第二十三章 旋转（B卷·培优·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：分别过点、作轴、轴于点、，如图所示： 由题意，得：，， ∴， 根据勾股定理可得， ， ∴，， ∵轴、轴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴，， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：D 2．已知在平面直角坐标系中，点为，点为，将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是(　　) A． B． C． 或 D．或 【答案】A 【解析】解：将抛物线Z：绕原点旋转180°得到抛物线R：， 即, 当抛物线R经过点A时，则， 解得m=-3； 当抛物线R经过点B时，则，解得， 当抛物线与x轴有一个交点时，则，∴4-4m=0 解得m=1， 此时， 与轴的交点为(-1,0)， 不合题意， ∴若抛物线R与线段AB只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 故选：A． 3．如图，在中，，，D为边上一点，将绕点A逆时针旋转90°得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接，将平移得到（点A、C的对应点分别为点D、F），连接，若，，则的长为（　　） A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝ ， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝， ∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE， ∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠BCE＝90°， ∴BE＝； ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠BAE+∠DAC＝180°， ∵AC平移得到DF， ∴AC＝DF＝AB，AC∥DF， ∴∠ADF+∠DAC＝180°， ∴∠ADF＝∠BAE， 在△ABE和△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA（SAS）， ∴BE＝AF， 故选：A 4．如图，四边形是正方形，在正方形外且；将逆时针旋转至，使旋转后的对应边与重合．连接、，已知，，则正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过B作于E，如图所示： ∵将△CBP逆时针旋转至△ABQ，使旋转后CB的对应边与AB重合， ∴PB=BQ,∠PBQ=90°， 在Rt△PBQ中，∠BPQ=45°,PQ=,则PB=BQ=1， 在△APQ中，AP=3,PQ=,AQ=，则，由勾股定理的逆定理可知△APQ为直角三角形， ∴∠APQ=90°,则∠BPE=45°, 在等腰Rt△PBE中，PB=1，则， ∴， 在Rt△AEB中，,，则由勾股定理可得 ， ∴正方形ABCD的面积为， 故选：B． 5．如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（　　） A． B． C．9 D．5 【答案】B 【解析】解：对于， 当时，， 解得：=0,=6， ∴A1=(6,0)． ∵， ∴C1=(3,9)． 由题意可知A2=(12,0),C2=(9,-9)， ∴可设C2：， 将A2=(12,0)代入， 得：， 解得：a=1， ∴． 由题意又可知整个函数图象每隔6×2=12个单位长度，函数值就相等， ∵2023÷12=168....7， ∴m的值等于x=7时的纵坐标， ∴． 故选B． 6．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②，③；④；⑤若，则；⑥，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】解：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45° 在△AEB和△CEB中 ， ∴△AEB≌△CEB(SAS) ∴AE=CE 故①符合题意 若，则∠HGC=∠EAF=45°，∠GHC=∠F ∵∠HCG=90° ∴∠GHC=45° ∴∠GHC=∠F=45° ∴∠AEF=90° ∴AE⊥BD 但只有当E点是线段BD的中点时，才有AE⊥BD，其它位置是不垂直的 故②不符合题意 如图1，在BC上取BM=DH，连接AM ∵AB=AD，∠ABC=∠ADH=90°，BM=DH ∴ △ABM≌△ADH(SAS) ∴AM=AH，∠BAM=∠DAH ∵∠BAM+∠MAD=∠DAB=90° ∴ ∠MAH=∠DAH+∠MAD =∠BAM+∠MAD=90° ∵ ∴ ∵AG=AG ∴△AMG≌△AHG(SAS) ∴GM=GH ∴BG=GM+BM=GH+DH 故③符合题意 ∵△AMG≌△AHG ∴ ∵△AGM与△BCD的高分别为AB、CD，且AB=CD ∴ ∵GM=GH，BC=AB ∴ 故⑥符合题意 如图1，延长AM到N，使MN=HF，连接BN、EN，则AM+MN=AH+HF，即AN=AF ∵∠BAM=∠DAH，AB=AD ∴△ABN≌△ADF(SAS) ∴BN=DF，∠ABN=∠ADF ∵∠ADF=180°-∠ADB=180°-45°=135° ∴∠ABN=135° ∴ ∠EBN=∠ABN-∠ABD=135°-45°=90° 同理可得：△ANE≌△AFE ∴EN=EF 在Rt△EBN中，由勾股定理得： ∴ 故④符合题意 当AB=3CH时，此时点H在边CD上 设CH=a，CG=b，则AB=CD=BC=3a，DH=AB-CH=2a，BG=BC-CG=3a-b 如图2，延长CD到P，使DP=BG，连接AP ∵AB=AD，∠ABC=∠ADP=90°，BG=DP ∴△ABG ≌△ADP(SAS) ∴AG=AP，∠BAG=∠DAP ∴∠GAP=∠GAD+∠DAP=∠GAD+∠BAG=∠DAB=90° ∵∠EAF=45° ∴∠PAF=∠EAF=45° ∵AH=AH ∴△APH≌△AGH(SAS) ∴PH=GH ∵PH=DP+DH ∴GH=BG+DH=3a-b+2a=5a-b 在Rt△GHC中，由勾股定理有： ∴ 整理得： ∴CD =3a= 故⑤不符合题意 ∴正确的结论有①③④⑥，共4个 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为　 　． 【答案】 【解析】解：根据题意，点A、A’关于点C对称， 设点A的坐标是(x,y)， 则 解得. 点A的坐标是(-a,-b-2)． 故答案为：. 8．如图，将腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积为　 　 【答案】 【解析】解：如图， 将腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'， ∴∠BAB′=15°，∠BAC=45°，AB′=B′C′=AB=3，AC=AC′， ∴∠B′AD=45°-15°=30°， 设B′D=x，则AD=2x， ∴AB′2+BD2=AD2即9+x2=4x2， 解之：（取正值） ∴S阴影部分=S△AB′C′-S△AB′D=. 故答案为：. 9．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为　 　． 【答案】5 【解析】解：连接CE,CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°，AB=CD=1cm， ∵BC=7cm， ∴， ∵点E是BD的中点， ∴， 由旋转得：CE=CF，∠ECF=90°， ∴． 故答案为：5． 10．如图所示，将Rt的斜边AB绕点按顺时针方向旋转得到AE，直角边AC绕点按逆时针方向旋转得到AF，连结EF.若，且，则　 　. 【答案】 【解析】解：∵ 将Rt的斜边AB绕点按顺时针方向旋转得到AE，直角边AC绕点按逆时针方向旋转得到AF， ∴AE=AB=3，AC=AF=2，∠B+∠BAC=90°， ∵， ∴∠BAE+∠CAF+∠BAC=90°即∠EAF=90°， ∴. 故答案为：. 11．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是 　 　． 【答案】 【解析】解：连接，过点作交延长线于点， ， ∴ ， ∵ ， ∴∠EDA=∠FEG， 在△AED和△GFE中， ， ， 点在的射线上运动， 作点关于的对称点， ，， ， ， ， ， 点在的延长线上， 当、、三点共线时，最小， 在中，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 12．如图，点A是抛物线y=x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为　 　. 【答案】（2，-1），（2，2） 【解析】解：如图，作AP⊥y轴于点P，作O'Q⊥对称轴， 对称轴x==2， ∴设点A坐标为（2，m）， ∵∠APO=∠AQO'=90°， ∴∠QAO'+∠AO'Q=90°， ∠QAO'+∠OAQ=90°， ∴∠AO'Q=∠OAQ， ∵∠OAQ=∠AOP， ∴∠AO'Q=∠AOP， 在△AOP和△AO'Q中， ∴ ∴△AOP≌△AO'Q（AAS）， ∴AP=AQ=2，PO=QO'=m， ∴点O'坐标为（2+m，m-2）， ∵点O'在抛物线上， ∴m-2=(m+2)2-4(m+2)， 解得m=-1或m=2， ∴A(2，-1)或（2，2）. 故答案为：(2，-1)，（2，2）. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图中，，P是内一点，将绕点A逆时针旋转一定角度后能与重合，如果，那么的面积是多少？ 【答案】4.5 【解析】解：∵绕点A逆时针旋转得到CQ， ∴， ∴CAQ，AP=AQ=3， ∵=,PAC=90°， ∴， 即：PAQ=90°， 在PAQ中，， ∴PAQ的面积为4.5． 14．如图所示，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，，． （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求的长度． 【答案】（1）旋转中心为点A；旋转角度为90°或270° （2）4 【解析】 （1）根据正方形的性质可知，△AFD≌△AEB，∠DAB=90°，可得旋转中心为点A，旋转角为90°或270°； （2）∵△AFD≌△AEB ， ∴AD=AB=7，AE=AF=3， ∴DE=AD-AE=7-3=4． 15．如图，在平面直角坐标系中，和的顶点的坐标都是整数，已知点，． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，请在图中画出； （2）将绕点逆时针旋转，得到，其中点，分别与点，对应，请在图中画出； （3）与关于平面内某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3） 【解析】（3）∵△A1B1C1与△DE1F1关于平面内一点M成中心对称，A1（-1，3），D（3，-3）， ∴M（，），即M（1，0）． 故答案为：M（1，0）． 16．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上． （1）若，，求旋转的角度的大小； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到， 旋转的角度的大小为； （2）解：将绕点C顺时针旋转得到， ， ． 17．如图，正方形的边长为2，点E是正方形内一点，绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． （1）绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角是多少度？ （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）∵绕点A顺时针旋转到E’B的位置，点E的对应点是点E’，点D的对应点是点B． ∴旋转角为BAD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴旋转角为BAD=90°； （2）∵正方形ABCD的边长为2， ∴AD=2， 在中，AED=90°,EAD=30° ∴DE=0.5AD=1， ∴， ∵绕点A顺时针旋转到E’B的位置，点E的对应点是点E’， 点D的对应点是点B． ∴EAE’=90°,AE=AE’ ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E. （1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小； （2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形. 【答案】（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上， ∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°， ∴∠CAD＝∠CDA＝ （180°﹣30°）＝75°， ∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°； （2）证明：如图2，连接AD ∵点F是边AC中点， ∴BF＝AF=CF＝ AC， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝ AC， ∴BF=CF＝AB， ∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC ∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形， ∴BE＝CB， ∵点F为△ACD的边AC的中点， ∴DF⊥AC， 在Rt△CFD和Rt△ABC中， ∴Rt△CFD≌Rt△ABC， ∴DF＝BC， ∴DF＝BE， 而BF＝DE， ∴四边形BEDF是平行四边形. 19．已知，如图1，四边形是正方形，E，F分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点A顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； （2）如图2，当绕点A旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】（1）证明：如图1， 由旋转可得 ， ， 四边形 为正方形 、 、 三点在一条直线上 在 和 中， （2）解：结论： ． 理由：如图2，把 绕点A 逆时针旋转 ，使 与 重合，点E 与点G 对应，同（1）可证得 ，且 20．如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，与交于点D，与交于点E，与交于点F，当B、D、F重合时停止旋转． （1）证明：在旋转过程中； （2）如图1，当平分时，证明：； （3）如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度． 【答案】（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵中，，，， ∴， 作，垂足为， ∵， 解得， ∴， ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； ③当时，则， 综上，该等腰三角形底边的长度为3或或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，在矩形中，，，，垂足为E．F是点E关于的对称点，连接． （1）求证：； （2）求和的长； （3）将一个与完全重合的透明三角板沿射线方向平移． ①设点在上移动的距离是m．当点分别落在线段上时，求相应的m的值； ②当点落在上时，立刻将绕点顺时针旋转，且旋转60°时停止．点H在上，且．若平移的速度为每秒1个单位长度，绕点旋转的速度为每秒5°，在整个运动过程中，直接写出点H在区域（含边界）内的时长． 【答案】（1）证明：∵F是点E关于的对称点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵，， ∴，； （3）解：①由（1）可得，，由平移的性质可得：， 当落在线段上时，如下图： ∵， ∴， ∴， ∴，即； 当落在线段上时，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ②点H在区域（含边界）内的时长为秒 22．问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，.你能求出的度数和等边的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决. （1）结合小明的思路完成填空：　 　，　 　，　 　，　 　. （2）类比探究 ①.如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数和正方形的面积. ②.如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数和正方形的面积. 【答案】（1）8；；； （2）解：①将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于H， 则，，，， 由勾股定理得：； ，，，， 又，， ，， ，， ， ∴正方形的面积 ②.将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H， ， ，， 在中，， ，根据勾股定理得，， ，， ，，是直角三角形，且， ； ，， ，， ， 正方形的面积. 【解析】解：（1）将绕点B逆时针旋转，得到， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，，， 如图，过点B作，交延长线于H， 又， ，， ，， ； 六、解答题（本大题共12分） 23．综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． （1）【特例分析】 如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为　 　度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为　 　度． （2）【类比分析】 如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样等量关系？试探究你的结论，并说明理由． （3）【延伸应用】 在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 【答案】（1）30；70 （2）如图， ∵和所在直线互相垂直， ∴∠G=90°. ∵是等边三角形，， ∴是等边三角形，∠BAC=60°. ∴∠DAE=60°. ∵将绕点A逆时针旋转， ∴∠ADG=∠EAC=， ∴∠DAC=∠EAC+∠DAE=60°+. ∵在四边形DAGC中，∠DAC+∠ADG+∠G+∠ACG=360°， ∴60°++60°+90°+∠ACG=360°，解得∠ACG=90°， ∴AE2+AC2=EC2. （3）如图. 当DE在直线AC的上方时， 过点D作DH⊥AC于点H， ∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=4， ∴AC=AB=4，∠EAD=60°. ∵ 将绕点A逆时针旋转 ，和所在直线互相垂直 ， ∴∠EAC=90°， ∵∠DAH+∠DAE+∠EAC=180°， ∴∠DAH+60°+90°=180°，解得∠DAH=30°， ∵， ∴DG=AD=. ∴AH=. ∴CH=AC+AH=7. ∴CD=. 当DE在直线AC下方时， 过点D作DHAC于点H，ED延长线交BC的延长线于点G. ∵∠ADE=∠B=60°，∠ADE+∠ADG=180°， ∴∠B+∠ADG=180°， ∴∠DAB+∠G=180°， ∵∠G=90°， ∴∠DAB=90°， ∵∠BAC=60° ∴∠DAC=90°-∠BAC=30°， ∴DH=AD=， ∴AH= ∴CH=AC-AH=4-3=1， ∴CD= 综上所述，CD的长为2或2. 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知在平面直角坐标系中，点为，点为，将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是(　　) A． B． C． 或 D．或 3．如图，在中，，，D为边上一点，将绕点A逆时针旋转90°得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接，将平移得到（点A、C的对应点分别为点D、F），连接，若，，则的长为（　　） A． B．6 C． D． 4．如图，四边形是正方形，在正方形外且；将逆时针旋转至，使旋转后的对应边与重合．连接、，已知，，则正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（　　） A． B． C．9 D．5 6．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中①；②，③；④；⑤若，则；⑥，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为　 　． 8．如图，将腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积为　 　 9．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为　 　． 10．如图所示，将Rt的斜边AB绕点按顺时针方向旋转得到AE，直角边AC绕点按逆时针方向旋转得到AF，连结EF.若，且，则　 　. 11．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是 　 　． 12．如图，点A是抛物线y=x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为　 　. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图中，，P是内一点，将绕点A逆时针旋转一定角度后能与重合，如果，那么的面积是多少？ 14．如图所示，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，，． （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求的长度． 15．如图，在平面直角坐标系中，和的顶点的坐标都是整数，已知点，． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，请在图中画出； （2）将绕点逆时针旋转，得到，其中点，分别与点，对应，请在图中画出； （3）与关于平面内某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　． 16．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上． （1）若，，求旋转的角度的大小； （2）若，，求的长度． 17．如图，正方形的边长为2，点E是正方形内一点，绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． （1）绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角是多少度？ （2）若，，求线段的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E. （1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小； （2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形. 19．已知，如图1，四边形是正方形，E，F分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点A顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； （2）如图2，当绕点A旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 20．如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，与交于点D，与交于点E，与交于点F，当B、D、F重合时停止旋转． （1）证明：在旋转过程中； （2）如图1，当平分时，证明：； （3）如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，在矩形中，，，，垂足为E．F是点E关于的对称点，连接． （1）求证：； （2）求和的长； （3）将一个与完全重合的透明三角板沿射线方向平移． ①设点在上移动的距离是m．当点分别落在线段上时，求相应的m的值； ②当点落在上时，立刻将绕点顺时针旋转，且旋转60°时停止．点H在上，且．若平移的速度为每秒1个单位长度，绕点旋转的速度为每秒5°，在整个运动过程中，直接写出点H在区域（含边界）内的时长． 22．问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，.你能求出的度数和等边的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决. （1）结合小明的思路完成填空：　 　，　 　，　 　，　 　. （2）类比探究 ①.如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数和正方形的面积. ②.如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数和正方形的面积. 六、解答题（本大题共12分） 23．综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． （1）【特例分析】 如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为　 　度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为　 　度． （2）【类比分析】 如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样等量关系？试探究你的结论，并说明理由． （3）【延伸应用】 在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$