9.8相似三角形的性质 课件 2023—2024学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

8　相似三角形的性质 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 相似三角形的性质定理 定理1 相似比=对应________的比  =对应______________的比  =对应__________的比  定理2 周长比=相似比; 面积比=相似比的__________  　高　 　角平分线　 　中线　 　平方　 ‹#› 判一判: 1.两个相似三角形的面积之比等于相似比. ( ) 2.两个相似三角形的周长之比等于对应高的比. ( ) × √ ‹#› 【小题快练】 1.两个三角形的相似比是2∶3,则其对应角的角平分线的比是 ( ) A.∶ B.2∶3 C.4∶9 D.8∶27 2.已知两个相似三角形的对应中线比为1∶4,则它们的对应高的比为 ( ) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.1∶16 B C ‹#› 3.如果两个相似三角形的相似比为4∶9,那么它们的对应角平分线的比为 __________,对应中线的比为__________,对应高的比为__________,对应周长之比为 __________,对应的面积的比为____________.  4.若两个相似三角形的面积之比为9∶4,则这两个三角形周长的比为__________.  5.如图,在△ABC中,D,E两点分别在AB,AC边上,DE∥BC.若DE∶BC=2∶3, 则S△ADE∶S△ABC为__________.  　4∶9　 　4∶9　 　4∶9　 　4∶9　 　16∶81　 　3∶2　 　4∶9　 ‹#› 重点1 利用相似三角形的性质求线段长 【典例1】如图,△ABC∽ △ A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC,∠A'B'C'的平分线,点D,D'分别是BC,B'C'的三等分点,即CD=2BD,C'D'=2B'D',连接AD,A'D'. 求证:=. 重点·典例研析 ‹#› 【自主解答】∵△ABC∽ △ A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC,∠A'B'C'的平分线, ∴=,=, ∠ABD=∠A'B'D', ∵BD=BC,B'D'=B'C', ∴=, ∴△ABD∽ △ A'B'D', ∴=,∴=. ‹#› 【一题多变】 1.已知△ABC∽ △ A'B'C',3BC=2B'C',AD,A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的一条中线, 则AD与A'D'的比为_____.  2.如图,△ABC∽ △ A'B'C',相似比为=,D,D'分别是AB,A'B'上的点,且AD=AB,A'D'=A'B',则CD与C'D'的比为_____.   　  　 ‹#› 【技法点拨】 相似三角形性质的四种应用 1.求解线段的长度和角的度数. 2.计算三角形的周长及面积. 3.证明线段的比例关系、角相等. 4.计算线段的比值. ‹#› 重点2 利用相似三角形的性质求面积 【典例2】(2023·邯郸期末)如图所示,在平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,DE=CD,连接BE与AC,AD分别交于点O,F. (1)若△DEF的面积为3,求平行四边形ABCD的面积; (2)求证OB2=OE·OF. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD, ∵DE=CD, ∴==, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC, ∴△DEF∽ △ ABF, ‹#› ∴==, ∵S△DEF=3, ∴S△ABF=12; ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴△DEF∽ △ CEB, ‹#› ∴===, ∴S△CEB=9×3=27, ∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=27-3=24, ∴平行四边形ABCD的面积为S四边形BCDF+S△ABF=24+12=36; ‹#› (2)∵AD∥BC, ∴△AOF∽ △ COB, ∴=, ∵AB∥DC, ∴△ABO∽ △ CEO, ∴=, ∴=, ∴OB2=OE·OF. ‹#› 【举一反三】 1.如图,点E是▱ABCD的边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若△AEF的面积为1,求▱ABCD的面积. ‹#› 【解析】过点F作AB的垂线,交AB于点M,交CD于点N, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,∴△AEF∽ △ CDF, ∵点E是AB的中点,∴==, ∴=,∴=,即MN=3MF, ∵S△AEF=·AE·MF=1,∴AE·MF=2, ∴S▱ABCD=AB·MN=2AE·3MF=6AE·MF=12. ‹#› 2.如图,已知点M是▱ABCD的对角线BD上的一点,射线AM与BC交于点F,与DC的延长线交于点H.CF∶FB=1∶2,求的值. ‹#› 【解析】∵CF∶FB=1∶2, ∴==, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∠ADC=∠ABC, ∴∠H=∠BAF, ∴△BAF∽ △ DHA, ∴==. ‹#› ‹#› ‹#› 【技法点拨】 计算三角形面积比的三种方法 1.三角形面积公式.根据两三角形同高,则面积比等于对应底的比. 2.利用相似三角形面积比等于相似比的平方.先计算相似比,然后求面积比. 3.利用面积的和差. ‹#› 素养·思维赋能 【教材整合】 形内有形,引人入胜 ——三角形内接长方形问题 教材母题: 如图,有一块三角形余料ABC,它的边BC=80 cm,高AD=60 cm.现在要把它加工成长与宽的比为2∶1的矩形零件PQMN,要求一条长边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,求矩形的长和宽. ‹#› 【解析】∵四边形PQMN为矩形, ∴PQ∥MN,∴△ANM∽ △ ABC, ∴=, 设矩形的宽为x cm,则AE=60-x,MN=2x, ∴=,解得x=24, 即矩形的长为48 cm,宽为24 cm. ‹#› 变式训练: (教材再开发·P119习题第4题改编)如图,在△ABC中,点F,G在BC上,点E,H分别 在AB,AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH 的长为______.   　 ‹#› 本课结束 3.如图,已知G,H分别是▱ABCD对边AD,BC上的点,直线GH分别交BA和DC的延长线于点E,F. 当=时,求的值. 【解析】∵=,∴=. ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴△CFH∽△DFG. ∴==, ∴=. $$