第二十三章 旋转（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十三章 旋转（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．x＞－3 3．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到AEF．则AE+PB+PC的最小值为（　　） A．2 B．8 C．5 D．6 5．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（　　） A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知点A(m，m＋1)在直线y＝ x＋1上，则点A关于原点的对称点的坐标是　 　． 8．如图，在等腰直角三角形ABC中， ， ，把 绕点C顺时针旋转 得到 ，边 、 分别交AB于E、F，则 的长为　 　. 9．如图，点A是抛物线 对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为　 　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D，E分别是AB，AC的中点，点G，F在BC边上(均不与端点重合)，DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是　 　. 11．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　 　． 12．如图，已知正方形的对角线长为8，在正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作，将绕点A顺时针旋转90°得到，则AH的长为　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ． （1）求证：AP＝BQ； （2）当PQ⊥BQ时，求AP的长． 14．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF． （1）求证：DA∥BC； （2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，1），B（-1，3），C（0，1）. （ 1 ）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C； （ 2 ）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（-5，-3），画出平移后的△A2B2C2； （ 3 ）若△A2B2C2和△A1B1C关于点P中心对称，请直接写出旋转中心P的坐标. 16．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到； （3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 17．如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90。得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG． （1）求证：BE=2CF； （2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD． （1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由． （2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积． （3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由． 19．如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF． （1）求证：BE=CD； （2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明． 20．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点. （1）求该二次函数的解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC.若OP＝1，求△ACQ的面积； （3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时，求点D的坐标. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21． （1）问题提出 如图1，在中，，点M为内一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转的度数得到，连接，，则与的数量关系为　 　，与的数量关系为　 　． （2）问题解决 如图2，在中，，，过B点的射线交边于点D，且，M为射线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，当为直角三角形时，求的长． （3）拓展探究 如图3，矩形中，，，E为直线上动点，将绕D逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为　 　．（直接写出结果） 22．如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，且，此时，成立． （1）将绕点C逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度； （2）当绕点C逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的长度． 六、解答题（本大题共12分） 23．菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系； （2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝ AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2 ，当CF＝1时，请直接写出BE的长． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项符合题意； D. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故答案为：C 2．在平面直角坐标系xOy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．x＞－3 【答案】B 【解析】解：点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3） ∵对称点在第四象限 ∴ 解得. 故答案为：B. 3．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：B． 4．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到AEF．则AE+PB+PC的最小值为（　　） A．2 B．8 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解：如图，连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G， ∵△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF， ∴， ∴△APE为等边三角形， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 5．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（　　） A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】C 【解析】解：令 ，解得 ， ， ， ， 令 ，解得 ， ， ∵点D与点C关于x轴对称，故 ， ， ， 则四边形 是正方形， 将△ACP绕点C顺时针旋转90°得到△CBP'， ， ， ， ， 又 ， ， △ ， ，阴影部分的面积=△CP'Q的面积， 当点P是AD中点时，PQ最短，即QP'最短时，△CP'Q的面积最小， 故可得到阴影部分的面积先减小后增大． 故答案为：C. 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接OB，过点C作CD⊥OA于点D， 在△AOB与△COB中， ∵OA=OC，OB=OB，AB=CB， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠AOB=∠COB=∠AOC=30°， 在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=2， ∴OB=4， ∴OA=， ∴OC=， 在Rt△OCD中，∠CDO=90°，∠COD=60°， ∴∠OCD=30°， ∴OD=， ∴CD=， ∴C（）； ∵每次旋转90°， ∴第一次旋转结束后点C的坐标为，第二次旋转结束后点C的坐标为，第三次旋转结束后点C的坐标为（），第四次旋转结束后点C的坐标为，…… 360°÷90°=4， ∴每旋转四次是一个循环， 而2023÷4=505……3， ∴第2023次循环结束时点C的位置和第三次循环结束时的位置相同， ∴第2023次旋转结束后点C的坐标为（）. 故答案为：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知点A(m，m＋1)在直线y＝ x＋1上，则点A关于原点的对称点的坐标是　 　． 【答案】 【解析】 在直线 上， ， ， ， 点 关于原点的对称点的坐标是 . 故答案为： 8．如图，在等腰直角三角形ABC中， ， ，把 绕点C顺时针旋转 得到 ，边 、 分别交AB于E、F，则 的长为　 　. 【答案】 【解析】解：∵在等腰直角三角形ABC中， ， ∴AB=4 ∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ∴∠ACE=∠ECB =∠B =45°， = ∴CE垂直平分AB ∴CE=AE=2 ∴ = -CE=4-2 故答案为4-2 9．如图，点A是抛物线 对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为　 　． 【答案】（2，-1）或（2，2） 【解析】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=- ∴设点A坐标为（2，m）， 如图所示，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2， ∴∠APO=∠AQO′=90°， ∴∠QAO′+∠AO′Q=90°， ∵∠QAO′+∠OAQ=90°， ∴∠AO′Q=∠OAQ， 又∠OAQ=∠AOP， ∴∠AO′Q=∠AOP， 在△AOP和△AO′Q中， ∴△AOP≌△AO′Q（AAS）， ∴AP=AQ=2，PO=QO′=m， 则点O′坐标为（2+m，m-2）， 代入y=x2-4x得：m-2=（2+m）2-4（2+m）， 解得：m=-1或m=2， ∴点A坐标为（2，-1）或（2，2）， 故答案为：（2，-1）或（2，2） 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D，E分别是AB，AC的中点，点G，F在BC边上(均不与端点重合)，DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是　 　. 【答案】 ≤l＜13 【解析】如图，连接DE，作AH⊥BC于H. 在Rt△ABC中， ∵∠BAC=90°AB＝4，AC＝3， ， ， ， ，AE=EC ， ， ， ∴四边形DGEF是平行四边形， ， 根据题意 ， ， ∴四边形MNFG是平行四边形， ∴当MG=NF=AH时，可得四边形MNFG周长的最小值= ， 当G与B重合时可得周长的最大值为13， ∵G不与B重合， ∴ ≤ l＜13 11．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　 　． 【答案】7 【解析】解：如图，过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥AD，交AD的延长线于G点， ∴∠DFB=∠DFC=∠G=90°， ∵AD∥BC， ∴∠GDF=∠DFB=90°，∠ADF=∠DFC=90°， ∵将CD绕点D逆时针旋转90°至DE， ∴∠CDE=90°，CD=DE， ∴∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°， ∴∠EDG=∠FDC， 在和中， ， ∴， ∴CF=EG， ∵的面积为6， ∴， ∴EG=CF=3， ∵AB⊥BC， ∴∠B=∠DFB=∠ADF=90°， ∴四边形ABFD为矩形， ∵AD=4， ∴BF=AD=4， ∴BC=BF+CF=4+3=7， 故答案为：7． 12．如图，已知正方形的对角线长为8，在正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作，将绕点A顺时针旋转90°得到，则AH的长为　 　． 【答案】 【解析】解：由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°． 又∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°． ∴∠BAG+∠BAE=45°． ∴∠GAE=∠FAE． 在△GAE和△FAE中， ∴△GAE≌△FAE（SAS）． ∵AB⊥GE，AH⊥EF， ∴AB=AH， ∵正方形的对角线长为8， ∴正方形的边长为 ∴AH= 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ． （1）求证：AP＝BQ； （2）当PQ⊥BQ时，求AP的长． 【答案】（1）证明：如图1中， ∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ． （2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H． ∵PQ⊥BQ， ∴∠PQB＝90°， ∵∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∴∠CQB＝135°， ∵△ACP≌△CBQ， ∴∠APC＝∠CQB＝135°， ∴∠APC+∠CPQ＝180°， ∴A、P、Q共线， ∵PC＝2， ∴CH＝PH＝ ， 在Rt△ACH中，AH＝ ＝ ＝ ， ∴PA＝AH﹣PH＝ ﹣ ． 14．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF． （1）求证：DA∥BC； （2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明：由旋转的性质可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠DAB=∠ABC， ∴DA∥BC （2）证明：猜想：DF=2AF， 证明如下：如图，在DF上截取DG=AF，连接BG， 由旋转的性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF， 在△DBG和△ABF中， ， ∴△DBG≌△ABF（SAS）， ∴BG=BF，∠DBG=∠ABF， ∵∠DBG+∠GBE=α=60°， ∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°， 又∵BG=BF， ∴△BGF为等边三角形， ∴GF=BF， 又∵BF=AF， ∴FG=AF， ∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，1），B（-1，3），C（0，1）. （ 1 ）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C； （ 2 ）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（-5，-3），画出平移后的△A2B2C2； （ 3 ）若△A2B2C2和△A1B1C关于点P中心对称，请直接写出旋转中心P的坐标. 【答案】如图所示，△A1B1C、△A2B2C2即为所求，旋转中心P的坐标为(-1，-1). 【解析】【分析】（1）分别将A，B绕C点旋转180°，得到A1，B1，再顺次连接即可得△A1B1C； （2）由A(-3，1)到A2(-5，-3)是向左平移2个单位，再向下平移4个单位，将B，C以同样的方式平移得到B2，C2，再顺次连接即可得△A2B2C2； （3）连接B1B2，CC2，交点即为旋转中心P. 16．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到； （3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝∠D＝90°. 又∵AB＝AD，DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS) （2）A； （3）解：∵BC＝8，∴AD＝8，在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8， ∴AE＝ ， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°. ∴△AEF的面积＝ AE2＝ ×4×17＝34 【解析】解：（2） ， 而 ， ，即 ， 可以由 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转 得到. 故答案为：A、 . 17．如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90。得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG． （1）求证：BE=2CF； （2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明：如下图：过点F作FH⊥BE于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°， ∴四边形BCFH是矩形， ∴BH=CF， 又∵BF=EF， ∴BE=2BH， ∴BE=2CF. （2）解：四边形BFGN是菱形，理由如下： 证明：∵MN⊥EF， 所以∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN， ∴∠E+∠ABN=90°， ∵BF=EF， ∴∠E=∠EBF， ∴∠EBF+∠ABN=90°， 又∵∠EBC=90°， ∴∠CBF+∠EBF=90°， ∴∠ABN=∠CBF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAN=∠CBF=90°， 在△ABN和△CBF中， ， ∴△ABN≌△CBF， ∴BN=BF， 由旋转可得EF=FG=BF， ∴BN=FG， ∵∠GFM=∠BME=90°， ∴BN∥FG， ∴四边形BFGN是菱形. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD． （1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由． （2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积． （3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由． 【答案】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴AC=CD，BC=CE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE与BD平行且相等； （2）∵四边形ABDE是平行四边形， ∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE， ∵△ABC的面积为5cm2， ∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2； （3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形． 理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=BC， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AD=2AC，BE=2BC， ∴AD=BE， ∴四边形ABDE为矩形． 19．如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF． （1）求证：BE=CD； （2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE， ∴AB=AC， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴BE=CD （2）证明：∵AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴∠BAE=∠BAD， 在△ABD和△ABE中， ， ∴△ABD≌△ABE（SAS）， ∴∠EBF=∠DBF， ∵EF∥BC， ∴∠DBF=∠EFB， ∴∠EBF=∠EFB， ∴EB=EF， ∴BD=BE=EF=FD， ∴四边形BDFE为菱形 20．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点. （1）求该二次函数的解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC.若OP＝1，求△ACQ的面积； （3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时，求点D的坐标. 【答案】（1）解：将代入， ， ； （2）解：令，则， 或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， 轴， ，， ， ； （3）解：设， 如图2，过点作轴垂线交于点， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得或， 或. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21． （1）问题提出 如图1，在中，，点M为内一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转的度数得到，连接，，则与的数量关系为　 　，与的数量关系为　 　． （2）问题解决 如图2，在中，，，过B点的射线交边于点D，且，M为射线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，当为直角三角形时，求的长． （3）拓展探究 如图3，矩形中，，，E为直线上动点，将绕D逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为　 　．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）解：由旋转的性质可得：，， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴，解得； （3） 【解析】解：（1），，理由如下： 由旋转的性质可得：，， ∴，即 ∵ ∴ ∴， 故答案为：，； （3）如图，作，， ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点在直线上运动，四边形为正方形 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 在矩形中，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 作，， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 即的最小值为． 22．如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，且，此时，成立． （1）将绕点C逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度； （2）当绕点C逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【答案】（1）解：如图所示， ； （2）解：，仍然成立. 证明：延长交于点H， ∵， ， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴. （3）或 【解析】解：(1)根据题意得，点D在BC上， ∴是直角三角形，且BC=，CE= 由勾股定理得，； （3）①当点D在AC上方时，如图1所示， 同（2）可得 ∴AD=BE 同理可证 在Rt△CDE中， ∴DE= 在Rt△ACB中， ∴ 设AD=BE=x， 在Rt△ABE中， ∴ 解得， ∴ ②当点D在AC下方时，如图2所示， 同（2）可得 ∴AD=BE 同理可证 在Rt△CDE中， ∴DE= 在Rt△ACB中， ∴ 设AD=BE=x， 在Rt△ABE中， ∴ 解得， ∴. 所以，AD的值为或 六、解答题（本大题共12分） 23．菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系； （2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝ AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2 ，当CF＝1时，请直接写出BE的长． 【答案】（1）解：如图①中，结论：CA＝CE+CF． 理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120° ∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60° ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∵∠DAC＝∠EAF＝60°， ∴∠DAF＝∠CAE， ∵CA＝AD，∠D＝∠ACE＝60°， ∴△ADF≌△ACE（SAS）， ∴DF＝CE， ∴CE+CF＝CF+DF＝CD＝AC， ∴CA＝CE+CF （2）解：结论：CF﹣CE＝ AC． 理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形． ∵∠GOC＝∠FOE＝60°， ∴∠FOG＝∠EOC， ∵OG＝OC，∠OGF＝∠ACE＝120°， ∴△FOG≌△EOC（ASA）， ∴CE＝FG， ∵OC＝OG，CA＝CD， ∴OA＝DG， ∴CF﹣EC＝CF﹣FG＝CG＝CD+DG＝AC+ AC＝ AC （3）解：作BH⊥AC于H．∵AB＝6，AH＝CH＝3， ∴BH＝3 ， 如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时． ∵OB＝2 ， ∴OH＝ ＝1， ∴OC＝3+1＝4， 由（1）可知：CO＝CE+CF， ∵OC＝4，CF＝1， ∴CE＝3， ∴BE＝6﹣3＝3． 如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时． 由（2）可知：CE﹣CF＝OC， ∴CE＝4+1＝5， ∴BE＝1． 如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时． 同法可证：OC＝CE+CF， ∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1， ∴CE＝1， ∴BE＝6﹣1＝5． 如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时． 同法可知：CE﹣CF＝OC， ∴CE＝2+1＝3， ∴BE＝3， 综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1 试卷第2页，共36页 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