九年级上学期期中测试模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

九年级上学期期中测试模拟卷2 考试范围：九年级全册＋九下第1章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（　　） A．6 B．3 C．5 D．9 2．（3分）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（　　） A． B． C． D．1 3．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣12，﹣8） B．（﹣12，﹣8）或（12，8） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）或（3，2） 4．（3分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　） A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．3：2 5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（　　） A．144° B．135° C．130° D．120° 6．（3分）已知二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1，下列说法错误的是（　　） A．∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．顶点坐标为（2，﹣1） D．在对称轴的左边（即x＜2），y随的x增大而增大． 7．（3分）若二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象过A（2，y1）、B（a，y2）、（3+，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系为（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　） A．6 B．2 C．2 D．9 9．（3分）如图，圆内接四边形ABCD，AB为⊙O的直径，延长DC交AB延长线于点E，且CD＝CE，若∠DAB＝45°，则∠E＝（　　） A．25° B．30° C．45° D．50° 10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知线段a＝2，b＝3，那么线段a和b的比例中项为 　 　． 12．（3分）如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是 　 　． 13．（3分）如图，小明用无人机测量大楼高度，无人机悬停在A处时，看这栋楼底的俯角为45°，而后垂直上升20米到与大楼高度平齐的B处，此时看这栋楼底的俯角为60°，则这栋楼的高度CD约为 　 　米．，结果精确到0.1） 14．（3分）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 　 　m． 15．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线BC上，且，则点P的坐标是 　 　． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，，CB＝6，D为AC中点，E为BC上一点，连接AE、BD交于点F，若∠AFD＝30°，则CE的长为　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算：（﹣1）2022+sin230°+cos245°﹣（π﹣3）0+sin60°•tan45°． 18．（6分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并求出：的值． 19．（8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　 　； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B． （1）求证：AB•CM＝BP•PC； （2）当△PCM为直角三角形时，求线段AP的长度． 21．（10分）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为15cm，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝120°时（点A′是A的对应点），舒适度较为理想． （1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A′走过的路径长． （2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在E处，书上有一点F，旋转点O到点F的距离为20cm，嘉嘉看点F的俯角为18°，眼睛到桌面高度为EB，点O到点B的距离为25cm，求此时眼睛到F点的距离，即EF的长度．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 22．（10分）掷实心球是温州市体育中考考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据温州市体育中考考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 23．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标； （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a+1≤x1＜x2≤a+3时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 24．（12分）如图，△ABC内接于圆O，连接OB． （1）如图1，求证：∠OBC+∠A＝90°； （2）如图2，CD⊥AB于D交圆O于E，OH⊥BC于H，求证：AE＝2OH； （3）如图3，在（2）的条件下，若OC平分∠BCE，延长CO交AB于P，AD＝3，BD＝8，求OP长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期期中测试模拟卷2 考试范围：九年级全册＋九下第1章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（　　） A．6 B．3 C．5 D．9 【分析】根据平行线分线段成比例即可解答． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD， ∴AD∥EF∥BC， ∴， 即， 解得FC＝6， 故选：A． 2．（3分）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【解答】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况， ∴； 故选：C． 3．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣12，﹣8） B．（﹣12，﹣8）或（12，8） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）或（3，2） 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的， 点B'的对应点A'的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（﹣6×（﹣），﹣4×（﹣）），即点B'的坐标为（﹣3，﹣2）或（3，2）， 故选：D． 4．（3分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　） A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．3：2 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB的值，由AB＝CD即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF＝4：25， ∴DE：AB＝2：5， ∵AB＝CD， ∴DE：EC＝2：3． 故选：C． 5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（　　） A．144° B．135° C．130° D．120° 【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，结合等腰三角形的性质进而求出∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：连接OC，如图： ∵C为的中点． ∴＝， ∴∠BAC＝∠AOC＝∠BOC， ∵∠BAC＝2∠OAB， ∴∠OAB＝∠BAC＝∠AOC＝∠AOB， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝∠AOB， ∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°， ∴∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝144°， 故选：A． 6．（3分）已知二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1，下列说法错误的是（　　） A．∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．顶点坐标为（2，﹣1） D．在对称轴的左边（即x＜2），y随的x增大而增大． 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1， ∴a＝2＞0，抛物线开口向上，故选项A不符合题意； 该抛物线的对称轴为直线x＝2，故选项B不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），故选项C不符合题意； 在对称轴的左边（即x＜2），y随的x增大而减小，故选项D符合题意； 故选：D． 7．（3分）若二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象过A（2，y1）、B（a，y2）、（3+，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系为（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【分析】求出抛物线的对称轴，得到抛物线的开口向和增减性，然后根据距离对称轴越远，函数值越小即可求出答案． 【解答】解：∵y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）， ∴图象的开口向下，对称轴是直线， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵|3﹣2|＝1，， ∵a＜0， ∴， ∴y2＜y3＜y1． 故选：A． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　） A．6 B．2 C．2 D．9 【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝3， ∴BD＝AB+AD＝7， 由勾股定理得，CD＝＝3， 在Rt△BCD中，BC＝＝2， 故选：B． 9．（3分）如图，圆内接四边形ABCD，AB为⊙O的直径，延长DC交AB延长线于点E，且CD＝CE，若∠DAB＝45°，则∠E＝（　　） A．25° B．30° C．45° D．50° 【分析】直接利用圆周角定理得出∠DOB＝90°，再利用直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质得出∠DOC＝60°，进而得出答案． 【解答】解：连接DO，CO， ∵∠DAB＝45°， ∴∠DOB＝90°， ∴△DOE是直角三角形， ∵DC＝EC， ∴CO＝DC＝EC， ∵DO＝CO， ∴DO＝CO＝DC， ∴△DOC是等边三角形， ∴∠DOC＝60°， ∴∠COE＝30°， ∵EC＝CO， ∴∠COE＝∠E＝30°． 故选：B． 10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：5，进而可求解n的值． 【解答】解：如图，设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b， ∵tanα＝，tanβ＝，2tanα＝tan2β， ∴＝（）2， ∴（b﹣a）2＝ab， ∴a2+b2＝ab， ∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：ab＝1：5， ∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n， ∴n＝5． 故选：D． 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知线段a＝2，b＝3，那么线段a和b的比例中项为 　　． 【分析】若c2＝ab，那么c是a，b的比例中项，据此列式求解即可． 【解答】解：设线段a和b的比例中项为x， 则：， ∵a＝2，b＝3， ∴x2＝ab＝2×3＝6， ∴或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴线段a和b的比例中项为， 故答案为：． 12．（3分）如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是 　　． 【分析】设扇形所在圆的半径为R，根据题意，得，解得R＝2，R＝﹣2（舍去），根据弧长公式，得． 【解答】解：设扇形所在圆的半径为R， ∵扇形的圆心角为30°，面积是m2， ∴， ∴R＝2（负值已舍去）， ∴这个扇形的弧长． 故答案为：． 13．（3分）如图，小明用无人机测量大楼高度，无人机悬停在A处时，看这栋楼底的俯角为45°，而后垂直上升20米到与大楼高度平齐的B处，此时看这栋楼底的俯角为60°，则这栋楼的高度CD约为 　47.3　米．，结果精确到0.1） 【分析】过点A作AM⊥CD于点M，由题意得，∠DAM＝45°，∠CBD＝60°，AM＝BC，AB＝CM＝20米，设DM＝x米，则AM＝x米，CD＝（20+x）米，BC＝AM＝x米．在Rt△BCD中，tan60°＝＝，求出x的值，进而可得答案． 【解答】解：过点A作AM⊥CD于点M， 由题意得，∠DAM＝45°，∠CBD＝60°，AM＝BC，AB＝CM＝20米． 在Rt△ADM中，∠DAM＝45°， ∴AM＝DM． 设DM＝x米，则AM＝x米，CD＝（20+x）米， ∴BC＝AM＝x米． 在Rt△BCD中，tan60°＝＝， 解得x＝≈27.3， 经检验，x＝是原方程的解且符合题意， ∴CD＝20+27.3＝47.3（米）， ∴这栋楼的高度CD约为47.3米． 故答案为：47.3． 14．（3分）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 　1.3　m． 【分析】设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【解答】解：设圆的半径为r， 由题意可知，，EF＝2.5m 在Rt△OFD中，，r+OF＝2.5m， ∴， 解得r＝1.3． 经检验：r＝1.3是方程的解， 故答案为：1.3． 15．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线BC上，且，则点P的坐标是 　（﹣3，6）或（1，2）　． 【分析】当P在C的左边时，则有PC＝CB＝PB，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可；当P在C的右边时，如图，过P作PD⊥x轴于D，则P1H∥OC，证明△BPD∽△BCO，得，根据，得到，则BD＝2，OD＝1，据此可得答案． 【解答】解：如图，当P在C的左边时， ∵S△PAC＝S△PAB， ∴PC＝CB＝PB， 设P（x，﹣x+3）， ∴， 解得， ∴P（﹣3，6）； 当P在C的右边时，过P作PD⊥x轴于H，则PD∥OC， ∴△BPD∽△BCO， ∴， 根据题意得PC＝BP＝CB， ∴， ∴BD＝2，OD＝1， 此时P的横坐标为1，则纵坐标y＝﹣x+3＝2， ∴P（1，2）， 综上：P的坐标为：（﹣3，6）或（1，2）． 故答案为：（﹣3，6）或（1，2）． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，，CB＝6，D为AC中点，E为BC上一点，连接AE、BD交于点F，若∠AFD＝30°，则CE的长为　　． 【分析】利用勾股定理求得AB和BD的长，证明∠CBA＝30°，得到∠1＝∠2，推出△DCB∽△BGA，得到，设CE＝x，BE＝6﹣x，再证明△AEC∽△BEG，得到，据此求解即可． 【解答】解：取AB的中点H，连接CH，过点B作AE的垂线，垂足为点G，如图， ∵∠ACB＝90°，，CB＝6， ∴， ∵D为AC中点， ∴， ∴， ∴， ∴△ACH是等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∴∠CBA＝30°， ∵∠AFD＝30°， ∴∠2+∠3＝30°， ∴∠1＝∠2， ∵∠DCB＝∠BGA＝90°， ∴△DCB∽△BGA， ∴， 解得， 设CE＝x，BE＝6﹣x，， ∵∠AEC＝∠BEG，∠ACE＝∠BGE＝90°， ∴△AEC∽△BEG， ∴， 即， 解得或x＝14， 经检验或x＝14都是原方程的解，但x＝14不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算：（﹣1）2022+sin230°+cos245°﹣（π﹣3）0+sin60°•tan45°． 【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：（﹣1）2022+sin230°+cos245°﹣（π﹣3）0+sin60°•tan45° ＝1+（）2+（）2﹣1+××1 ＝1++﹣1+ ＝+． 18．（6分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并求出：的值． 【分析】（1）作出A，B，C关于y轴的对称点，再连接AB，BC，CA即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，即可得△A2B2C2，根据位似的性质可得：的值． 【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如下： △A1B1C1即为所求； （2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，如图： △A2B2C2，即为所求； ∵△ABC与△A2B2C2是位似图形， ∴△ABC∽△A2B2C2，且相似比位1：2， ∴S△ABC：＝1：4， ∵△ABC≌△A1B1C1， ∴S△ABC＝， ∴：＝1：4． 19．（8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　　； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B． （1）求证：AB•CM＝BP•PC； （2）当△PCM为直角三角形时，求线段AP的长度． 【分析】（1）根据等边对等角得出∠B＝∠C，利用三角形外角的性质和∠APM＝∠B，推出∠CPM＝∠BAP，进而证明△CPM∽△BAP，根据对应边成比例即可得出结论； （2）分∠PMC＝90°，∠CPM＝90°两种情况，∠PMC＝90°时，，由勾股定理解Rt△APB可得线段AP的长度；∠CPM＝90°时，可证△ABP∽△DBA，由对应线段成比例可得AP的长度． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝10cm， ∴∠B＝∠C， ∵∠APM+∠CPM＝∠APC＝∠B+∠BAP，∠APM＝∠B， ∴∠CPM＝∠BAP， ∴△CPM∽△BAP， ∴， ∴AB•CM＝BP•PC； （2）解：∵∠B＝∠C≠90°， 当∠PMC＝90°时，如图， 由（1）知△CPM∽△BAP， ∴∠APB＝∠PMC＝90°， ∵AB＝AC， ∴点P为BC中点， ∴BP＝CP＝＝8（cm）， ∴ap＝＝6（cm）； 当∠CPM＝90°时，如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝6cm， 由（1）知△CPM∽△BAP， ∴∠BAP＝∠CPM＝90°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴， ∵∠BAP＝∠BDA＝90°，∠ABP＝∠DBA， ∴△ABP∽△DBA， ∴， ∴AP＝（cm）， 综上可知，线段AP的长度为6cm或． 21．（10分）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为15cm，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝120°时（点A′是A的对应点），舒适度较为理想． （1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A′走过的路径长． （2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在E处，书上有一点F，旋转点O到点F的距离为20cm，嘉嘉看点F的俯角为18°，眼睛到桌面高度为EB，点O到点B的距离为25cm，求此时眼睛到F点的距离，即EF的长度．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【分析】（1）根据题意求出∠AOC，再根据正弦的定义求出OA，根据弧长公式计算即可； （2）过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BE于N，根据正弦的定义求出OM，进而求出BM，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝180°﹣150°＝30°， 在Rt△AOC中，AC＝15cm，∠AOC＝30°， 则OA＝2AC＝30cm， ∵∠A′OB＝120°，∠AOB＝150°， ∴∠AOA′＝30°， ∴A点到A′走过的路径长为：＝5π（cm）； （2）如图2，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BE于N， 则四边形FMBN为矩形， ∴FN＝BM， 在Rt△OFM中，OF＝20cm，∠FOM＝180°﹣120°＝60°， 则OM＝OFcos∠FOM＝10（cm）， ∴BM＝OM+OB＝35（cm）， ∴FN＝35cm， 在Rt△EFN中，FN＝35cm，∠EFN＝18°， 则EF＝≈≈37（cm）， 答：眼睛到F点的距离约为37cm． 22．（10分）掷实心球是温州市体育中考考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据温州市体育中考考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可． 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3． 把（0，）代入解析式，得2+3， 解得a＝﹣． ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3． （2）该女生在此项考试中是得满分． 理由：令y＝0，即， 解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）． ∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.9m． ∴该女生在此项考试中是得满分． 23．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标； （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a+1≤x1＜x2≤a+3时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【分析】（1）把点（1，4）代入二次函数解析式中，求得m的值，即可求得二次函数表达式； （2）由y＝mx2﹣2mx+3可求得抛物线的对称轴与顶点坐标，当﹣1≤x≤2时，函数在x＝﹣1取得最大值，从而可求得m的值，进而得到M的坐标；在顶点取得最小值，即可求得其坐标； （3）分m＞0，m＜0两种情况讨论，利用二次函数图象的增减性质即可求解． 【解答】解：（1）把点（1，4）代入抛物线表达式得：m﹣2m+3＝4， 解得：m＝﹣1， 函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3﹣m）； 当﹣1≤x≤2时， ∵m＞0， ∴当﹣1≤x＜1时，函数值随自变量的增大而减小，当1＜x≤2时，函数值随自变量的增大而增大， ∴图象最低点N为抛物线的顶点，即在顶点取得最小值，最小值为3﹣m； ∵1﹣（﹣1）＞2﹣1， ∴函数在左端点的函数值大于函数在右端点的函数值， ∴函数在x＝﹣1取得最大值； 当x＝﹣1时，y＝m+2m+3＝3m+3， 由题意得：3m+3＝9， 则m＝2，3﹣m＝1 ∴M（﹣1，9），N（1，1）； （3）抛物线的对称轴为直线x＝1； ①当m＞0时，抛物线开口向上， 当x＜1时，函数值随自变量的增大而减小，当x＞1时，函数值随自变量的增大而增大； ∵当a+1≤x1＜x2≤a+3时，总有y1＞y2， ∴a+3≤1， ∴a≤﹣2； ②当m＜0时，抛物线开口向下， 当x＜1时，函数值随自变量的增大而增大，当x＞1时，函数值随自变量的增大而减小； ∵当a+1≤x1＜x2≤a+3时，总有y1＞y2， ∴a+1≥1， ∴a≥0； 综上，当m＞0时，a≤﹣2；当m＜0时，a≥0． 24．（12分）如图，△ABC内接于圆O，连接OB． （1）如图1，求证：∠OBC+∠A＝90°； （2）如图2，CD⊥AB于D交圆O于E，OH⊥BC于H，求证：AE＝2OH； （3）如图3，在（2）的条件下，若OC平分∠BCE，延长CO交AB于P，AD＝3，BD＝8，求OP长． 【分析】（1）延长BO，交⊙O于点D，连接CD，利用圆周角定理和直角三角形的性质解答即可； （2）作直径BF，连接CF，利用垂径定理和三角形的中位线定理得到FC＝2OH；再利用圆周角定理，直角三角形的性质和（1）的结论得到，则FC＝AE，结论可得； （3）过点P作PM⊥BC于点M，过点O作ON⊥PM于点N，连接OB，利用矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到PD＝AD＝3，利用勾股定理得到BM，设CD＝CD＝x，则BC＝x+4，利用勾股定理求得x值，再利用垂径定理和勾股定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：延长BO，交⊙O于点D，连接CD，如图， 则BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠OBC+∠D＝90°． ∵∠D＝∠A， ∴∠OBC+∠A＝90°； （2）证明：作直径BF，连接CF，如图， ∵OH⊥BC， ∴BH＝HC， ∵BF为⊙O的直径， ∴∠BCF＝90°， ∴FC⊥BC， ∵OH⊥BC， ∴OH∥CF， ∴OH为△BCF的中位线， ∴FC＝2OH． 由（1）知：∠OBC+∠BAC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAC+∠ACD＝90°， ∴∠OBC＝∠ACD， ∴， ∴AE＝FC， ∴AE＝2OH； （3）解：过点P作PM⊥BC于点M，过点O作ON⊥PM于点N，连接OB，如图， ∵PM⊥BC，ON⊥PM，OH⊥BC， ∴四边形ONMH为矩形， ∴ON＝MH，MN＝OH． ∵OC平分∠BCE， ∴∠BCP＝∠DCP． 在△PMC和△PDC中， ， ∴△PMC≌△PDC（AAS）， ∴CM＝CD，PM＝PD． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， 由（2）知：∠OBC＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠OCB＝∠PCD． 在△PDC和△ADC中， ， ∴△PDC≌△ADC（ASA）， ∴PD＝AD＝3， ∴PM＝PD＝3，PB＝BD﹣PD＝5， ∴BM＝＝4， 设CD＝CD＝x，则BC＝x+4， ∵CD2+BD2＝BC2， ∴x2+82＝（x+4）2， ∴x＝6， ∴BC＝10． ∵OH⊥BC， ∴BH＝CH＝5， ∴ON＝MH＝BH﹣BM＝1． ∵PM⊥BC，OH⊥BC， ∴OH∥PM， ∴△COH∽△CPM， ∴， ∴， ∴OH＝， ∴MN＝OH＝， ∴PN＝PM﹣MN＝． ∴OP＝＝＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$