第四章 一次函数 —— 一次函数与几何综合 讲义 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第13讲 一次函数与几何综合基础 课前评估 总分10分 得分___________ ( 0 10 19 t ( 分 ) 10 h ( 厘米 ) )1．（6分）某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，则甲商品的进价是__________元，乙商品的进价是__________元． 2．（4分）一个容器由上下竖直放置的两个圆柱体A、B连接而成．向该容器内匀速注水，容器内水面的高度h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系如图所示．若上面A圆柱体的底面积是30厘米2，下面圆柱体B的底面积是50厘米2．则每分钟向容器内注水__________厘米3． 【学习目标】 1．会用待定系数法求一次函数的解析式； 2．会求交点坐标、图形面积，解决存在性问题； 3．进一步体会数形结合、方程思想、分类讨论的思想方法． 【教学重难点】 一次函数与几何综合类问题一般出现在各区期末考试A卷压轴题和B卷压轴题，图形面积问题、点的存在性问题是常考点，也是重难点． 考点：求一次函数的解析式、交点坐标及图形面积 知识点与方法技巧梳理： 1．求一次函数的解析式一般用待定系数法：设一次函数的解析式为y＝kx＋b（若为正比例函数，则设y＝kx）；将x，y的两对值，或图象上的几个点的坐标代入，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程（组），得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 2．若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2平行，则k1＝k2． 3．直线y＝kx＋b与y轴交点的坐标为（0，b），与x轴交点的坐标为（－ ，0）． 4．三角形的面积可利用三角形的面积公式计算，必要时可对图形进行割补或利用面积的和差关系求解． 【例1】已知一次函数的图象经过点A（2，3）和点B（6，1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若O是坐标原点，求△OAB的面积； （3）点C是y轴上一点，使得△ABC是等腰三角形，求点C的坐标． ( x B A y C D O E )【变式】如图，直线l1：y＝2x＋1与坐标轴交于A、B两点，直线l2：y＝－x－2与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点E． （1）求点E的坐标； （2）点P为x轴上一动点． ①当△APE的面积与△CPE的面积相等时，求点P的坐标； ②当△APE为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【例2】已知直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋4平行，且过点（4，2）． （1）求k、b的值； （2）若O为坐标原点，点P为直线y＝2x＋4上一点，使得△POA的面积为11，求点P的坐标． ( x y O A B P C l )【例3】如图，直线y＝－ x＋2与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过点C（1，0），与线段AB交于点P． （1）若直线CP把△AOB分成面积相等的两部分，求直线CP的函数表达式； （2）若直线CP把△AOB分成面积比为1∶2的两部分，求点P的坐标． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），点P是直线y＝－x＋6上的动点． ( A O P x y )（1）设点P的横坐标为m，△POA的面积为S，求S与m的函数关系式； （2）若点P在第一象限内，当△POA是等腰三角形时，求点P的坐标． 【例5】 ( y D O x B C A l 1 l 2 )在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx＋x－k＋1，将直线l绕点A旋转，如图所示，当直线l旋转到l1位置时，k＝2，且l1与y轴交于点B，与x轴交于点C；当直线l旋转到l2位置时，k＝－ ，且l2与y轴交于点D． （1）求点A的坐标； （2）连接CD，求△ACD的面积； （3）点E（a，a）是坐标平面内一点，当点E与点A距离最小时，求a的值． 【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy中，过A（2，0），B（0，－4）两点的直线与直线y＝－x＋5交于点E，直线y＝－x＋5分别交x轴、y轴于点C、D． （1）求直线AB的解析式和点E的坐标； （2）在射线EB上有一点M，且点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标； （3）过O、A、P、Q（0，2）作正方形OAPQ，如图2．将正方形OAPQ沿x轴正方向平移得到正方形O′A′P′Q′，当点A′ 与点C重合时停止移动．设点A′ 的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′ 与△ACE重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式和相应的t的取值范围． ( y x E C O A B D Q P y x E C O A B D 图1 图2 ) 【学习评估】 1．已知一次函数图象与正比例函数交于第二象限内一点A，交x轴于B（－5，0），且OA＝OB，△AOB的面积为10． （1）求点A的坐标； （2）求正比例函数和一次函数的解析式； （3）点P是坐标平面内一点，使得△POB与△AOB全等，直接写出点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与坐标轴交于A、B两点，点C（1，m）为直线y＝x＋1上一点，直线＝－ x＋b过点C． （1）求m、b的值； （2）直线＝－ x＋b与x轴交于点D，动点P从点D开始沿x轴负方向运动，速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ( x y O A P D C B )①求△BCP的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使得S△CPD ＝3S△BCP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． ( C O A B y x )3．如图，直线y＝ x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（－3，0），点P（x，y）是直线y＝ x＋2上的一个动点（点P不与点A重合）． （1）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为4.5； （2）过点P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E、F两点，是否存在这样的点 P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当△BPC是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 第13讲 一次函数与几何综合基础 课前评估 1．150，200 2．20 考点：求一次函数的解析式、交点坐标及图形面积 【例1】（1）y＝－ x＋4；（2）S△AOB ＝8；（3）C1（0，7），C2（0，－1），C3（0，－6） 【变式】（1）E（－1，－1）；（2）有两种情况：①当PE∥y轴时，S△APE ＝S△CPE，则P1（－1，0） ( x B A y C D O E P ) ( x B A y C D O E P F )②当PE经过AC的中点F时，S△APE ＝S△CPE， 易得F（0，－1），则P2（1，0） （3）P1（－3，0），P2（－2，0）， P3（1，0），P4（2，0） 【例2】（1）k＝2，b＝－6；（2）P1（1，6），P2（－ ，－ ） 【例3】（1）A（3，0），B（0，2），AC＝2，S△AOB ＝3，S△PAC ＝ S△AOB ＝ 设P（m，－ m＋2），则有： AC·yP＝ ，2( － m＋2 )＝3 解得m＝ ，∴P（，），可求CP的函数表达式为y＝－6x＋6 （2）设P（m，－ m＋2），则有： AC·yP＝1， － m＋2＝1 解得m＝ ，∴P1（，1） 或 AC·yP＝2，－ m＋2＝2 解得m＝0，∴P2（0，2） 【例4】（1）∵点P的横坐标为m，∴P（m，－m＋6） S＝ OA·yP＝ ×5×( －m＋6 )＝－ m＋15 ( A O x y P C ) ( A O x y P B )（2）当PO＝PA时，点P在OA的垂直平分线上 点P的横坐标为 ，∴P1（，） 当OP＝OA时，作PB⊥x轴于B 则OB＝m，PB＝－m＋6 在Rt△POB中，m 2＋( －m＋6 )2＝5 2 整理得：( m－3 )2＝ ，m－3＝± ，m＝3± ∴P2（3－ ，3＋ ），P3（3＋ ，3－ ） 当AP＝AO时，作PC⊥x轴于C 则AC＝5－m，PC＝－m＋6 在Rt△PAC中，( 5－m )2＋( －m＋6 )2＝5 2 整理得：( m－ )2＝ ，m－ ＝± ，m＝9（舍去）或m＝2 ( y D O x B C A E F G l 1 l 2 )∴P4（2，4） 【例5】（1）A（1，2）；（2）S△ACD ＝ （3）∵E（a，a），∴点E在直线y＝x上 过点A作直线y＝x的垂线，垂足为点E， 过点A作AF∥y轴，交直线y＝x于点F，过点E作EG⊥AF于点G ∵A（1，2），∴F（1，1），∴AF＝1 易知∠AFE＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形 ( y x E C O A B D M H N )∴AG＝GF＝ ，∴a＝1＋ ＝ 【例6】（1）y＝2x－4，E（3，2） （2）作MH⊥DC于H，MN∥y轴交DC于N设 M（m，2m－4），则N（m，－m＋5） MN＝－m＋5－( 2m－4 )＝9－3m 易知OC＝OD＝5，∠MNH＝∠ODC＝45°， ( y x E C O A B D A ′ O ′ P ′ Q ′ F ) ( y x E C O A B D A ′ O ′ P ′ Q ′ G H )∴△MNH是等腰直角三角形，∴MN＝MH＝6 ∴9－3m＝6，m＝1，∴ M（1，－2） （3）当2＜t≤3时，重叠部分为△FAA′ AA′＝t－2，FA′＝2t－4 S＝ ( t－2 )( 2t－4 )＝( t－2 )2 当3＜t≤5时，重叠部分为五边形O′A′GEH A′C＝GA′＝－t＋5，OO′＝t－2，AO′＝t－4 HO′＝2( t－2 )－4＝2t－8 S＝S△ACE －S△AO′H －S△A′CG ＝ ×3×2－ ( t－4 )( 2t－8 )－ ( 5－t )2 ＝－ t 2＋13t－ 【学习评估】 1．（1）A（－3，4）；（2）正比例函数：y＝－ x，一次函数：y＝2x＋10 （3）P1（－3，－4），P2（－2，4），P3（－2，－4） 2．（1）m＝2，b＝ ； （2）易知B是AC的中点，AD＝6，AP＝|6－t| ∴S＝ S△ACP ＝ ××|6－t|×2＝ |6－t|； （3）存在，或t＝3.6或t＝18 3．（1）P1（2，3），P2（－10，－3） （2）有两种情况： 当点E在x轴正半轴时，点F在y轴正半轴 由题意，OE＝OB＝2，OF＝OA＝4 E（2，0），F（0，4），直线EF：y＝－2x＋4，P1（，） 当点E在x轴负半轴时，点F在y轴负半轴 E（－2，0），F（0，－4），直线EF：y＝－2x－4，P2（－ ，） （3）P1（－ ，－ ），P2（－ ，2－ ），P3（，2＋ ），P4（－ ，） ( O A B y x E F P ) ( O A B y x E F P ) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$