八年级上学期期中测试模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

八年级上学期期中测试模拟卷2 考试范围：八上1-4章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 C．若a＞b，c≠0，则ac＞bc D．若ac2＞bc2，则a＞b 3．（3分）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，3，6 C．3，4，5 D．5，6，12 4．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．90° B．75° C．70° D．60° 6．（3分）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤5 C．a＞6 D．a≤6 7．（3分）若直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三边边长为（　　） A． B． C．或 D．或1 8．（3分）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动，…那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B． C． D．（2，4） 9．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②∠DEC＝60°；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知点A（2，3）且AB∥x轴，AB＝4，则点B的坐标是 　 　． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点E是AD的中点，连结BE．若点D在边AC的垂直平分线上，且DC＝6，则BE的长为 　 　． 13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝3，则BC＝ 　 　． 14．（3分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 　 　． 15．（3分）如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论： ①∠AGE＝∠AEG； ②AE＝DF； ③GD+DC＝AB； ④S△ABF＝2S△AFC+S△AGE； 其中正确的是 　 　．（填序号） 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18．（6分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD＝∠ECD，∠B＝70°，求∠CAD的度数． 19．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，3）． （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积； （3）在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标． 20．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝10，CF＝7，求BD的长． 21．（10分）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． （1）求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； （2）随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了a%，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求a的最小值． 22．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，2）的“短距”为 　 　． （2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值． （3）若点C（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”． 23．（12分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ●特例感知 ①等腰直角三角形 　 　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度． ●深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度． 24．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）BC＝　 　． （2）求斜边AC上的高线长． （3）①当P在AB上时，AP的长为 　 　，t的取值范围是 　 　．（用含t的代数式表示） ②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 　 　． （4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期期中测试模拟卷2 考试范围：八上1-4章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 C．若a＞b，c≠0，则ac＞bc D．若ac2＞bc2，则a＞b 【分析】根据不等式的基本性质判断即可． 【解答】解：A、1＞﹣2，而（﹣1）2＜22，故若a＞b，则a2＞b2，本选项错误，不符合题意； B、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，故本选项错误，不符合题意； C、若a＞b，且c＞0，则ac＞bc，故本选项错误，不符合题意； D、若ac2＞bc2，则a＞b，本选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（3分）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，3，6 C．3，4，5 D．5，6，12 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、2+3＝5，不能构成三角形，故A不符合题意； B、3+3＝6，不能构成三角形，故B不符合题意； C、3+4＞5，能构成三角形，故C符合题意； D、5+6＜12，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 4．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】证明PA＝PB，可得结论． 【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC， ∴PA＝PB， ∴点P在AB的垂直平分线上， 故选项B正确， 故选：B． 5．（3分）如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．90° B．75° C．70° D．60° 【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°， ∴∠BCA＝∠A＝15°， ∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°， ∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°， ∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°． 故选：D． 6．（3分）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤5 C．a＞6 D．a≤6 【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组有解，即可求得a的取值范围． 【解答】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：x＜3， ∵关于x的一元一次不等式组有解， ∴， ∴， 解得a＜6， 故选：A． 7．（3分）若直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三边边长为（　　） A． B． C．或 D．或1 【分析】分两种情况，①当2为斜边，②2不是斜边时，分别根据勾股定理求出第三边边长即可． 【解答】解：分两种情况： ①当2为斜边时，第三边边长为； ②当2不是斜边时，第三边边长为； 综上所述，第三边边长是或， 故选：C． 8．（3分）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动，…那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B． C． D．（2，4） 【分析】依题意不难发现第4次旋转后△OBA回到初始位置，而2023÷4＝505……3，据此可得当△OBA旋转2023次后的位置与旋转第3次后的位置重合，进而可得出答案． 【解答】解：∵△OBA每次绕点O逆时针旋转90°， ∴第4次旋转后△OBA回到初始位置， 又∵2023÷4＝505……3， ∴当△OBA旋转2023次后的位置与旋转第3次后的位置重合， 即此时点A与点A3重合， ∵点A（2，4）， ∴点A3（4，﹣2）， ∴转动2023次后，点A的坐标为（4，﹣2）． 故选：A． 9．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出∠EAD＝∠ABC即可得到AD∥BC，证明①正确；根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，根据角平分线定义和∠ABC＝∠ACB即可得到∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，证明②正确；根据角平分线定义∠ACF＝2∠ACD，由②知∠ACB＝2∠ADB，结合平角定义即可证明③正确；根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明∠ABD＝∠ADB，∠ACD＝∠ADC，即可证明④正确． 【解答】解：①∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确； ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB， 即∠ACB＝2∠ADB，故②正确； ③∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠ACD， 又∠ACF+∠ACB＝180°，∠ACB＝2∠ADB， ∴2∠ADB+2∠ACD＝180°， ∴∠ADB+∠ACD＝90°，故③正确； ④∵BD平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴△ABD是等腰三角形， ∵CD平分∠ACF，AD∥BC， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴△ACD是等腰三角形． 故④正确， 故选：D． 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②∠DEC＝60°；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 【分析】设AC交DE于点G，延长CB到点F，使BF＝BE，连接AF，则AB垂直平分EF，则AE＝AF，所以∠EAB＝∠FAB，再证明∠EAD＝∠FAC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△EAD≌△FAC，得∠ADE＝∠ACB，可判断①正确； 由①得出∠AEB＝∠AED，若∠DEC＝60°，得出△AEF是等边三角形，这与题中所给的条件是不符的，可判断②错误； 由△EAD≌△FAC得∠F＝∠AED，而∠AEB＝∠F，所以∠AEB＝∠AED，可判断③正确； 由△EAD≌△FAC得DE＝CF，因为FE＝2BE，所以CF＝CE+FE＝CE+2BE，所以DE＝CE+2BE，可判断④正确． 【解答】解：如图，设AC交DE于点G，延长CB到点F，使BF＝BE，连接AF， ∵∠ABC＝90°， ∴AB垂直平分EF， ∴AE＝AF， ∴∠EAB＝∠FAB， ∵∠CAD＝2∠BAE，∠FAE＝2∠BAE， ∴∠CAD＝∠FAE， ∴∠CAD+∠CAE＝∠FAE+∠CAE， ∴∠EAD＝∠FAC， 在△EAD和△FAC中， ∴△EAD≌△FAC（SAS）， ∴∠ADE＝∠ACB，∠F＝∠AEF＝∠AED，故①正确； 当∠DEC＝60°时，∠F＝∠AEF＝∠AED＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60° 显然，与题中所给条件不符，故②错误； ∵∠AEB＝∠F，∠F＝∠AED， ∴∠AEB＝∠AED，故③正确； ∵FE＝2BE， ∴DE＝CF＝CE+FE＝CE+2BE，故④正确， 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知点A（2，3）且AB∥x轴，AB＝4，则点B的坐标是 　（﹣2，3）或（6，3）　． 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值，进行求解即可． 【解答】解：∵点A（2，3）且AB∥x轴，AB＝4， ∴点B的纵坐标为3，|xB﹣2|＝4， ∴xB＝﹣2或xB＝6， ∴点B的坐标是（﹣2，3）或（6，3）； 故答案为：（﹣2，3）或（6，3）． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点E是AD的中点，连结BE．若点D在边AC的垂直平分线上，且DC＝6，则BE的长为 　3　． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出DA＝DC＝6，由直角三角形斜边中线的性质得到BE＝AD＝3． 【解答】解：∵点D在边AC的垂直平分线上， ∴DA＝DC＝6， ∵∠ABC＝90°，点E是AD的中点， ∴BE＝AD＝×6＝3． 故答案为：3． 13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝3，则BC＝ 　　． 【分析】根据垂直平分线的性质可得EA＝EC＝3，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而根据BC＝BE+EC即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，DE垂直平分AC，CE＝3， ∴EA＝CE＝3， ∵在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， ∴EB＝EA＝×3＝， ∴． 所以BC的值为． 故答案为：． 14．（3分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 　﹣3＜m≤﹣　． 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组只有3个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 解得：≤x＜2， ∵不等式组只有3个整数解，即﹣1，0，1， ∴﹣2＜≤﹣1， 解得：﹣3＜m≤﹣． 故答案为：﹣3＜m≤﹣． 15．（3分）如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　2　． 【分析】过点E作EH⊥BC于点H，根据△ABC是等边三角形，DE∥BC，得到△ADE是等边三角形，已知EB＝EF，得到，结合BD＝4，得到EC＝BD＝4，在△EHC中，求得，表示出BC＝BH+HC＝6，根据AC＝BC＝6＝EC+EA＝4+AE即可求得线段AE＝2的长，继而得到DE的长． 【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝CA， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE＝AD， ∴AC﹣AE＝AB﹣AD， ∴CE＝BD， ∵BD＝4， ∴CE＝4， ∵EB＝EF，EH⊥BC，BF＝8， ∴，∠HEC＝30°， ∴， ∴BC＝BH+HC＝6， ∴AC＝BC＝6＝EC+EA＝4+AE， ∴AE＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论： ①∠AGE＝∠AEG； ②AE＝DF； ③GD+DC＝AB； ④S△ABF＝2S△AFC+S△AGE； 其中正确的是 　①③④　．（填序号） 【分析】根据角平分线定义得到∠ABG＝∠CBG，根据余角的性质得到∠BGD＝∠AEB，等量代换得到∠AGE＝∠AEG，故①正确；如图，连接FG，根据全等三角形的性质得到AH＝HF，根据线段垂直平分线的性质得到AG＝FG，求得AE＞DF，故②错误；根据全等三角形的性质得到∠BFG＝∠BAD＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到DF＝DG，求得AB＝BF＝BD+DF＝CD+DG，故③正确；根据全等三角形的性质得到S△AEG＝S△AFG，推出S△ABG＝S△ACF，得到S△BGF＝S△ACF，于是得到S△ABF＝S△ABG+S△BFG+S△AGF＝2S△AFC+S△AGE．故④正确． 【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠ABG＝∠CBG， ∵AF⊥BE， ∴∠BAC＝∠AHB＝90°， ∴∠ABG+∠AEG＝∠CBG+∠BGD＝90°， ∴∠BGD＝∠AEB， ∵∠AGE＝∠BGD， ∴∠AGE＝∠AEG，故①正确； 如图，连接FG， ∵∠ABH＝∠FBH，∠AHB＝∠FHB，BH＝BH， ∴△ABH≌△FBH（AAS）， ∴AH＝HF， ∴BH垂直平分AF， ∴AG＝FG， ∴AE＝FG， ∵AD⊥BC， ∴∠GDF＝90°， ∴FG＞DF， ∴AE＞DF，故②错误； ∵BH垂直平分AF， ∴AB＝BF， ∴△ABG≌△FBG（SSS）， ∴∠BFG＝∠BAD＝45°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴DF＝DG， ∵BD＝CD， ∴AB＝BF＝BD+DF＝CD+DG，故③正确； ∵∠AGE＝∠AEG，AF⊥EG， ∴GH＝EH， ∵AH＝FH，∠AHE＝∠FHG， ∴△AEH≌△FGH（SAS）， ∴S△AEG＝S△AFG， ∵AD＝BD＝CD，DG＝DF， ∴AG＝CF， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠C＝45°， ∴△ABG≌△CAF（SAS）， ∴S△ABG＝S△ACF， ∵△ABG≌△FBG， ∴S△BGF＝S△ACF， ∴S△ABF＝S△ABG+S△BFG+S△AGF＝2S△AFC+S△AGE．故④正确； 综上所述：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x＜3， 表示在数轴上为： ， ∴不等式组的解集是：1≤x＜3． 18．（6分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD＝∠ECD，∠B＝70°，求∠CAD的度数． 【分析】在△ABD中，先利用三角形的内角和求出∠BAD，再利用角平分线的性质求出∠ACD，最后利用三角形的内角和求出∠DAC． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠B＝70°， ∴∠BAD＝20°． ∵CE是△ADC的角平分线， ∴． ∵∠BAD＝∠ECD＝20°， ∴∠ACD＝40°． 在△ACD中，∠CAD＝90°﹣40°＝50°． 19．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，3）． （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积； （3）在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）找到A、B、C关于y轴的对称点即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）作B点关于x轴对称的对称点B2，连接B2C，与x轴交点即为P． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）， 答：△A1B1C1的面积是3； （3）如图所示，点P即为所求； ∴P（2，0）． 20．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝10，CF＝7，求BD的长． 【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，再由AAS证明△ADE≌△CFE即可； （2）由全等三角形的性质得得AD＝CF＝7，由BD＝AB﹣AD即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）由（1）可知，△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝7， ∵AB＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7＝3， 即BD的长是3． 21．（10分）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． （1）求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； （2）随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了a%，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求a的最小值． 【分析】（1）设该水果商八月份梨子每箱的售价为3x元，则苹果每箱的售价为2x元，根据这两种水果八月份的销售额共为7740元列出方程求解即可； （2）根据题意可知，九月份苹果的销售额为元，梨子的销售额为元，再根据这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）因为苹果每箱售价是梨子每箱售价的， 故设该水果商八月份梨子每箱的售价为3x元，则苹果每箱的售价为2x元， 因为这两种水果八月份的销售额共为7740元， 所以270×2x+250×3x＝7740， 解得x＝6， ∴2x＝12，3x＝18， 答：该水果商八月份苹果每箱的售价为12元，梨子每箱的售价为18元； （2）由题意得，， ∴（270+2.7a）（12﹣0.1a）+（250+2.5a）（18+0.108a）≥11610， ∴3240+32.4a﹣27a﹣0.27a2+4500+45a+27a+0.27a2≥11610， 解得a≥50， ∴a的最小值为50． 22．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，2）的“短距”为 　2　． （2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值． （3）若点C（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”． 【分析】（1）根据短距的定义，进行判断即可； （2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据完美点的定义，求出b的值，进而求出D点坐标，进而求出点D的短距即可． 【解答】解：（1）点A（﹣3，2）的“短距”为2， 故答案为：2； （2）∵点B（3a﹣1，5）是“完美点”， ∴|3a﹣1|＝5， ∴3a﹣1＝5 或 3a﹣1＝﹣5， 解得a＝2或； （3）由题意，得|9﹣2b|＝5， ∴9﹣2b＝5或9﹣2b＝﹣5， 解得b＝2或b＝7， 当b＝2时，点D（﹣6，3）， ∵|﹣6|＝6，6＞3， ∴“短距”为3； 当b＝7时，点D（﹣6，13）， ∵|﹣6|＝6，13＞6， ∴“短距”为6． 综上所述，点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”为3或6． 23．（12分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ●特例感知 ①等腰直角三角形 　是　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度． ●深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度． 【分析】●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②如图1，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，即可解决问题； ●深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2； ●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题； 【解答】解：●特例感知： ① 等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为是． ②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1， 于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3， ∴CD＝． ●深入探究： 如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2， ∴AD2＝CB2， 即AD＝CB； ●推广应用： 过点A向ED引垂线，垂足为G， ∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC， ∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①． 又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②． 而∠AGD＝∠CDB＝90°……③， ∴△AGD≌△CDB（AAS）， ∴DG＝BD． 易知△ADE与△ABC均为等腰三角形， 根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD． 又AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝EC＝a， ∴ED＝2a． 24．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）BC＝　12　． （2）求斜边AC上的高线长． （3）①当P在AB上时，AP的长为 　3t﹣13　，t的取值范围是 　　．（用含t的代数式表示） ②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 　　． （4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值． 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解； （3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB＝PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），推出EC＝BC＝12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即可； （4）分AB＝AP＝5和AB＝BP＝5两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝5， ∴； 故答案为：12； （2）如图1所示，过点B作BD⊥AC于点D， ∵， ∴， ∴斜边AC上的高线长为； （3）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动， ∴AP＝3t﹣AC＝3t﹣13， ∴，即， ∴； 故答案为：3t﹣13，； ②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E， ∵CP平分∠BCA，∠B＝90°， ∴PB＝PE， 又∵PC＝PC， ∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL）， ∴EC＝BC＝12，则AE＝AC﹣CE＝13﹣12＝1， 由（2）知AP＝3t﹣13， ∴BP＝AB﹣AP＝5﹣（3t﹣13）＝18﹣3t， ∴PE＝18﹣3t， 在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2，即（3t﹣13）2＝12+（18﹣3t）2， 解得， ∴点P在∠BAC的角平分线上时，； 故答案为：； （4）△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况： 当AB＝AP＝5时， 则CP＝AC﹣AP＝13﹣5＝8， ∴； 当AB＝BP＝5时，过点B作BD⊥AC于点D， 由（2）知， ∴， ∵AB＝BP，BD⊥AC， ∴， ∴， ∴， 故△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$