第二章 直线与圆的最值问题 讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与圆的16类最值问题全归纳 一、基础知识必备 (一)圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆C及圆外一定点P,设圆C的半径为r 则圆上点到P点距离的最小值为|PM|=|PC|-r,最大值为|PN|=|PC|+r. 即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点. (二)圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l, 则圆上点到直线距离的最小值为|PM|=dc-l-r, 距离的最大值为|PN|=dc-l+r(过圆心C作l的垂线，垂足为P,CP与圆C交于M,其反向延长线交圆C于N (三)切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 已知圆C和圆外的一条直线l,则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为|PM|. (四)过圆内定点的弦长最值 已知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN. (五)利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点(x,y)和点(a,b)的动直线斜率的最值问题； 2、形如z=(x-a)²+(y-b)²的最值问题，可以转化为点(x,y)和点(a,b)的距离的平方的最值问题； 3、形如z=ax+by的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 二、16个考点题型总结 【题型1】点到含参直线距离最值 点P到含参直线l距离最大值即P点到定点A的距离 如图，直线l绕定点A旋转，易知PH≤PA 【例1】点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 【题型2】过定点的弦长最短 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦，弦长为. 【例2】已知直线l:Ax-y-λ+1=0和圆C:x²+y²-4y=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为( ) A.2 B. C.4 D.2 【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围 在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点M(xo,yo)和圆的一般式方程⊙C:x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0), 则点M(xo,yo)与圆的位置关系： ①点M(xo,yo)在⊙C外→x²+y²+Dxo+Ey₀+F>0 ②点M(xo,yo)在⊙C上→x²+y²+Dxo+Ey₀+F=0 ③点M(xo,yo)在⊙C内→x²+y²+Dx₀+Eyo+F<0 注意：做题时不要漏掉D²+E²-4F>0这个不等式 【例3】若点(a+1,a-1)在圆x²+y²-2ay-4=0的内部，则a的取值范围是( ). A.a>1 B.0<a<1 C.-1<a< D.a<1 【题型4】点圆型最值问题 圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径 【例4】若实数x,y满足x²+y=1,则√(x-1)²+(y-1)²的最大值是 . 【分析】利用两点间距离几何意义求解最值. 【题型5】斜率型最值问题 形如u=的最值问题，可转化为点(x,y)与定点(a,b)的动直线斜率的最值问题 【例5】已知实数x,y满足方程(x-2)²+y²=3，求的最大值和最小值 【例6】已知两点A(-3,2)，B(2,1)，过点P(0,-1)的直线l与线段AB(含端点)有交点，则直线l的斜率的取值范围为( ) A.(-∞,-1)U[1,+∞) B.[-1,1] C.(-∞,-)U[1,+∞) D.[-,1] 【例7】若点P在曲线C:x²+y²-2x-6y+1=0上运动，则的最大值为 . 【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可. 【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数(教材原题改编) 教材原题改编：选择性必修第一册第99页 拓广探索 13.已知圆x²+y²=4,直线l:y=x+b.b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1?圆心C到直线l的距离为d,圆C上的动点P到直线的距离为d',则 (1)直线与圆有公共点时，此时d≤r ①当d’>d+r(d≤r)时，点P个数为0； ②当d’=d+r(d≤r)时，点P个数为1； ③当r-d<d’<r+d(d≤r)时，点P个数为2； ④当d’=r-d(d≤r)时，点P个数为3； ⑤当0<d’<r-d(d≤r)时，点P个数为4 (2)当直线与圆无公共点时，此时d>r ①当d⁷<d-r(d>r)时，点P个数为0； ②当d¹=d-r(d>r)时，点P个数为1； ③当d-r<d⁷<d+r(d>r)时，点P个数为2 【例8】已知点P在圆(x-4)²+(y-5)²=16上，点A(4,0),B(0,2).求点P到直线AB距离的最大值 【分析】首先求出直线AB的方程，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【例9】(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值可能是( ) A.14 B.-13 C.12 D.-10 【分析】分析可知直线12x-5y+c=0平行且与该直线间距离为1的直线的方程为12x-5y+c+13=0、12x-5y+c-13=0,由题意可知，直线12x-5y+c+13=0、12x-5y+c-13=0与圆x²+y²=4均相交，可得出关于c的不等式组，解出c的取值范围，即可得出合适的选项. 【例10】若圆(x-3)²+(y-5)²=r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离位5，则r的取值范围是 . 【例11】已知圆C：x²+y²=4，直线l：x+y+m=0，若圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则m的取值范围是 . 【例12】(24-25高二上·江苏徐州·开学考试)已知圆C:(x+1)²+(y-1)²=4,若直线y=kc+5上总存在点P,使得过点P的圆C的两条切线夹角为60°,则实数k的取值范围是 . 【分析】根据切线夹角分析出|PC|=4,由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得. 【题型7】与基本不等式结合求最值 基本不等式：如果a>0,b>0,那么≤,当且仅当a=b时，等号成立.(仅限和与积) 常用不等式：若a,b∈R,则ab≤≤,当且仅当a=b时取等号；(从左至右为积，和，平方和) 【例13】若a,b为正实数，直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直，则ab的最大值为 . 【例14】设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R),若l与x轴正半轴的交点为A,与y轴负半轴的交 点为B,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值. 【例15】(23-24高二上·贵州铜仁·期中)已知圆x²-4x+y²-2y=5关于直线2ax+y+b-3=0(a,b为大为于0的数)对称，则的最小值为 .,此时直线方程 . 【分析】空1:由题意得直线2ax+y+b-3=0过圆心，从而得到4a+b=2,利用基本不等式“1”的妙用 求解最小值；空2:由空1结果代入回直线方程即可. 【例16】(2024·安徽·模拟预测)已知P(-2a,0),Q(b,ab)(a>0,b>0),动圆(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)经过原点，且圆心在直线x+2y=2上.当直线PQ的斜率取最大值时，r=( ) A. B. C. D. 【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解. 【例17】(23-24高二上·陕西西安·期中)已知圆O的半径为2,过圆O外一点P作圆O的两条切线，切点为A,B,那么的最小值为( ) A. B. C. D. 【分析】设|PO|=d,根据长度表示出cos∠APB,然后根据向量的数量积计算公式求解PA·PB,结合基本不等式求解出的最小值. 【题型8】隐圆型最值问题 一、定点定长得圆 在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算 二、直角的对边是直径 前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90° 今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB=90°,则C在以AB为直径径的圆上.(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类) 【例18】设点A(1,0),N(-2,3),直线l:x+ay+2a-1=0,AM⊥l于点M,则|MN|的最大值为_____ 【分析】先求出直线l过定点(1,-2),再根据条件求出点M的轨迹方程，再结合轨迹方程求出|MN|的最大值. 【例19】已知m∈R,直线l₁:mx+y+2m=0与l₂:x-my+4m=0的交点P在圆C:(x-3)²+(y-4)²＝r²(r>0)上，则r的最大值是( ) A. B. C. D. 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得P点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【例20】(23-24高二上·湖南·期中)设m∈R,直线l1:y=mx-4m+2与直线l2:x+my-6m-2=0相交于点P,线段CD是圆x²+y²=9的一条动弦，且|CD|=4,||的最小值为_____ 【题型9】阿氏圆 借助阿氏圆探究最值问题：若A,B为两定点，动点P满足|PA|=λ|PB|,则当λ=1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 【模型解读】 如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R=OB，连接PA、PB,则当“PA+PB”的值最小时，P点的位置如何确定? 【例21】(23-24高二上·福建龙岩·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(-1，0），B（2，0），点P满足，则点P到直线x+√3y=4的距离的最小值为( ) A.1 B.√2 C.2 D.3 【分析】设P(x,y)是所求轨迹上的任意一点，根据题意，求得点P的轨迹方程，在求得圆心到直线x+√3y=4的距离，结合圆的性质，即可求解. 【例22】(23-24高二上·广东佛山·阶段练习)已知点A(-2,0)、B(，0),直线y=kx+3上存在点M，使得|MA|=2|MB|，则实数k的取值范围是_____________ 【分析】设点M(x,y),求出点M的轨迹方程为(x-4)²+y²=9,分析可知，直线y=kc+3与圆(x-4)+y²=9有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于k的不等式，解之即可. 【例23】(23-24高三上·河北沧州·期末)已知P(0,4)，Q为直线y=x-3上的动点，R为圆O:x²+y²=4上的动点，则的最小值为____________ 【例24】已知圆：x²+y²=1和点A(,0)，点B（1，1），M为圆O上的动点，则的最小值为____________ 【例25】(24-25高三上·山东德州·开学考试)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点，点B(4,0),且P(x,y)满足x²+y²+x-2-0,则3|AP|+|BP|的最小值为( ) A. B. C. D. 【分析】通过构造关系|PB|=3|PM|找到定点M,将最值转化为求3(|PA|+|PM|)的最值，进而转化为|AM|最值，则点线距求解可得. 【题型10】与切点弦有关的最值问题 1、切点弦方程(二级结论):圆外一点P(xo,yo)向圆x²+y²=r²作切线，两个切点A,B的连线方程为xox+yoy=r²(类似的其余圆锥曲线都有此类方程) 2、双切线性质：OP⊥l时候 ①切线长最小 ②切点四边形面积最小 ③切点弦AB最短 ④切线夹角最大 ⑤AB平行l 3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦 【例26】古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262一公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy中的点E(√2,0),F(2√2,0),则满足|PF|=√2|PE|的动点P的轨迹记为圆E. (1)求圆E的方程； (2)过点Q(3,3)向圆E作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线ST的方程. 【分析】(1)设点P(x,y),根据|PF|=√2|PE|,列出方程，即可求得圆E的方程. (2)设切点S(x₁.y₁),T(T₂,y₂),分别求得QS和QT的方程，点Q,S都在直线3x+3y=4上，即可得到答案. 【例27】(高二下·浙江温州·期末)已知圆C:x²+y²=4,点P为直线x+y-4=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点，则线段AB长度的最小值为( ) A.2√2 B.3√2 C.4 D.4√2 【例28】已知圆C:x²+y²-2x-4y-4=0,P为直线l:x+y+2=0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B,当四边形PACB的面积最小时，则直线AB的方程为____________ 【分析】根据题设条件得到PC⊥l时，S最小，从而得到PC的方程为x-y+1=0,进而得到P,即可求出结果 【题型11】过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值 当圆心角为90°时，面积有最大值，此时圆心到直线的距离为，注意验证圆心到直线的距离是否可以取 【例29】已知直线l:y=kx与圆C:x²+y²-4x+2=0交于两点M,N,当△CMN面积最大时，斜率k值为( ) A.± B.±√2 C.±1 D.± 【例30】已知圆C:x²+y²-Dx-Ey-4=0关于直线y=x+1对称，且(4,2)在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l:(m+1)x-(2m+1)y-m-2=0与圆C交于点A,B,求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【题型12】半圆与直线交点问题 一、半圆方程 例：化简曲线C:x-=0 移项后两边平方得x²=4-y²→x²+y²=4,通过方程看曲线是整圆，但要满足x≥0的条件 所以曲线其实是右半圆.这就提醒我们，比如：“两边平方”、“分式化整”、“实际问题情境”等，要留意是否恒等变形. 二、观察交点个数 观察动直线是斜率为定值还是直线过定点.当直线斜率为定值时，此直线在平移的过程中，利用图形，抓关键点，什么时候是有一个和两个公共点，相交相切位置要清楚，然后利用点到直线的距离与半径的不等关系得出参数的范围.当直线恒过定点时，直线在旋转，方法和平移类似，抓关键点和位置 【例31】直线l:y=x+m与曲线C:z+=0有两个公共点，则m的取值范围是( ) A.[1,√2) B.(1,√2] C.(3,3√2] D.[3,3√2) 【例32】若曲线y=1+(-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是__ 【题型13】三角换元求最值 圆(x-a)²+(y-b)²=r²的参数方程 【例33】已知实数x,y满足x²+y²=4(y≥0),则m=√3x+y的取值范围( ) A.(-2√3,4) B.[-2√3,4] C.[-4,4] D.[-4,2√3] 【题型14】圆的轨迹类最值问题 求与圆有关轨迹方程的常用方法 1.定义法 当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程. 2.直译法 直接将题目条件翻译成代数方程，求解轨迹方程. 3.直接法 当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程. 4.几何法 利用图形的几何性质，确定等量关系，设点、列式，求解轨迹方程. 5.代入法(或相关点法) 当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程 【例34】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),若点M满足MA²+MO²=10,则点M的轨迹方程是____________ 【例35】已知圆C:(x-6)²+y²=9,点M的坐标为(2,4),过点N(4,0)作直线l交圆C于A、B两点，则的取值范围为____________ 【例36】已知l1:mx-y-3m+1=0与l₂:x+my-3m-1=0相交于点P线段AB是圆C:(x+1)²+(y+1)²=4的一条动弦，且|AB|=2√3则的范围为____________ 【题型15】点到直线距离公式为背景的最值问题 对于|ax₁+by₁+c|这类式子，可以利用点到直线距离的几何意义，把问题转化为为M(x₁,y₁)到直线ax+by+c=0距离 【例37】(23-24-浙江宁波·期末)实数x,y满足x²+y²=2x-2y,则|x-y+3|的最小值为( ) A.3 B.7 C.-√2 D.3+√2 【分析】化简x²+y²=2x-2y可得(x-1)²+(y+1)²=2,|x-y+3表示为圆上点到直线x-y+3=0距离的√2倍，运用几何法求解即可 【例38](2024-湖南岳阳·二模)已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是圆x²+y²=16上的两点，若∠AOB=,则|x₁+y₁-2|+|x₂+y₂-2|的最大值为( ) A.16 B.12 C.8 D.4 【例39】已知实数x1,x₂,y1,y₂满足x1²+y1²=4,x₂²+y₂²=4,x1x₂+y1y₂=0,则|x1+y₁-4|+|x₂+y₂-4|的最大值是___ 【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值 【例40】(22-23高二上·四川南充·期中)对于圆(x-a)²+(y-b)²=5上任意一点P(x,y),|x-2y+m|+|x-2y+1|(m≠1)的值与x,y无关，则m的范围为( ) A.[1,+∞) B.(-∞,-9]U[11,+∞) C.[11,+∞) D.[-9,11] 【题型16】张角最大问题 米勒角(最大张角)问题 【问题提出】己知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大? 米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角>圆外角，即∠C=∠D>∠P 问题解决 证明：在直线l上任取一点Q(不与P点重合),连接AQ、BQ,∠AQB即为圆O的圆外角∴∠APB>∠AQB,∠APB最大∴当圆与直线l相切时，∠APB最大 【例41】已知点P在圆(x-5)²+(y-5)²=16上，点A(4,0)、B(0,2),则点P到直线AB的距离的最大值为_______;当∠PBA最大时，|PB|=_______ 【例42】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P,使得∠MPN最大”,如图，其结论是：点P为过M、N两点且射线QB相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题： 在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(-1,2)、N(1,4),点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的坐标为_____ 【分析】设△PMN的外接圆的圆心为(a,b),根据题设中给出的结论可构建关于a,b的方程组，解方程组后可得P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$