九年级上册综合测试卷（第1-4章）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）九年级上册综合检测卷 测试范围：第1-4章 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B． C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x） 【分析】根据二次函数的定义，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，y＝3x﹣1，不符合二次函数的定义，不是二次函数； 对于选项B，y，不符合二次函数的定义，不是二次函数； 对于选项C，y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，不符合二次函数的定义，不是二次函数； 对于选项D，y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，符合二次函数的定义，是二次函数． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数，理解二次函数的定义是解决问题的关键． 2．如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB′C′重合，连接BB′，则∠AB′B大小为（　　） A．56° B．57° C．62° D．72° 【分析】由旋转的性质可得AB＝AB′，∠B′AB＝56°，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB′C′重合， ∴AB＝AB′，∠B′AB＝56°， ∴∠ABB'＝∠AB'B（180°﹣∠B'AB）（180°﹣56°）＝62°， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案． 【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°， ∵∠DOE＝140°， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【解答】解：∵∠A是公共角， ∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD， ∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即 ，也可判定△ABC∽△ACD， ∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD． 而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握． 5．在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率的公式计算即可． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了概率的公式，熟知：如果一个事件有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率为：． 6．若二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点P（0，4），则该图象必经过点（　　） A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（2，4） D．（3，4） 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为x＝1，再根据二次函数的对称性解答． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为x＝1轴， ∴若图象经过点P（0，4），则该图象必经过点（2，4）． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键． 7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AD于点E，若⊙O的半径为3，BF＝2，则OE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】利用勾股定理求出DF，AD，再利用垂径定理得AE，再求解即可． 【解答】解：如图，连接OD． 在Rt△OFD中，DF2， 在Rt△ADF中，AD2， ∵OE⊥AD， ∴AE＝DE， 在Rt△AOE中，OE． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE＝15cm，CD＝8cm，OF＝10cm，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得：∠A＝∠C，∠B＝∠D从而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F， 由题意得： OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD， ∴OF⊥AB， ∴OF＝10cm， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴， 解得：AB， ∴蜡烛火焰的高度是cm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，∠OAB＝120°，AO＝AB，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：过点B作BH⊥y轴于H． 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2， ∴AH＝AB•cos60°＝1，BHAH， ∵∠BOH＝30°， ∴OB＝2BH＝2，B（，3）， 由题意B1（，3），B2（﹣2，0），B3（，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），…，6次一个循环， ∵2023÷6＝337…1， ∴B2023（，3）， 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a﹣b+c＜0；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤ 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当x＝﹣1时，y＜0，得当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，即可判断⑤． 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号， ∴b＞0， ∵与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0． ∴b2＞4ac． 故②错误； ∵当x＝﹣1时，y＜0． 即a﹣b+c＜0． 故③正确； ∵x＝1时函数有最大值， ∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值， 即a+b+c＞m（am+b）+c ∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立， 故④正确． 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可， 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4， 故⑤错误． 综上：③④正确． 故答案为：C． 【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为 　 ． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【解答】解：由题意可得，100%＝0.4， 解得：a＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查利用频率估计概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 　 　． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，根据圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ABC，再根据圆内接四边形的性质得出∠D+∠ABC＝180°，再求出答案即可． 【解答】解：∵BC＝CD， ∴， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAB＝40°， ∴∠BAC＝∠DAC＝20°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∴∠D＝180°﹣70°＝110°， 故答案为：110°． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆内接三角形的对角互补是解此题的关键． 13．在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 　 　． 【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的A的横纵坐标都乘以或得到A的对应点A′的坐标． 【解答】解：∵以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为， 而A（﹣2，4）， ∴A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或[﹣2×（），4×（）]， 即（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 14．抛物线y＝x2﹣2x﹣1上有点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＞y2，则实数m的取值范围是 　 ． 【分析】抛物线开口向上，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当y1＞y2时，需分点Q在对称轴x＝1的左侧和对称轴的右侧两种情况分析． 【解答】解：∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上． ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴当y1＞y2时，①点Q（m，y2）在对称轴右侧时，1≤m＜3； ②点Q（m，y2）在对称轴左侧时，﹣1＜m＜1． 综上所述，m的取值范围为﹣1＜m＜3． 故答案为：﹣1＜m＜3． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质． 15．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s．若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 　 　s． 【分析】分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况分别求解即可． 【解答】解：设运动时间为t s时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t， ①当D与B对应时，△ADE∽△ABC， ∴， 即， ∴t＝3； ②当D与C对应时，△ADE∽△ACB， ∴， 即， ∴t＝4.8， ∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3s或4.8s， 故答案为：3或4.8． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．如图，已知半圆O，OB，点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连接AC，作DH⊥AC于点H，连接BH，则BH的最小值等于 　 　． 【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小． 【解答】解：连接BD，取AD的中点M，连接BM，HM， ∵DH⊥AC， ∴H点在以M为圆心，MD为半径的圆上， ∴MH＝DM＝AM， ∵AD＝10， ∴MHAD＝5， 当B、H、M三点共线时，BH最小， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD12， ∴BM13， ∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分） 17．（8分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求CE的长． 【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似； （2）根据（1）中的相似列比例式可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCA， ∵∠ACD＝∠ABE， ∴∠BCA＝∠ABE， ∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB； （2）解：∵△ABC∽△AEB， ∴， ∵AB＝6，AC＝4， ∴， ∴AE9， ∴CE＝AE﹣AC＝9﹣4＝5． 【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 18．（8分）随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．数学活动课上，小雅和小辰做抽卡片游戏，将四张正面分别印有不同航天领域图标的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，如图所示．（卡片除正面不同外，其余都相同） （1）小雅从中随机抽取一张卡片，该卡片上的图标“既不是轴对称图形，也不是中心对称图形”的概率是 ； （2）若小雅从中随机抽取一张卡片，不放回，然后小辰再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的图标都是中心对称图形的概率． 【分析】（1）根据概率公式和轴对称图形，中心对称图形的定义解答即可； （2）用列表法或画树状图法解答即可． 【解答】解：（1）∵四张卡片中“既不是轴对称图形，也不是中心对称图形”只有B， ∴P（“既不是轴对称图形，也不是中心对称图形”）， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中抽取的两张卡片上的图标都是中心对称图形的情况有：（A，C），（C，A）， 故所求概率 ． 【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，准确判断图案的对称性，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 19．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2． 【分析】（1）把a＝2代入二次函数的关系式，再把x＝1，y＝1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a）2，根据二次函数的性质即可得到a2+b2． 【解答】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2， ∵当x＝﹣1时，y＝1， ∴1＝2﹣b+2， ∴b＝3， ∴二次函数的关系式为y＝2x2+3x+2； （2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0， 当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2， ∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m）， ∴4a+2b+2＝2a+4b， ∴2a+2＝2b， ∴b＝a+1， ∴a2+b2 ＝a2+（a+1）2 ＝2a2+2a+1 ＝2（a）2， ∴a2+b2． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a+1；（3）熟知二次函数的性质． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）． （1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1； （2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2． （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：　 　． 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，再连线即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，连线即可； （3）作出平行四边形即可求解． 【解答】解：（1）△A1B1C1，如图1所示： （2）△A2B2C2，如图所示： （3）由图可知点D的坐标为：（﹣5，﹣3）或（1，﹣1）或（﹣3，1）． 故答案为：（−5，−3）或（1，−1）或（−3，1）． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平行四边形的性质，解答本题的关键要熟练掌握旋转的性质． 21．（10分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【点评】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度． 22．（10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交⊙O于E，连接AD、AE、CE． （1）求证：∠ACE＝∠DCE； （2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数； （3）若AC＝1，，求CF的长． 【分析】（1）易证∠OEC＝∠OCE，∠OEC＝∠ECD，从而可知∠OCE＝∠ECD，即∠ACE＝∠DCE； （2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，由于OE∥BC，所以∠AEO＝∠AGC＝60°，所以∠EAO＝∠AEO＝60°； （3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知∠AEC＝∠FDC＝90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵OE∥BC， ∴∠OEC＝∠ECD， ∴∠OCE＝∠ECD， 即∠ACE＝∠DCE， （2）解：延长AE交BC于点G， ∵∠AGC是△ABG的外角， ∴∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°， ∵OE∥BC， ∴∠AEO＝∠AGC＝60°， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO＝60°； （3）解：∵O是AC中点 ∴， ∵， ∴， ∵AC是直径， ∴∠AEC＝∠FDC＝90°， ∵∠ACE＝∠FCD， ∴△CDF∽△CEA， ∴， ∴CFCA． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 23．（10分）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①把O（0，0），A（8，0）代入yx2+bx+c得，可求出y关于x的函数表达式为yx2+2x；而yx2+2x（x﹣4）2+4，故当x为4时，y有最大值，最大值为4； ②根据当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，可得（m﹣4）2+4（n﹣4）2+4，即可求出m+n＝8； （2）把二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），，可求出yx2x（x）2，故抛物线yx2x的对称轴为直线x；①当8，即t≥8时，828＝18，解得t的值即可知当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18；②当8，即0＜t＜8时，有18，可解得：t＝﹣128（小于0，舍去）或t＝128（大于8，舍去）． 【解答】解：（1）当t＝0时，A（8，0）， ①把O（0，0），A（8，0）代入yx2+bx+c得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为yx2+2x； ∵yx2+2x（x﹣4）2+4， ∴当x为4时，y有最大值，最大值为4； ②∵当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等， ∴（m﹣4）2+4（n﹣4）2+4， ∴（m﹣n）（m+n﹣8）＝0， ∵m﹣n≠0， ∴m+n＝8； （2）在0≤x≤8范围内，y存在最大值18，理由如下： ∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0）， ∴， 解得， ∴yx2x（x）2， ∴抛物线yx2x的对称轴为直线x； ①当8，即t≥8时， x＝8，yx2x取得最大值， ∴828＝18， 解得：t＝9， ∴当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18； ②当8，即0＜t＜8时， yx2x在顶点处取最大值， ∴18， 解得：t＝﹣128（小于0，舍去）或t＝128（大于8，舍去）， 综上所述，当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD、BD，AD与BC交于点E，AD＝9． （1）求证：∠BAD＝∠CAD． （2）若OH＝DH． ①求∠BAC的度数． ②若⊙O的半径为6，求DE的长． （3）设BD＝x，AB⋅CE＝y，求y关于x的函数表达式． 【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理证明即可． （2）①连接BO，证明△OBD是正三角形，利用圆心角和圆周角关系定理证明即可． ②证明△BDE∽△ADB列比例计算即可． （3）根据△BDE∽△ADB表示出DE，再证明△ABD∽△AEC即可得证． 【解答】（1）证明：∵OH⊥BC， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD． （2）解：①连接BO， ∵OH＝DH，OH⊥BC， ∴BD＝BO． ∵OB＝OD， ∴△OBD是正三角形， ∴∠BOD＝60°， ∴， ∴∠BAC＝2∠BAD＝60°． ②∵⊙O的半径为6，△OBD是正三角形， ∴BD＝OB＝6． ∵， ∴∠DBE＝∠DAB． ∵∠BDE＝∠ADB， ∴△BDE∽△ADB， ∴， ∴， ∴DE＝4． （3）解：由（2）得△BDE∽△ADB， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵∠ACB＝∠ADB，∠BAE＝∠DAC， ∴△ABD∽△AEC， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了圆心角与圆周角关系定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本定理和三角形相似的判定和想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级上册综合检测卷 测试范围：第1-4章 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B． C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x） 2．如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB′C′重合，连接BB′，则∠AB′B大小为（　　） A．56° B．57° C．62° D．72° 3．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 4．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 5．在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（　　） A． B． C． D． 6．若二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点P（0，4），则该图象必经过点（　　） A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（2，4） D．（3，4） 7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AD于点E，若⊙O的半径为3，BF＝2，则OE的长为（　　） A．1 B． C． D． 8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，∠OAB＝120°，AO＝AB，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a﹣b+c＜0；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤ 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为 　 　． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 　 　． 13．在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 　 　． 14．抛物线y＝x2﹣2x﹣1上有点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＞y2，则实数m的取值范围是 　 　． 15．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s．若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 　 　s． 16．如图，已知半圆O，OB，点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连接AC，作DH⊥AC于点H，连接BH，则BH的最小值等于 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分） 17．（8分）（2024秋•聊城月考）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求CE的长． 18．（8分）随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．数学活动课上，小雅和小辰做抽卡片游戏，将四张正面分别印有不同航天领域图标的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，如图所示．（卡片除正面不同外，其余都相同） （1）小雅从中随机抽取一张卡片，该卡片上的图标“既不是轴对称图形，也不是中心对称图形”的概率是 ； （2）若小雅从中随机抽取一张卡片，不放回，然后小辰再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的图标都是中心对称图形的概率． 19．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）． （1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1； （2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2． （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：　 　． 21．（8分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交⊙O于E，连接AD、AE、CE． （1）求证：∠ACE＝∠DCE； （2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数； （3）若AC＝1，，求CF的长． 23．（10分）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD、BD，AD与BC交于点E，AD＝9． （1）求证：∠BAD＝∠CAD． （2）若OH＝DH． ①求∠BAC的度数． ②若⊙O的半径为6，求DE的长． （3）设BD＝x，AB⋅CE＝y，求y关于x的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$