9.4　探索三角形相似的条件 课件 2023-2024学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

4　探索三角形相似的条件 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 1.三角形相似的判定方法1 文字 语言 条件 两个三角形中,有两角分别__________.  结论 这两个三角形__________.  符号 语言 图形 符号 ∵ ∠A=∠A',∠B=∠B', ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 　相等　 　相似　 ‹#› 2.三角形相似的判定方法2 文字 语言 条件 两个三角形中,两边____________且夹角__________.  结论 这两个三角形__________.  符号 语言 图形 符号 ∵ ∠A=∠A',_______=_______,  ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 　成比例　 　相等　 　相似　  　  　 ‹#› 【小题快练】 1.下列可以判定△ABC∽ △ A'B'C'的条件是( ) A.=,且∠B=∠B' B.=且∠C=∠C' C.=且∠A=∠A' D.=且∠B=∠B' C ‹#› 2.如图,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三角形 共有_______对,分别是_______________________________________________.  　3　 　△AEO∽ △ CFO,△BEO∽ △ DFO,△ABO∽ △ CDO　 ‹#› 重点1 利用两角分别相等判定三角形相似 【典例1】(教材再开发·P99例1延伸)如图,在△ABC中,CD,BE分别是边AB,AC边上的中线,BE与CD相交于点O,连接DE. (1)若DE=3,则BC=　　　　;  (2)判断OB和OE的数量关系,并且证明你的结论. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答](1)∵CD,BE分别是边AB,AC边上的中线,∴DE是△ABC的中位线, ∴BC=2DE=2×3=6. 答案:6 (2)OB=2OE. 证明如下:∵CD,BE分别是边AB,AC上的中线,∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,∴∠EDO=∠OCB,∠DEO=∠CBO.∴△DOE∽ △ COB,∴=, 由(1)得BC=2DE,∴OB=2OE. ‹#› 【举一反三】 1.(2022·鞍山中考)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE∶DE=1∶2,AB=2.5, 则CD的长为 _______.  　5　 ‹#› 2.如图,已知BD是△ABC的角平分线,E是BD延长线上的一点,且AE=AB. (1)求证:△ADE∽ △ CDB; (2)若AB=6,BD=4,DE=5,求BC的长. ‹#› 【解析】(1)∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD. ∵AB=AE,∴∠ABD=∠E. ∴∠E=∠CBD. 又∵∠EDA=∠BDC, ∴△ADE∽ △ CDB. (2)∵AE=AB,AB=6,∴AE=6. ∵△ADE∽ △ CDB,∴=. ∵BD=4,DE=5,∴=. ∴BC=. ‹#› 3.如图,在正方形ABCD中,延长BC至点E,使CE=CA,连接AE交DC于点F. (1)求∠CAE的度数; (2)求DF∶FC的值. ‹#› 【解析】(1)在正方形ABCD中,∠ACB=45°, ∵CE=CA,∴∠CAE=∠E=22.5°; (2)∵AB=BC,∴AC=AB=AD, ∵∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC, ∴△ADF∽ △ ECF, ∴DF∶FC=AD∶CE=AD∶AC=AD∶AD=1∶=. ‹#› 【技法点拨】相似三角形构成的“A”型和“X”型 ‹#› 重点2 利用两边成比例及夹角相等判定三角形相似 【典例2】(教材再开发·P101例2延伸)如图,点B,C分别在△ADE的边AD,AE上, 且AC=3,AB=2.5,EC=2,DB=3.5,∠E=94°,则∠ABC的度数为________.  　94°　 ‹#› 【一题多变】 1.如图,已知AD·AB=AE·AC,求证:∠E=∠B. ‹#› 【证明】∵AD·AB=AE·AC, ∴=, ∵∠A=∠A, ∴△ADE∽ △ ACB. ∴∠E=∠B. ‹#› 2.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE,BC的延长线相交于点F,且EF·DF=CF·BF. 求证:△CAB∽ △ DAE. ‹#› 【证明】∵EF·DF=CF·BF. ∴=, ∵∠EFC=∠BFD, ∴△EFC∽ △ BFD,∴∠CEF=∠B, ∴∠B=∠AED, ∵∠CAB=∠DAE, ∴△CAB∽ △ DAE. ‹#› 3.已知,如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2. 求证:△ABD∽ △ CBA. 【证明】∵AB=4,BC=8,BD=2, ∴=. ∵∠ABD=∠CBA, ∴△ABD∽ △ CBA. ‹#› 【技法点拨】　证明两三角形的边对应成比例的方法 等积式转化 根据比例的基本性质,进行变形. 计算对应边 的比值 根据边的长度或设未知数,利用对应边的比值相等证明边成比例. 特别提醒:确定边对应成比例的两个“注意”: ①对应边找对.②三角形边的长度计算对. ‹#› 素养·思维赋能 【特定模型】 形状相同,方成立 两边成比例且一边的对角对应相等的两个三角形相似的情况 特点 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 结论 若∠A=∠D,=,则△ABC∽△DEF ‹#› 思考:已知:在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,求证:△ABC∽ △ A'B'C'. ‹#› 【证明】设==k, 则AB=kA'B',AC=kA'C', 在Rt△ABC中, BC=k, 在Rt△A'B'C'中,B'C'=,则=k, 所以=,因为∠C=∠C', 所以△ABC∽ △ A'B'C'. ‹#› 本课结束 4　探索三角形相似的条件 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 三角形相似的判定方法3 文字 语言 条件 两个三角形中,三边____________  结论 这两个三角形__________ 符号 语言 图形 符号 ∵ _______=_______=________ ∴ △ABC ∽△A'B'C' 　成比例　 　相似　   　  　  　  ‹#› 判一判: 在△ABC和△A'B'C'中,若AB∶BC∶CA=2∶3∶4,A'B'=4,B'C'=6,C'A'=8,则这两个 三角形不相似. ( ) × ‹#› 【小题快练】 1.△ABC的三边长分别为7,6,2,△DEF的两边长分别为1,3,要使△ABC∽△ DEF, 则△DEF的第三边长应为 ( ) A. B. C.2 D. 2.下列各组条件中,一定能够判定△ABC与△DEF相似的是 ( ) A.∠A=∠B,∠D=∠E B.∠B=∠E,AB=3,AC=4,DE∶DF=3∶4 C.△ABC三边长分别为6,18,21,△DEF三边之比为2∶7∶6 D.∠C=91°,∠E=91°,DE∶AB=EF∶AC B C ‹#› 重点 利用三边成比例判定三角形相似 【典例】如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,请判断∠A与∠F是否相等,并说明理由. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答]相等.理由如下:根据勾股定理可得, AC==2,EF==4,BC==,DF==2, AB==5,DE==2, ∴===, ∴△ACB∽ △ FED, ∴∠A=∠F. ‹#› 【举一反三】 1.如图,已知每个小正方形的边长均为1,△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的 顶点上,那么△DEF与△ABC相似的是 ( ) A ‹#› 2.如图,将三个全等的正方形拼成一个矩形ABGH,则∠1+∠2=________.  　45°　 ‹#› 3.如图,A,B,C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上. (1)请在BC上标出点D,连接AD,使得△ABD∽ △ CBA; (2)试证明上述结论:△ABD∽ △ CBA. ‹#› 【解析】(1)如图,点D是所求作的点, (2)∵AB==,BC=5,BD=1,AC==,AD==, ∴==,=,==, ∴==, ∴△ABD∽ △ CBA. ‹#› 【技法点拨】利用三边成比例判断三角形相似的三个步骤 ‹#› 素养·思维赋能 【思想体现】 分类讨论思想 【应用】在运用相似三角形的对应边成比例的性质时,如果题目的条件中,不能确 定对应边,那么应该给予讨论. 【典例】(2022·岳阳质检)△ABC中,AB=10,AC=6,点D在AC上,且AD=3,若要在AB 上找一个点E,使△ADE与△ABC相似,则AE=_________.  　5或　 ‹#› 本课结束 $$