精品解析：湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

襄阳四中2025届高三上学期10月月考 数学试卷 命题人：陈国兵 审题人：饶雨 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则用列举法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得可为、，计算即可得. 【详解】由题意可得可为、， 即可为，即. 故选：B. 2. 设，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以. 令，即，解得或， 所以推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍. 【详解】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 4. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用的单调性可得，进而可得. 【详解】由得， 设，因函数与都是上的增函数， 故为上的增函数， 又因，故， ， 故A正确， 因，，与1的大小都不确定，故B，C，D错误， 故选：A 5. 从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得. 【详解】第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法， 故满足条件的“五位凹数”个， 故选：A 6. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可. 【详解】解析：按照规律有，，，，，，，，故A、C错；， 则， 故B对； ， 故D错． 故选:B． 7. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设， 因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 8. 圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选择（角）与内切球半径为变量，可表示出圆锥底面半径和母线，由圆锥和球的表面积公式可得，再由换元，转化为求解二次函数值域，进而得的取值范围. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为， 如图作出圆锥的轴截面，其中设为外接圆圆心，为切点，为圆锥母线， 连接. 设，，. ，，，又， ，， ， 则圆锥表面积，圆锥内切球表面积， 所求比值为， 令，则， 则，且当时，取得最大值， 故，即的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，则，相互独立 C. 若，互斥，则，相互独立 D. 若，独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项. 【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确， 对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确， 对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误， 对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确， 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的值域为 C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D. 【详解】因为， 所以， 所以的图象不关于点对称，故A错误； 当时，， 由可得， 当时，， 由可得， 综上，故B正确： 当时，由解得， 当时，由解得， 所以方程在上的前7个实根分别为，，，，，，， 所以，故C正确； 由解得或， 又因为，所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示， 所以有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以，解得， 设，则，， 所以，所以的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ） A. 对任意三点，都有； B. 已知点和直线，则； C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断； 对于选项B，设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； 对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断； 对于选项D，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】A选项，设，由题意可得： 同理可得：，则： ， 则对任意的三点，，，都有；故A正确； B选项，设点是直线上一点，且， 可得， 由，解得或，即有，当时，取得最小值； 由，解得，即有，的范围是，无最值， 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故B错误； C选项，设，则， 若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或 若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或， 故没法说所求轨迹是正方形，故C错误； D选项，定点、，动点满足（），则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0. (1)当时，有，得：； (2)当时，有，此时无解； (3)当时，有； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故D正确. 故选：AD. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数和先求，再利用通项得到的指数确定值，由的系数为，建立关于的方程求解可得. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为， 所以，解得. 所以二项式展开式的通项公式为， 由，解得， 所以的系数为，解得. 故答案为：. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据，求得的值，结合实数的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为处函数极小值，可得，解得或， 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，不符合题意，（舍去）； 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极小值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，，由两次复合列出不等式求解即可. 【详解】由题意构造，， 则有，，，． 因为，恒成立， 又的概率为0.5， 所以必有或者解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求； （2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 【小问2详解】 由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 16. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． （1）求抛物线E的方程； （2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 【答案】（1） （2）证明： 设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，，则， 因为点A、B在第一象限，所以，故， 设B关于x轴的对称点为， 则直线的方程为， 令得： ． 直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程； （2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； 【小问2详解】 略. 【点睛】方法点睛：联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点. 17. 如图，已知正方形的边长为4，分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为60°，点在线段上． （1）若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线//平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得，， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）存在点，使得直线与平面所成的角为60°；此时二面角的余弦值为或. 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取，中点，，由线面垂直的判定和勾股定理可知，，两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ，， ，，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， ∵直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为； 设平面的法向量，又，， ， 令，则，，； 当时，，,此时二面角的平面角为钝角； 当时，，，此时二面角的平面角为锐角； 综上所述：二面角的余弦值为或. 【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键. 18. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3） 设， 则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 即，所以，， 令， 可得， 所以， ， ， ……， ， 以上式子相加得， 整理得， 即， 两边取指数得. 【解析】 【分析】（1）当时，，求导，得到，从而由导数几何意义求出切线方程； （2），整理得对恒成立，令，求导后，再对分子求导，结合特殊点函数值得到其单调性和最大值，从而得到答案. （3）设，求导得到其单调性，得到，故，，令，可得， 累加法得到，两边取指数后得到证明. 【小问1详解】 当时，，， ，故， 故的图象在点处的切线方程为； 【小问2详解】 时，，即， 整理得对恒成立， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 所以，故恒成立， 故在上单调递减， ，所以； 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”． （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”； （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值； （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）． 【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“左右型间隔数列”的定义，求数列的所有递增的“左右1型间隔数列”； （2）根据“左型间隔数列”和“右型间隔数列”的定义，由，则有，代入通项计算即可； （3）由“右4型间隔数列”的定义，有，可知，则有，化简即可． 【小问1详解】 数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． 【小问2详解】 由，可得， 即，即， 即，所以． 【小问3详解】 当时，由，可知． 又因为对任意，都有， 即当时，两两不相等． 因为 ． 所以的最小值函数． 另外，当数列的通项 间隔数列的通项时也符合题意． 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2025届高三上学期10月月考 数学试卷 命题人：陈国兵 审题人：饶雨 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则用列举法表示（ ） A. B. C. D. 2. 设，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 4. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，则，相互独立 C. 若，互斥，则，相互独立 D. 若，独立，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的值域为 C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ） A. 对任意三点，都有； B. 已知点和直线，则； C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________． 13. 已知函数在处取得极小值，则__________. 14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 16. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． （1）求抛物线E的方程； （2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 17. 如图，已知正方形的边长为4，分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为60°，点在线段上． （1）若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线//平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围； （3）求证：. 19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”． （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”； （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值； （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $