第二十四章 圆（B卷·培优·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十四章 圆（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中 =180°，且 = ， = ．若阿超在 上取一点P，在 上取一点Q，使得∠APQ=130°，则下列叙述何者正确（　　） A．Q点在 上，且 > B．Q点在 上，且 < C．Q点在 上，且 > D．Q点在 上，且 < 2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 3．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示.若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为 1，E 是⊙C 上的一动点，则△ABE 面积的最大值为（　　） A． B．3+ C．3+ D．4+ 6．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=　 　。 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是　 　步． 9．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为　 　． 10．如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，半径为2的圆上的动点，是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是　 　. 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 　 　 . 12．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t.若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是　 　. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，AB是 的直径，点C、D是 两点，且AC=CD．求证：OC//BD. 14．如图所示， 的直径 为 弦 为 的平分线交于 于点 求 的长. 15．如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，A为切点，且AB=AC. （1）求∠ACB的度数. （2）若⊙O的半径为3，求的长. 16．如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上． （1）如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB于P； （2）如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB于Q． 17．阅读下面材料： 在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 已知：P为⊙O外一点. 求作：经过点P的⊙O的切线. 小敏的作法如下：如图， ①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C. ②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点. ③作直线PA，PB. 老师认为小敏的作法正确. 请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是　 　；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，写出依据.请写出证明过程 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE． （1）求证：四边形AECD为平行四边形； （2）连接CO，求证：CO平分∠BCE． 19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于C，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F． （1）求证：BE=BF； （2）若⊙O的半径为R，AG=R+1，CE=R﹣1，求弦AG的长． 20．综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． （1）特例研究：当，时，n=　 　，展开图上，与OB的夹角为　 　． （2）问题提出：求证：． （3）问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．课本改编 （1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则　 　度， 　 　度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补． （3）知识运用 如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线． 22．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α． （1）用含α的代数式表示∠BFD． （2）如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG． （3）在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径，的长为2时，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D. （1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）. （2）若以AD为直径的圆经过点C. ①求a的值. ②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标. ③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标. 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中 =180°，且 = ， = ．若阿超在 上取一点P，在 上取一点Q，使得∠APQ=130°，则下列叙述何者正确（　　） A．Q点在 上，且 > B．Q点在 上，且 < C．Q点在 上，且 > D．Q点在 上，且 < 【答案】B 【解析】解：连接AD、OB、OC、在弧AD上取点E，连接AE，CE， ∵弧AD的度数为180°， ∴AD是直径， ∵ = ， = ∴∠AOB=90°，∠BOC=45°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+45°=135°， ∴. ∵∠ABC+∠E=180°， ∴∠ABC=180°-67.5°=122.5°＜130°， ∴∠APQ＞∠ABC， ∴点Q在上，且 故答案为：B. 2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 【解析】∵∠A=100°，∠C=30°， ∴∠B=50°， ∵∠BDO=∠BEO， ∴∠DOE=130°， ∴∠DFE=65°． 故答案为：C． 3．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示.若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵AB=4，AC=2 ∴S1+S3=； S4+S2= ∵ ∴S1+S3-（S4+S2）=S3-S4+S1-S2= ∴S3-S4=. 故答案为：D 4．如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接 ， 的长与 的半径相等， 为等边三角形， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， 故答案为：C. 5．如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为 1，E 是⊙C 上的一动点，则△ABE 面积的最大值为（　　） A． B．3+ C．3+ D．4+ 【答案】A 【解析】如图，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最大即可）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（﹣2，0），B（0，1）， ∴ ， 解得 ， ∴直线AB的解析式为 y＝ x+1 ①， ∵CD⊥AB，C（0，﹣1）， ∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣1 ②， 联立①②得，D（﹣ ， ）， ∴CD＝ ＝ ， ∵⊙C的半径为1， ∴DE＝CD+CE＝ +1， ∵A（﹣2，0），B（0，1）， ∴AB＝ ， ∴S△ABE的最大值＝ AB•DE＝ （ +1）× ＝2+ . 故答案为： A. 6．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【解析】解：∵AB是⊙O直径， ∴∠C＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2＝4， 由条件不能证明AD＝BC， 故①不符合题意； ∵OD⊥AC，BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴∠DBC＝∠BDO， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO+∠ODB＝90°， ∴∠ADO+∠DBC＝90°， 故②符合题意； ∵AC＝BD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵OD⊥AC， ∴ ＝ ， ∴ 度数是 ×180°＝60°， ∵AO＝DO， ∴△AOD是等边三角形， ∵AE⊥OD， ∴DE＝OE， 故③符合题意； ∵PD＝PB，∠C＝∠DEP＝90°，∠DPE＝∠BPC， ∴△PDE≌△PBC（AAS）， ∴DE＝BC， ∵AO＝BO，AE＝EC， ∴BC＝2OE， ∴DE＝2OE， 故④符合题意， 故答案为：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=　 　。 【答案】15 【解析】解：∵AC是⊙O的内接正六边形的一边 ∴∠AOC=360°÷6=60° ∵BC是⊙O的内接正十边形的一边 ∴∠BOC=360°÷10=36° ∴∠AOB=60°-36°=24° 即360°÷n=24°∴n=15 故答案为：15. 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是　 　步． 【答案】6 【解析】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：； 依据直角三角形的性质：可得斜边长为： 依据直角三角形面积公式：，即为； 内切圆半径面积公式：，即为； 所以，可得：，所以直径为：； 故填：6； 9．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为　 　． 【答案】6 【解析】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π， 设正六边形的边长为r， ∴ ， 解得r＝6．（负根舍去） 则正六边形的边长为6． 故答案为： 10．如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，半径为2的圆上的动点，是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是　 　. 【答案】 【解析】解：如图，设抛物线与x轴的另一个交点为B， ，当y=0时，=0，解得x1=4，x2=-4， ∴A（-4，0），B（4，0）， 连接BP， ∵Q是PA的中点，OA=OB， ∴OQ=BP， ∴当BP值最小时，OQ最小， 连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小， BC==5， ∴BP'=BC-OP'=5-2=3， ∴ 线段OQ的最小值是. 故答案为：. 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 　 　 . 【答案】 【解析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图， ∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4， ∴AB=BC=4， ∴OC=AB=2，OP=AB=2， ∵M为PC的中点， ∴OM⊥PC， ∴∠CMO=90°， ∴点M在以OC为直径的圆上， 点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2， ∴M点的路径为以EF为直径的半圆， ∴点M运动的路径长=•2π•=π． 故答案为π． AC=BC=4，由勾股定理知， AB=， 弧AB=，M是CP中点， M运动路径是. 12．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t.若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是　 　. 【答案】 或 【解析】解：根据题意可得：若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点 或从直线l过点A开始到直线l过点B结束（不包括直线l过点 A) ， ∵直线l的解析式为y＝x+t， ∴直线l与x轴所形成的锐角是 ， 过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CDO=90°， 当直线l和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线l，∠COD=45° ， ∴△COD为等腰直角三角形. 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍负）， ∴ ， 即点 ， ， 把点C的坐标代入直线解析式，得 ， 当直线l过点A时，把点 代入直线解析式，得 ； 当直线l过点B时，把点 代入直线解析式，得 . 即当 或 时，直线l和半圆只有一个公共点. 故答案为： 或 . 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，AB是 的直径，点C、D是 两点，且AC=CD．求证：OC//BD. 【答案】证明：∵AC=CD， ∴ ， ∴∠ABC=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠DBC， ∴OC∥BD． 14．如图所示， 的直径 为 弦 为 的平分线交于 于点 求 的长. 【答案】解： 是直径， ， 在 中， ， ， ， . ， 又 平分 ， ， ， ， 又在 中， ， ， . 15．如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，A为切点，且AB=AC. （1）求∠ACB的度数. （2）若⊙O的半径为3，求的长. 【答案】（1）解：连接OA， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠BAO=90°， ∵AB=AC，OA=OC， ∴∠B=∠ACB=∠OAC， ∵∠B+∠ACB+∠OAC+∠BAO=180° ∴∠ACB=30°； （2）解：∵∠ACB=∠OAC=30°， ∴∠AOC=120° ∴弧AC=. 16．如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上． （1）如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB于P； （2）如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB于Q． 【答案】（1）解：如图1，连接EO，延长EO交⊙O于点F，连接DF交AB于点P，点P即为所求； （2）解：如图2，延长ED交⊙O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，点Q即为所求． 17．阅读下面材料： 在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 已知：P为⊙O外一点. 求作：经过点P的⊙O的切线. 小敏的作法如下：如图， ①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C. ②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点. ③作直线PA，PB. 老师认为小敏的作法正确. 请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是　 　；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，写出依据.请写出证明过程 【答案】直径所对圆周角为直角；由作图可知OP为⊙C的直径， ∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OP是⊙O的切线. 【解析】解：接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对圆周角为直角； 由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 证明过程如下： 由作图可知OP为⊙C的直径， ∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OP是⊙O的切线. 故答案为：直径所对圆周角为直角，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE． （1）求证：四边形AECD为平行四边形； （2）连接CO，求证：CO平分∠BCE． 【答案】（1）证明：由圆周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D， ∴∠E＝∠D， ∵CE∥AD， ∴∠D+∠ECD＝180°， ∴∠E+∠ECD＝180°， ∴AE∥CD， ∴四边形AECD为平行四边形. （2）解：作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N， ∵四边形AECD为平行四边形， ∴AD＝CE，又AD＝BC， ∴CE＝CB， ∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE， ∴CO平分∠BCE． 19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于C，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F． （1）求证：BE=BF； （2）若⊙O的半径为R，AG=R+1，CE=R﹣1，求弦AG的长． 【答案】证明：（1）连接DG、OE，交于点H． ∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠CAE=∠DAE， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∴∠CAE=∠OEA， ∴AC∥OE， ∴∠OEB=∠C=90°， ∴OE⊥BC， ∴BC是圆的切线， ∴BE=BF； （2）解：∵AB是直径， ∵∠AGD=90°， ∵∠C=90°， ∴GD∥BC， ∵OE⊥BC， ∴OE⊥GD， ∴GH=DH， ∵∠AGD=90°，∠C=90°，OE⊥BC， ∴四边形GCEH是矩形， ∴GH=CE=R﹣1， ∴GD=2（R﹣1）=2R﹣2， 在直角三角形AGD中，AG2+GD2=AD2， 即（R+1）2+（2R﹣2）2=（2R）2 解得R1=5，R2=1（舍去）， ∴AG=R+1=5+1=6； 20．综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． （1）特例研究：当，时，n=　 　，展开图上，与OB的夹角为　 　． （2）问题提出：求证：． （3）问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】（1）120；60° （2）解：由（1）得：， ； （3）解：，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【解析】解：（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．课本改编 （1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则　 　度， 　 　度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补． （3）知识运用 如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线． 【答案】（1）90；180 （2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接 由(1)可知，，， ， ， 即圆内接四边形的对角互补 （3）证明：连接，如图所示. ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 是线段的中点， 是的半径， 是的切线 【解析】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径， ∴°， ∵ ∴ 故答案为：90，180 22．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α． （1）用含α的代数式表示∠BFD． （2）如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG． （3）在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径，的长为2时，求的长． 【答案】（1）解：∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α①， 又∵∠AFB+∠BFD＝180°②， ②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α， ∴∠BFD＝90°﹣ （2）证明：由（1）得∠BFD＝90°﹣， ∵∠ADB＝∠ACB＝α， ∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣， ∴∠FBD＝∠BFD， ∴DB＝DF， ∵FG∥AC， ∴∠CAD＝∠DFG， ∵∠CAD＝∠DBE， ∴∠DFG＝∠DBE， 在△BDE和△FDG中， ， ∴△BDE≌△FDG（SAS） （3）解：∵△BDE≌△FDG， ∴∠FDG＝∠BDE＝α，DE＝DG， ∴∠BDG＝∠BDE+∠FDG＝2α， ∵DE＝DG， ∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣， ∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝， ∴与所对的圆心角度数之比为3：2， ∴与的长度之比为3：2， ∵＝2， ∴＝3 六、解答题（本大题共12分） 23．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D. （1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）. （2）若以AD为直径的圆经过点C. ①求a的值. ②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标. ③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标. 【答案】（1）解： ， . （2）解：① 以 为直径的圆经过点 ， 为直角三角形，且 ； 由 知， 、 、 ，则： 、 、 由勾股定理得： ， 即： ， 化简，得： ，由 ，得： ， ② ， 抛物线的解析式： ， . 将 绕平面内某一点旋转 得到 ， 轴，且 ； 设 ，则 ， ， ； ， ， 化简，得： ， 解得： （舍去）、 ， ， ， ， ， 点 的横坐标相同， ， 又 到抛物线上， ， ， . ③设 与直线 的切点为 ，连接 ，过 作 于 ，如下图： 、 ， ，即 是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 即： ； 设 ，则 ， ； 得： ， 化简，得： ， 解得： ； 即点 的坐标为 或 . 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$