第二十四章 圆（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十四章 圆（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 1．【答案】B 【解析】解：如图， ∵ 圆与圆内切， 圆半径为1，圆半径为3， ∴ AP1=3-1=2 ∴ BP1=AB-AP1=3 ∵ AC=3， ∴ CP2=AC-AP2=1 ∴ BP2= ∴ 3＜BP＜ ∵ rB=2 ∴ rB+rP=5，rB-rP=1 ∴1＜BP＜5 ∴ 圆P与圆B相交 故答案为：B 2．下列说法： ①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等。 其中不正确的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】①中被平分的弦是直径时，不一定垂直，故错误； ②不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故错误； ③应强调在同圆或等圆中，否则错误； ④中垂直于半径，还必须经过半径的外端的直线才是圆的切线，故错误； ⑤三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，所以到三条边的距离相等，故正确； 综上所述，①、②、③、④错误。 3．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则这根圆柱形木材的直径是（　　） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【解析】解：如图：，延长DE，则DE过圆心，设圆心为O，DE的延长线与圆相交于一点，连接AO，则EO⊥AE于E，△AEO为直角三角形， DE＝1 ，设圆的半径为r，则EO=r-1，AE=，AO=r，则，解之得2r=26， 故这根圆柱形木材的直径是26寸， 故选：D. 4．如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接OD， ∵∠C=20°， ∴∠AOD=2∠C=40°. ∵∠BPC=70°， ∴∠BDP=∠BPC-∠B=50°. ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADC=∠ADB-∠BDP=40°. 故答案为：D. 5．已知正方形ABCD的边长为2，点E为正方形所在平面内一点，满足∠AED=90°，连接CE，若点F是CE的中点，则BF的最小值为（　　） A．2 B． -1 C． D．2 【答案】C 【解析】解：如图，连接BO，作OH⊥BC， 以D为原点，以DC与DA为坐标轴建立直角坐标系， 设E点坐标为（m，n），F点坐标为(x，y)， 则A点坐标为（0，2），B点坐标为（2，2），C点坐标为（2，0）， F点坐标为（），得 ， ， ∴m=2x-2， n=2y； ∵∠AED=90°，根据直径所对的圆周角是直角得E点在以AB为直径的半圆上， x，y满足，(m-0)2+(n-1)2=1(0≤x≤1)，即(2x-2)2+(2y-1)2=1， 则（x-1）2+(y-)2=，x、y在以（1，）为圆心，以为半径的圆上， ∴连接BO交⊙O于F'，BF的最小值是BF'， ， 则， 故答案为：C. 6．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（　　） A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm 【答案】B 【解析】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°， ∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∴AG＝BG，BH＝CH， ∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°， ∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH， 连接OA，OB角AC于N， 则OB⊥AC，∠AOB＝60°， ∵OA＝15cm， ∴AN＝ OA＝ （cm）， ∴AC＝2AN＝15 （cm）， ∴GH＝ AC＝5 （cm）， 故答案为：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知扇形的面积为15πcm2，弧长为5πcm，则该扇形的圆心角是　 　度． 【答案】150 【解析】解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r， ∵扇形的弧长为5π，面积为15π， ∴15π＝ ×5πr，解得r＝6． ∵ ， ∴n＝150° 故答案为：150． 8．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 　 　cm. 【答案】4 【解析】如图， 连接OA， ∵CD是弦AB的垂直平分线， ∴ ， 设圆的半径是r.在直角△ADO中， . 根据勾股定理得， ， ∴ 故答案为：4 9．如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则　 　． 【答案】度 【解析】解：连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H. ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线， ∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA. ∵∠ACB=70°， ∴∠CAB+∠CBA=110°， ∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°， ∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°. ∵⊙O与AB、BC分别切于点D、E， ∴BD=BE. ∵OD=OE， ∴OB为DE的垂直平分线， ∴OB⊥DE，即∠OHF=90°， ∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=125°-90°=35°. 故答案为：35°. 10．如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为　 　cm2． 【答案】3π 【解析】解：正方形ABCD中， ∴∠DCB=90°，DC=AB=6cm． 扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E， ∴△BCE是等边三角形，∠ECB=60°， ∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=30°． 根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE， S扇形DCE=π×62× =3π， 故答案为3π． 11．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　． 【答案】3或 【解析】解：如图1中，当⊙与直线CD相切时，设， 在中，， ， ， ，； 如图2中当⊙与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形， ， ，， 在中，， 综上所述，BP的长为3或． 12．如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在 上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________． 答案：2 π 【解析】解：如图，由此BO交⊙O于F，取 的中点H，连接FH、HB、BD． 易知△FHB是等腰直角三角形，HF=HB，∠FHB=90°， ∵∠FDB=45°= ∠FHB， ∴点D在⊙H上运动，轨迹是 （图中红线）， 易知∠HFG=∠HGF=15°， ∴∠FHG=150°， ∴∠GHB=120°，易知HB=3 ， ∴点D的运动轨迹的长为 =2 π． 故答案为2 π． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，已知 是 的外接圆，圆心O在 的外部， ， ，求 的半径. 【答案】解：连接AO，交BC于点D，连接BO. ∵AB=AC， ∴ ， 又AO是半径， ∴AO⊥BC，BD=CD. ∵ ， ∴ ， ∴在 中， ， ∴ ， 又AB=4， ∴ 设半径为r，在 中，∵ ， ∴ ∴ ∴ 的半径为4. 14．已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE． 【答案】解：连接OD． ∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°． ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA． ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB，∴∠CAB=∠ADO，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠E=90°，∴DE⊥AE． 15．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，AC=BC （2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC。 【答案】（1）解：如图1，直径CD为所求； （2）解：如图2，弦AD为所求． 【解析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分； （2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分． 16．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？ 【答案】解：学校受到噪音影响．理由如下： 作AH⊥MN于H，如图， ∵PA=160m，∠QPN=30°， ∴AH=PA=80m， 而80m＜100m， ∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响， 以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，如图， ∵AH⊥BC， ∴BH=CH， 在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m， BH==60m， ∴BC=2BH=120m， ∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s， ∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间==24（秒）， ∴学校受影响的时间为24秒． 17．如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，． （1）求∠CBD的度数． （2）求AB的长． 【答案】（1）解：如图1，连接，． ∵的半径为3，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图2，连接，， 则． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【答案】（1）证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ， ， 同理可得：，， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 直线为的切线． 19．如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E． （1）求证：DE=AF； （2）若⊙O的半径为，AB=+1，求的值． 【答案】（1）证明：连接EP、FP，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°，∠BPA=90° ∴∠FPE=90°， ∴∠BPF=∠APE， 又∵∠FBP=∠PAE=45°， ∴△BPF≌△APE， ∴BF=AE， 而AB=AD， ∴DE=AF； （2）解：连EF， ∵∠BAD=90°， ∴EF为⊙O的直径， 而⊙O的半径为， ∴EF=， ∴AF2+AE2=EF2=（）2=3①， 而DE=AF， DE2+AE2=3； 又∵AD=AE+ED=AB， ∴AE+ED=+1②， 由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED=或AE=，ED=1， 所以：=或= 提示：（1）连接EF、EP、FP，可证明△AEP≌△BFP （2）设：AE=x，ED=AF=y 可得：x+y=和x2+y2=3， 解得x=，y=1或x=1，y=， 所以：=或=． 20．如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，． （1）求的度数； （2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （3）若，求的长．v 【答案】（1）解：如图，连接， ∵线段与相切于点B， ∴，而， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵的中点为M，， ∴，即，而， ∴， ∴， ∵的中点为M，为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：如图，连接，，交于， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴的长为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到　 　个． （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD． ①当∠A=140°时，求∠ADC的度数； ②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）4 （2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ①当时， ∵ ∴ ∴ ②当时， ∴ ∴ ③当时， ∴ 综上所述，∠ADC的度数可能为：90°，120°，60°， ②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，如下图： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∵△BCD均为“圆等三角形”， ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴ 在中， ∴ 扇形BOC的面积： ∴阴影部分的面积为：. 22．小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆。在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为，手中的三个正方形硬纸板的边长均为，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径.然后将各种情形下的直径值与进行比较，若小于或等于就能盖住，反之，则不能盖住.老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示. （1）通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为　 　.（填准确数 （2）图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为　 　，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为　 　.（填准确数） （3）拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心落在边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住.（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数） 【答案】（1） （2）； （3）解：如图设圆心到最上面横线的距离为，到最下面横线的距离为，根据勾股定理可得， ， 解得， ∵， ∴，即 ∴圆盘能盖住此种情况摆放硬纸板. 【解析】解：(1)如图1，连接BD， ∵∠A=90°，∴BD为直径， ∵BD= 即圆盘的最小直径为 故答案为： (2) 如图2，连接OA，OB，OC， ∵三个正方形的边长相同，∴OA=OB=OC， ∴O为圆的圆心， ∵OA= ∴圆盘的最小直径是cm. 如图3，连接AC， ∵∠B=90°，∴AC是直径， ∵AC= 即圆盘的最小直径是 六、解答题（本大题共12分） 23．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E点． （1）求AE的长． （2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y． ①求y关于x的表达式． ②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值． （3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积． 【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=30°， ∴AC=2AB， ∴AB2+BC2=AC2， ∴AB2+122=4AB2， 解之：， ∴AC=2AB=； ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=6 ∵四边形ABDE内接于圆O，∠ABC=90° ∴∠ABC+∠AED=180°， ∴∠AED=∠DEC=90°， ∴DE=CD=3， ∴， ∴ （2）解：① 设y=kx+b， ∵ 当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B 当x=AE=时，y=BQ=0；当x=0时y=BQ=12， ∴ 解之： ∴y与x的关系式为： ② 过点P作PF⊥CB于点F， ∴， ∴ ∵＜0， ∴抛物线的开口向下， 当时△PQC的面积最大，最大值为 ∴ （3）解：当EF=BD时，如图 由（1）知：∠DEC＝90°，DE＝3， ∵EF＝BD＝6， ∴， ∴∠EBF＝∠BED， ∴BF∥DE， ∴∠BPC＝∠DEC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴BP＝BC＝×12＝6， ∴， ∴， 在Rt△EFP中，∠PEF＝∠BAC＝60°， ∴∠FEP＝30°， ∴PF＝EF＝×6＝3， ∴BF＝BP＋PF＝6＋3＝9， ∴S四边形BDEF＝； 当EF＝BE时，过点E作EG⊥BC于G，连接EO交BF于H，连接OB，OF， 在Rt△CEG中，， 在Rt△DEG中，∠DEG＝90°−60°＝30°， ∴， ∴， 在Rt△BEG中，， ∵∠F＝∠A＝60°，EF＝BE， ∴△BEF是等边三角形， ∵OB＝OF，BE＝EF， ∴EH垂直平分BF， ∴， ∴S四边形BDEF＝； 当EF＝DE时，如图，过点E作EG⊥BC于G，EK⊥BF于K， ∵EF＝DE＝3， ∴， ∴∠EBG＝∠EBF， ∵EG⊥BC，EK⊥BF， ∴， ∵∠F＝∠A＝60°，∠EKF＝90°， ∴∠FEK＝30°， ∴， ∴， ∴S四边形BDEF＝； ∴ 四边形BDEF的面积为 或 或 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 2．下列说法： ①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等。 其中不正确的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则这根圆柱形木材的直径是（　　） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 4．如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知正方形ABCD的边长为2，点E为正方形所在平面内一点，满足∠AED=90°，连接CE，若点F是CE的中点，则BF的最小值为（　　） A．2 B． -1 C． D．2 6．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（　　） A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知扇形的面积为15πcm2，弧长为5πcm，则该扇形的圆心角是　 　度． 8．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 　 　cm. 9．如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则　 　． 10．如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为　 　cm2． 11．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　． 12．如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在 上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，已知 是 的外接圆，圆心O在 的外部， ， ，求 的半径. 14．已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE． 15．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，AC=BC （2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC。 16．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？ 17．如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，． （1）求的度数． （2）求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 19．如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E． （1）求证：DE=AF； （2）若⊙O的半径为，AB=+1，求的值． 20．如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，． （1）求的度数； （2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （3）若，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到　 　个． （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD． ①当∠A=140°时，求∠ADC的度数； ②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积． 22．小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆。在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为，手中的三个正方形硬纸板的边长均为，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径.然后将各种情形下的直径值与进行比较，若小于或等于就能盖住，反之，则不能盖住.老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示. （1）通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为　 　.（填准确数 （2）图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为　 　，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为　 　.（填准确数） （3）拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心落在边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住.（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数） 六、解答题（本大题共12分） 23．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E点． （1）求AE的长． （2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y． ①求y关于x的表达式． ②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值． （3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$