2024-2025学年沪科版数学九年级上学期第二十一章《二次函数与反比例函数》复习试题

沪科版数学九年级上第二十一章《二次函数与反比例函数》复习试题 一．选择题（共10小题） 1．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A．B． C．D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，8） C．（﹣2，3） D．（1，5） 3．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为（﹣1，3） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 4．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．0＜x＜5 D．x＜﹣1或x＞5 5．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 6．正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 7．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB＝12，BC＝4，CD＝6，则MN的长度是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自变量和函数的对应值表如下： x ﹣2 ﹣1 0 2 y 0 0 12 则下列各点在函数图象上的是（　　） A． B．（﹣4，12） C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点A（2m，1），B（﹣1，m﹣3），则k的值为 　 　． 12．如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，2）和点B，则关于x的不等式＞x+b的解集是 　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　． 14．已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m+3的值恒大于0，则m的取值范围是 　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣4，4），B（n，﹣2）．则△AOB的面积是 　 　． 16．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例．若y＞1.6，则x的取值范围是 　 　． 17．若P（m，m2+4m+3）是一个动点（m为实数），点Q是直线y＝2x﹣8上的另一个动点，则PQ长度的最小值为 　 　． 18．如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④四边形AECD为正方形． 其中正确的是 　 　．（填写正确的序号） 三．解答题（共7小题） 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤﹣的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 20．如图，直线y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于点A（﹣1，2），点B（2，5）． （1）直接写出不等式ax2＞kx+b的解集 　 　； （2）求出△AOB的面积． 21．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 22．如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接AC、BC，求S△ABC； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？ （1）若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？　 　（填“存在”或“不存在”）． （2）继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？ 小明同学有以下思路： 设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况： 小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：l1：y＝﹣x+10，l2：．则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由． （3）根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达； （4）是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围． 24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式； （2）点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标 　 　． 25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点P（m，n）抛物线上一动点． （1）求△ABC的面积； （2）当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； （3）当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得△OPQ是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由； （4）作点P关于x轴的对称点，设为点P′，过点P作PD⊥y轴，垂足为D，以PD，PP′为邻边构造矩形PDEP′，当抛物线与矩形PDEP′的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．A． 2．A． 3．C． 4．D． 5．A． 6．B． 7．B． 8．B． 9．B． 10．D． 二．填空题（共8小题） 11．2． 12．x＜﹣2或0＜x＜1． 13．4． 14．2﹣2＜m＜2+2． 15．12． 16．2＜x＜50． 17．． 18．①②④． 三．解答题（共7小题） 19．解：（1）∵反比例函数y＝﹣的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3）， ∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6， 解得m＝6，n＝2， ∴A（﹣1，6），B（2，﹣3）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3． （2）观察图象，不等式kx+b≤﹣的解集为：﹣1≤x＜0或x≥2． （3）连接OA，OB，由题意C（0，3）， S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×2＝， 设P（m，0）， 由题意•|m|•3＝×2， 解得m＝±6， ∴P（6，0）或（﹣6，0）． 20．解：（1）由图象知，不等式ax2＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2； （2）将点A（﹣1，2），点B（2，5）代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线y＝kx+b的解析式为y＝x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， ∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝＝． 21．解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 把（50，50），（80，20）代入得：， 解得， ∴y＝﹣x+100， 令y＝0，则﹣x+100＝0， 解得x＝100， ∵成本价为每千克40元， ∴自变量x的取值范围为40＜x＜100， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+100（40＜x＜100）； （2）设日销售利润为w元， 则w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+100）＝﹣x2+140x﹣4000＝﹣（x﹣70）2+900， ∵﹣1＜0， ∴当x＝70时，w有最大值，最大值为900， ∴当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大利润是900元． 22．解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4）， ∴4＝3+m， ∴m＝1， ∴y＝﹣x+1， ∴B（0，1）， 二次函数解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2， 顶点坐标为C（﹣1，0）； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函数对称轴为直线x＝﹣1， ∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点D（﹣1，y）， ∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2， ∴D（﹣1，2）， ∴△ABC的面积＝S△ACD+S△BCD＝； （3）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形． ∵顶点坐标为C（﹣1，0）， ∴对称轴为直线x＝﹣1， 过点A作AE⊥CD于点E， 在Rt△ACE中，． ①当AQ＝CQ时，设CQ＝m， 在Rt△AEQ中，AE2+EQ2＝AQ2 ∴22+（4﹣m）2＝m2 解之得 ∴； ②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE＝QE＝4， ∴CE＝2CE＝8， ∴Q2（﹣1，8）； ③当CA＝CQ时，， ∴，． 综上所述：点Q的坐标为或（﹣1，8）或或． 23．解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4， 若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8， 对应的边长为：4和2，不符合题意， ∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍． （2）从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝图象在第一象限有两个交点， ∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍． （3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3， 联立，得：2x2﹣5x+6＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0， ∴此方程无解， ∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍． （4）设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k， 联立，得：x2﹣5kx+6k＝0， ∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k， 设方程的两根为x1，x2， 当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0， 解得：k≥或k≤0（舍）， ∴当k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍． 24．解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点A，点B，点C代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得： ， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由（1）可得出，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1， 设N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3）， 当以BC为平行四边形BCNM的边时，如图1， ∵点B（3，0），C（0，﹣3）， 则， 解得m＝4，n＝2， 故M（4，5）； 当以BC为平行四边形BCMN的边长时，如图2， ∵点B（3，0），C（0，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3）， 则， 解得m＝﹣2，n＝8， 故M（﹣2，5）； 当以BC为对角线时，如图3， ∵B（3，0），C（0，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3）， ∴线段BC的中点J的坐标为，即， 则， 解得m＝2，n＝0， 故M（2，0）， 综上所述，存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形；点M的坐标为（4，5）或（﹣2，5）或（2，0）； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形时，分以下几种情况讨论： 当∠BPQ＝90°时，PQ＝PB， ∴Q点与A点重合， ∴Q（﹣1，0）； 当∠PBQ＝90°时，PB＝BQ， 如图4，当P点在Q点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GB交于点H，过点Q作QG⊥HG交于点G， ∵∠PBQ＝90°， ∴∠PBH+∠QBG＝90°， ∵∠PBH+∠BPH＝90°， ∴∠QBG＝∠BPH， ∵BP＝BQ， ∴△BPH≌△QBG（AAS）， ∴BH＝QG，PH＝BG＝2， 设P（1，t），则Q（3﹣t，﹣2）， ∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3， 解得或． ∴或， ∵Q点在对称轴的左侧， ∴Q点坐标为； 如图5，当P点在Q点下方时， ∵∠PBQ＝90°， ∴∠PBS+∠QBT＝90°， ∵∠PBS+∠BPS＝90°， ∴∠QBT＝∠BPS， ∵BP＝BQ， ∴△BPS≌△QBT（AAS）， ∴BS＝QT，PS＝BT＝2， 设P（1，t），则Q（3+t，2）， ∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 综上所述，Q点的坐标为或或（﹣1，0）， 故答案为：或或（﹣1，0）． 25．解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴点A，B的坐标为（﹣1，0），（3，0）； 当x＝0时，y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∴； （2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵点P（m，n）抛物线上一动点， ∴点P在对称轴的左边时，即当m≤1，n随m的增大而减小， 故n随m的增大而减小时，m≤1； （3）在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△OPQ是以O为直角顶点的等腰直角三角形；理由如下： 由（2）知当m≥1时，n随m的增大而增大， ∴点P在对称轴右侧， 过点P作PN⊥x轴于点N，点Q作QM⊥x轴于点M，如图1， 则∠OMQ＝∠ONP＝∠POQ＝90°， ∴∠QOM+∠OQM＝∠QOM+∠PON＝90°， ∴∠OQM＝∠PON， 又∵OP＝OQ， ∴△OPN≌△QOM（AAS）， ∴PN＝OM＝1． 当n＝1时，即m2﹣2m﹣3＝1， 解得： （舍去）； 如图2，当n＝﹣1时，即m2﹣2m﹣3＝﹣1， 解得： （舍去）， 综上，点P的坐标为或； （4）当y＝﹣3时，解得x1＝0，x2＝2， 当m＜﹣1时，如图3，抛物线与矩形PDEP′的边有两个公共点， 当﹣1≤m≤0时，如图4，矩形PDEP′除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点； 当0＜m≤1时，如图5，抛物线与矩形PDEP′的边有两个公共点； 当1＜m＜2时，如图6，抛物线与矩形PDEP′的边有三个公共点； 当m＝2时，如图7，抛物线与矩形PDEP′的边有两个公共点； 当2＜m≤3时，如图8，抛物线与矩形PDEP′的边有一个公共点； n＝3，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时，如图9，抛物线与矩形PDEP′的边有两个公共点； 令n＝4，则抛物线的顶点在EP′上，这时，（舍去）， ∴当时，如图10，抛物线与矩形PDEP′的边有三个公共点； 当时，如图11，抛物线与矩形PDEP′的边有两个公共点； 综上所述，当抛物线与矩形PDEP′的边有两个公共点时，出m的取值范围为m＜﹣1，0＜m≤1，m＝2，，． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/1 13:43:41；用户：马丹；邮箱：18845904881；学号：49967352 学科网（北京）股份有限公司 $$