐华学校2025届高三上学期11月联考考前数学自测试卷

颐华学校十一月联考考前学生自测数学试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（5×8=40分） 1．若，则( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2．已知命题，，命题，.则( ) A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题 C.p和都是真命题 D.和都是真命题 3．已知向量a，b满足，，且，则( ) A. B. C. D.1 4．曲线与交点个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5．若，则( ) A. B. C. D. 6．已知正三棱台的侧面积为6,,,则与平面ABC所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7．关于x的不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A. B.C. D. 8．若则的最小值为( ) A. B.10 C. D.2 二、多项选择题（6×3=18分） 9．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则( ) A.该几何体的顶点数为12 B.该几何体的棱数为24 C.该几何体的表面积为 D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项 10．给定组数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则( ) A.中位数为3 B.标准差为C.众数为2和3 D.第85百分位数为4 11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则下列说法正确的是( ) A.抛物线的准线方程为 B.若，则M到x轴的距离为3 C.若，则 D.的最小值为4 三、填空题（5×3=15分） 12．已知集合，，则的子集个数为___________; 13．在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为___________若，则 14．已知函数的定义域为,其导函数为,若.,则关于x的不等式的解集为________. 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15．设等比数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式; (2)设，求的前n项和 16．我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1视力为正常视力，否则就是近视.某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图： (1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关不需说明理由 (2)估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；精确到 (3)已知该地区学生的近视率为，学生成绩的优秀率为成绩分为优秀，从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率以样本中的频率作为相应的概率 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F分别是棱PB，BC的中点. (1)求直线AF与平面PBC所成角的正弦值; (2)在截面AEF内是否存在点G使平面AEF，并说明理由. 18．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点P的两条直线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜 率满足 (1)求椭圆C的方程; (2)证明直线AB过定点; (3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围. 19．已知函数(a为实常数). （1）若,求曲线在处的切线方程; （2）讨论函数在上的单调性; （3）若存在,使得成立,求实数a的取值范围. 参考答案 1．答案：D 解析：因为，所以，所以，所以.故选D. 2．答案：B 解析：法一：因为，，所以命题p为假命题，所以为真命题.因为，所以，所以，即，解得或或，所以，使得，所以命题q为真命题，所以为假命题，所以和q都是真命题，故选B. 法二：在命题p中，当时，，所以命题p为假命题，为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有，0，1，所以，使得，所以命题q为真命题，为假命题，所以和q都是真命题，故选B. 3．答案：B 解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B. 4．答案：A 解析：作出曲线与大致图象,可知,而, 由曲线与图象知,曲线与有3个交点. 故选：A. 5．答案：C 解析：当时，由题设可得，故可取.于是，，，因此可以排除选项A，D.同理，当时，可取，于是有，因此可以排除选项B.故正确选项为C. 6．答案：A 解析：设中心为,中心为O, 如图,连接,,OA,由正棱台的性质可知,,平面ABC, 平面ABC,则, 在直角梯形中,过作,垂足为H,则, 则四边形为平行四边形,且平面ABC. 所以即为所求与平面ABC所成角. 在等腰梯形中过作,垂足为D, 设,则,则, 在中,, 由正三棱台侧面积为6,可知梯形的面积为2, 故,解得,则,, 在四边形中,, 则, 则在中,. 故侧棱与平面ABC所成角的余弦值为. 故选:A. 7．答案：A 解析：因为关于x的不等式的解集为, 所以,且,, 所以,, 所以化为, 解得. 故选：A. 8．答案：B 解析：的几何意义是点与函数的图象上任意一点距离的平方,即, 要使得存在最小值,必须,即, 即在上有解, 令, 当,恒成立, 所以在上至多存在一个零点, 因为, 所以在上存在一个零点3, 所以取得最小值为. 故选：B. 9．答案：ABD 解析：对于A,该几何体的顶点是正方体各棱的中点,正方体有12条棱,所以该几何体的顶点数为12,故A正确; 对于B,由题意知,该几何体有6个面为正方形,故该几何体的棱数为,故B正确; 对于C,该几何体的棱长为, 该几何体有6个面为正方形,8个面为等边三角形, 所以该几何体的表面积为, 故C错误; 对于D,原正方体内切球的半径为20cm,内切球表面积为 原正方体外接球的半径为, 外接球表面积为, 由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心,故外接球半径为, 所以该几何体外接球的表面积为 因为, 所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项, 故D正确. 故选:ABD 10．答案：ABC 解析：将该组数从小到大排列:1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,显然中位数是,众数是2和3,而,即第9个数5为第85百分位数,故AC正确,D错误; 易知该组数的平均数, 所以其标准差为,故B正确. 故选:ABC 11．答案：ABD 解析：由题意知抛物线的准线方程为，A正确；抛物线的焦点为，设，，则，由抛物线的定义知，所以，所以M到x轴的距离为，B正确；，，由，得，即，又，所以，即，解得，，所以，C不正确；记抛物线的准线为直线l，过点P作垂直直线l于点，交抛物线于点Q，过A作垂直直线于点，连接，如图.，当且仅当点A与Q重合时取等号，所以，D正确. 12．答案：4 解析：集合A表示直线上的点,集合B表示圆方程上的点, 圆心到直线的距离为 故该直线与圆有两个交点, 所以的子集个数为. 故答案为:4 13．答案：0.1 解析：根据题意,设轴承的直径为X,则, 其中, 要使拒绝的概率控制在之内, 即, 即, 必有, 即至少为0.1. 故答案为:0.1. 14．答案： 解析：令函数,,则,因此函数在上单调递减, ,因此,即,解得, 所以不等式的解集为. 故答案为:. 15．答案：(1) (2) 解析：(1)由题设得， 故， 因为数列为等比数列， 所以数列， 所以 (2)由(1)得， 所以 16．答案：(1)不能据此判断 (2)0.72 解析：(1)不能据此判断; (2)由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为， 因此第85百分位数一定位于内， 由， 可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8 (3)设“该地区近视学生”，“该地区优秀学生”， 由题设得，，， 所以 17．答案：(1) (2)答案见解析 解析：(1)以A为坐标原点，的方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨， ，，，， ，，，，，， 设平面PBC的法向量， 则，即， 可取， 因为， 所以AF与平面PBC所成角的正弦值为 (2)假设截面AEF内存在点G满足条件， 设，，，， 所以，，， 因为平面AEF， 所以， 所以，解得，这与假设矛盾矛盾， 所以不存在点G，使平面 18．答案：(1) (2)答案见解析 (3) 解析：(1)由题设得，解得， 所以C的方程为 (2)由题意可设， 设，， 由， 整理得， 由韦达定理得，， 由得， 即， 整理得， 因为，得，解得或，时， 直线AB过定点舍去 时，满足， 所以直线AB过定点 (3)由(2)得直线， 所以， 由，整理得， ， 由题意得， 因为， 所以，所以， 令，， 所以， 在上单调递减， 所以的范围是 19．答案：（1）. （2）答案见解析; （3）. 解析：（1）时,,,所求切线方程为. ⑵,. 当即时,,,此时,在上单调增; 当即时,时,,上单调减; 时,,在上单调增; 当即时,,,此时,在上单调减; ⑶当时,在上单调增,的最小值为,所以, 当时,在上单调减,在上单调增, 的最小值为. 因为,所以,, . 当时,在上单调减, 的最小值为, ,综上, 学科网（北京）股份有限公司 $$