9.7　利用相似三角形测高 课件2023-2024学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

7　利用相似三角形测高 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 ‹#› 【小题快练】 1.在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5米的旗杆的影长为3米,那么 影长为30米的旗杆的高是 ( ) A.20米 B.18米 C.16米 D.15米 D ‹#› 2.如图,AB是斜靠在墙上的一个梯子,梯脚B距墙1.4 m,梯子上点D距墙DE= 1.2 m,BD长0.5 m,且△ADE∽ △ ABC,则梯子的长度为________m.  　3.5　 ‹#› 3.如图,已知标杆高度CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=15 m,人的眼睛与地面 的高度EF=1.6 m,人与标杆CD的水平距离DF=2 m,则旗杆AB的高度为_________m.  　13.5　 ‹#› 重点1 构造标杆中的相似三角形,计算物体的高度 【典例1】(2023·大同期末)阅读下列材料,并按要求完成相应的任务: 清虚阁,位于山西省晋中市榆次老城中,俗称南阁,建成于明代成化五年(1469),是榆次区境内仅见的,也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作.如图,某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁AB的高度. 重点·典例研析 ‹#› 步骤一:在地面BC上取E,G两点,分别竖立高为2 m的标杆EF和GH,两标杆间隔 23 m,并且清虚阁AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内,从标杆EF后退2 m到D处,从D处观察A点,A,F,D三点成一线; 步骤二:从标杆GH后退4 m到C处,从C处观察A点,A,H,C三点也成一线. 下面是某同学根据测量结果,计算清虚阁AB的高度时的部分过程: ‹#› 解:∵AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC, ∴∠ABD=∠FED=90°,∠ABD=∠HGC=90°, ∴AB∥FE,AB∥GH, ∴△FED∽ △ ABD,△HGC∽ △ ABC, ∴=,=, …… ‹#› 任务: (1)请根据上面的思路,补充剩余的解答过程. (2)该小组在制定方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳,你认为其原因可能是什么?(写出一条即可) ‹#› [自主解答](1)∴=, 即=, ∴2(27+BE)=4(2+BE), 解得BE=23, ∴=, 即2AB=2×25, ∴AB=25. (2)没有太阳光,或测量楼阁的影子长度有困难.(答案不唯一) ‹#› 【举一反三】 1.如图,小东用长2 m的竹竿CD作测量工具,测量学校旗杆的高度AB,移动竹竿, 使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O.此时,OD=3 m,DB=6 m,则旗 杆AB的高为_______m.  　6　 ‹#› 2.(2022·佛山质检)如图,晚上小亮走在大街上,他发现当他站在大街上高度相等的 两盏路灯AB和CD之间时,自己右边的影子NE的长为3 m,左边的影子ME的长为 1.5 m,又知小亮的身高EF为1.80 m,两盏路灯AC之间的距离为12 m,点A,M,E,N,C 在同一条直线上,则路灯的高为________m.  　6.6　 ‹#› 3.(2023·西安三模)小延想要测量学校教学楼AB的高度,他站在N点处时,视线通过旗杆DE的顶端与顶楼的窗子下方C重合,他向前走到点G处时,视线通过旗杆DE的顶端与楼顶A重合,已知小延的眼睛与地面的距离MN=FG=1.6米,NG=2米,GE=6米,BE=8米,AC=3米,MN,FG,DE,AB均与地面垂直,且在同一平面内,请你根据以上数据计算教学楼AB的高度. ‹#› 【解析】如图所示,连接MF并延长分别交DE,AB于H,P两点,由题意可知MP⊥AB,MP∥NB,设教学楼AB高为h米,则AP=(h-1.6)米,CP=(h-4.6)米. ∵MN,FG,DE,AB均与地面垂直, ∴DH∥AP,DH∥CP, ∴∠DHF=∠APF=90°,∠DFH=∠AFP, ∴△FDH∽ △ FAP, ∴=, ∴=, ‹#› ∴DH=(h-1.6). 又∵DH∥CP, ∴∠MHD=∠MPC. ∵∠DMH=∠CMP, ∴△MDH∽ △ MCP, ∴=, ∴=, ‹#› ∴DH=(h-4.6), ∴(h-4.6)=(h-1.6), 解得h=22.6, 故教学楼AB的高为22.6米. ‹#› 【技法点拨】利用相似三角形测物高的流程 ‹#› 重点2 构造镜子反射中的相似三角形,计算物体的高度 【典例2】(2023·西安一模)【学科融合】如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内,反射光线和入射光线分别位于法线两侧:入射角i等于反射角r,这就是光的反射定律. ‹#› 【问题解决】如图2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处,点E到地面的高度DE=3.5 m,点F到地面的高度CF=1.5 m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m,木板到墙的水平距离CD=4 m.图中A,B,C,D在同一条直线上,求灯泡到地面的高度AG. ‹#› [自主解答]由题意可得:FC∥DE, 则△BFC∽ △ BED, ∴=,即=, 解得:BC=3 m, ∵AC=5.4 m,∴AB=5.4-3=2.4 m, ∵光在镜面反射中的反射角等于入射角, ∴∠FBC=∠GBA, ‹#› 又∵∠FCB=∠GAB,∴△BGA∽ △ BFC, ∴=, ∴=,解得:AG=1.2 m, 答:灯泡到地面的高度AG为1.2 m. ‹#› 【举一反三】 1.长安塔在设计上保持了隋唐时期方形古塔的神韵,同时增加了现代元素,既体现了中国建筑文化的内涵,又彰显出时尚现代的都市风貌.小亮同学想利用所学数学知识来测量长安塔的高度,如图,小亮在湖对面P处放置一平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出长安塔的高度AB. ‹#› 【解析】由题意知∠CPD=∠BPA, ∵AB⊥CB,CD⊥CB, ∴△DCP∽ △ ABP, ∴=,即=, 解得AB=99米, ∴长安塔AB的高度为99米. ‹#› 2.如图,强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度,先在操场上点A处放一面平面镜,从点A处后退1 m到点B处,恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像;再将平面镜向后移动4 m(即AC=4 m)放在C处,从点C处向后退1.5 m到点D处,恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像,测得强强的眼睛距地面的高度FB,GD为1.5 m,已知点O,A,B,C,D在同一水平线上,且GD⊥OD,FB⊥OD,EO⊥OD.求大树OE的高度.(平面镜的大小忽略不计) ‹#› 【解析】由已知得,AB=1 m,CD=1.5 m,AC=4 m,FB=GD=1.5 m, ∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°,∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE. ∵∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE, ∴△BAF∽ △ OAE, ∴=,即=, ∴OE=1.5OA, ∵∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, ‹#› ∴△GDC∽ △ EOC, ∴=,即=, ∴OE=OA+4, ∴1.5OA=OA+4, ∴OA=8 m,OE=12 m. 答:大树OE的高度为12 m. ‹#› 【技法点拨】　 利用相似三角形解决应用问题的一般步骤 建立数学模型→判定三角形相似→利用相似三角形的性质→求解未知线段. 特别提醒 (1)利用镜面反射测物高注意应用反射角等于入射角. (2)利用影长测物高时,注意灯光与阳光的区别. ‹#› 素养·思维赋能 【数学文化】 　　在埃及金字塔中,数胡夫金字塔最为壮观,它的神秘和高度使许多人为之倾倒.它的底边长230.6米,由230万块重达2.5吨的巨石堆砌而成. 金字塔的塔身是斜的,即使有人爬到塔顶上,也无法测量其高度.在一个烈日高照的下午,埃及著名的考古专家穆罕默德拉着儿子小穆罕默德来到了胡夫金字塔下,他想借机考一考年仅14岁的小穆罕默德:给你一根2米高的木杆,一把皮尺,你能利用所学知识来测出塔高吗?没一会儿,小穆罕默德就顺利解决了这个难题,你知道聪明的小穆罕默德是怎么做的吗? ‹#› 【解析】如图,假设AC为木杆的长,DF为金字塔的高,用皮尺测得BC,EF的长, 由△ ABC∽ △ DEF,就可求得DF的长,即金字塔的高. ‹#› 本课结束 $$