专题10 几何证明刷题练2（全等证明含辅助线40道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题10 几何证明刷题练2（全等证明含辅助线40道） 1．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，GD＝DE，CF＝FG+CE． （1）当∠EDC＝55°时，求∠A的度数； （2）求证：∠A＝2∠BDF． 2．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 3．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M （1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积； （2）求证：AC＝BM+CM． 4．如图所示，已知PA＝PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE＝AC，EF⊥CD于F．（1）求证：AD＝CF； （2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GD⊥GF． 6．如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE． 7．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上． （1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD； （2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC． 8．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F． （1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF． （2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF． 9．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB＝∠B．求证：AB＝AD+CD． 10．如图，△ABC内，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ＝AB+BP． 11．【感知】如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，求证：DB＝DC． 【探究】如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＜90°，求证：DB＝DC． 【应用】如图3，四边形ABCD中，∠ABD+∠ACD＝180°，DB＝DC，求证：AD平分∠BAC． 12．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，AB＝，CE＝CD，AE＝2，∠CAE＝45°，求AD的长． 13．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥CF，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠ECF； （3）请指出CE与AF有怎样的数量关系，并说明理由． 14．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，∠ABD＝∠DBC． （1）点D到角∠ABC的两边BA、BC的距离是否相等？ （2）求∠A+∠C的度数． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．（想一想，你会几种方法） 16．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD； （2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB＝8，AC＝14，求NC的长． 17．如图：△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BG与CF的大小关系如何？并证明你的结论． 18．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE＝EF．求证：AC＝BF． 19．在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． （1）求证：点E到AC和BD的距离相等； （2）连接ED，求∠CED的度数． 20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，DM＝DN，过D作DF⊥AC于F，证明：AM+AN＝2AF． 21．如图，∠ABC＝∠C，点E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连接DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G．试说明线段BF、FG、CG之间的数量关系． 22．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC． （1）∠B与∠D相等吗？请说明理由； （2）求证：EC＝FC． 23．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E． （1）求证：∠CBF＝∠ABF； （2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长； （3）求证：AE＝CF． 24．如图，OC平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，点P在OC上且有PD＝PE．求证：∠PDO+∠PEO＝180°． 25．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证： （1）∠DAB+∠C＝180°； （2）BH＝（AB+BC）． 26．如图，已知在△ABC中，∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE． （1）求证：AC＝BD； （2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围． 27．已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AC上的点，BE＝DE， （1）求证：∠B+∠EDA＝180°； （2）求的值． 28．如图①、②，∠ABC＝90°，D是线段AB延长线的点，AD＝BC． 探究：如图①，过点A作AF⊥AB，F、C在直线AB的两侧，截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．求证：DF＝DC，∠FDC＝90°． 应用：如图②，E是线段BC延长线上一点，直线AE、CD相交于点P，若CE＝BD，则∠APD的大小为　 　度． 29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG．求证： （1）AF＝CG； （2）CF＝2DE． 30．如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE＝BD，DG＝GE．求证：AB＝AC． 31．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE＝CF； （2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME． 求证：①ME⊥BC； ②DE＝DN． 32．如图△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG＝∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H． （1）求证：CD＝CG； （2）若AD＝CG，求证：AB＝AC+BH． 33．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，点F在△ABC外部，且∠ABD＝∠CAF，∠F＝∠BDC＝60°．求证：BD+CF＝AF． 34．在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，AE＝AC交BD的延长线于点E，AF平分∠CAE交BE于F （1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF； （2）如图2，当∠ABC＝60°时，请写出AF、EF、BF的数量关系，不需证明； （3）如图3，若∠BAC＝90°，且BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF． 35．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD； （2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB＝4，AC＝7，求NC的长． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为AC上一点，连接BD，在边BC上取点E，使∠EDC＝∠ADB，过E作EF⊥BD于K，交直线AB于F． （1）如图①，求证：BF＝2AD； （2）如图②，在（1）的条件下，连接AE．交BD于M，若ED＝2EF，请您探究线段AM与ME之间的数量关系，并证明您的结论． 37．已知：AD为△ABC的中线，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD （1）如图1，求证：∠EAF+∠BAC＝180°； （2）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点N，若∠ABC＝60°时，点G为EF中点，延长EB、FC交于点M．请探究BM、BC之间的数量关系，并证明你的结论． 38．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，过C作BD的垂线交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE． 39．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 40．（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．请你证明结论②； （2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 几何证明刷题练2（全等证明含辅助线40道） 1．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，GD＝DE，CF＝FG+CE． （1）当∠EDC＝55°时，求∠A的度数； （2）求证：∠A＝2∠BDF． 【解答】（1）解：设∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB＝90°﹣α， ∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝90°﹣α＝55°， ∴α＝90°， ∴∠A＝90°； （2）证明：在BC上取点M，使CM＝CE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， 在△CDE和△CDM中， ， ∴△CDE≌△CDM（SAS）， ∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC， ∵GD＝DE， ∴GD＝MD， ∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°， ∴∠AEB＝∠DMF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A， ∵CF＝FG+CE＝CM+FM， ∴FG＝FM， 在△DGF和△DMF中， ， ∴△DGF≌△DMF（SAS）， ∴∠GDF＝∠MDF， ∠BDM＝2∠BDF， ∴∠A＝2∠BDF． 2．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG， ∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠G＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， 在△CGA和△CDA中， ， ∴△CGA≌△CDA（AAS）， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 3．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M （1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积； （2）求证：AC＝BM+CM． 【解答】（1）解：如图作DN⊥AC于N． ∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA， ∴DM＝DN＝2， ∴S△ADC＝•AC•DN＝×6×2＝6． （2）∵CD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL）， ∴CN＝CM， ∵AD＝BD，DN＝DM， ∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL）， ∴AN＝BM， ∴AC＝AN+CN＝BM+CM 4．如图所示，已知PA＝PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB． 【解答】证明：过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，如图所示． ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°， ∴∠1＝∠3． 在△APE和△BPF中，， ∴△APE≌△BPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE＝AC，EF⊥CD于F．（1）求证：AD＝CF； （2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GD⊥GF． 【解答】证明（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠ECF＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠ECF， 在Rt△ADC和Rt△CFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△CFE（AAS）， ∴AD＝CF． （2）如图，连接CG， ∵∠ACB＝90°，G为AE的中点，AC＝CE， ∴CG⊥AE，∠CAG＝∠ECG＝45°，CG＝AG＝GE， ∵Rt△ADC≌Rt△CFE， ∴∠CAD＝∠ECF， ∵∠CAG+∠GAD＝∠CAD，∠ECG+∠GCF＝∠ECF， ∴∠GAD＝∠GCF， 在△GAD和△GCF中， ， ∴△GAD≌△GCF（SAS）， ∴∠AGD＝∠CGF， ∵CG⊥AE， ∴∠AGC＝90°， ∴∠AGF+∠CGF＝90°， ∴∠AGF+∠AGD＝90°， 即∠DGF＝90°， ∴GD⊥GF． 6．如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE． 【解答】证明：延长AE至F，使AE＝EF，连接BF， 在△ADE与△BFE中， ， ∴△AED≌△FEB（SAS）， ∴BF＝DA，∠FBE＝∠ADE， ∵∠ABF＝∠ABD+∠FBE， ∴∠ABF＝∠ABD+∠ADB＝∠ABD+∠BAD＝∠ADC， 在△ABF与△ADC中， ， ∴△ABF≌△CDA（SAS）， ∴AC＝AF， ∵AF＝2AE， ∴AC＝2AE． 7．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上． （1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD； （2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°， ∴△ABC、△DEF为等边三角形， ∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°， 在△BCE和△ACD中 ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE， ∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF； （2）在FA上截取FM＝AE，连接DM， ∵∠BAC＝∠EDF， ∴∠AED＝∠MFD， 在△AED和△MFD中 ， ∴△AED≌△MFD（SAS）， ∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF， ∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM， 即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC， 在△ABC和△DAM中， ， ∴△ABC≌△DAM（SAS）， ∴AM＝BC， ∴AE+BC＝FM+AM＝AF． 即AF＝AE+BC． 8．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F． （1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF． （2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF． 【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM， ∵∠A＝60， ∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°， ∴∠BFD＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， 在△BFD和△BFM中， ， ∴△BFD≌△BFM（SAS）， ∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF， ∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°， ∵∠CFE＝∠BFD＝60°， ∴∠CFM＝∠CFE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠3＝∠4， 又CF＝CF， 在△ECF和△MCF中， ， ∴△ECF≌△MCF（ASA）， ∴EF＝MF， ∴DF＝EF； （2）∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BDF＝∠CDA＝90°， ∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE， ∴∠1＝∠3， ∵BD＝CD， 在△BDF和△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（ASA）， ∴DF＝DA， ∵∠ADF＝90°， ∴∠6＝45°， ∵∠G＝∠6， ∴∠5＝45° ∴∠G＝∠5， ∴GD＝DA， ∴GD＝DF． 9．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB＝∠B．求证：AB＝AD+CD． 【解答】解：∵∠C＝100°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝40°， ∵∠EDB＝∠B， ∴∠DEB＝100°，BE＝DE， ∴∠AED＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠DAF＝20°， ∴∠ADE＝180°﹣80°﹣20°＝80°， ∴AD＝AE， 过点D作DF⊥AC于点F，作DH⊥AB于点H， ∴DF＝DH， 在△CDF和△EDH中， ∵ ∴△CDF≌△EDH（AAS）， ∴CD＝DE， ∴CD＝BE， ∴AB＝AE+BE＝AD+CD． 10．如图，△ABC内，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ＝AB+BP． 【解答】证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD．则∠D＝∠5． ∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∠3＝∠4＝40°＝∠C． ∴QB＝QC， 又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°， ∴∠D＝40°． 在△APD与△APC中， AP＝AP， ∠1＝∠2，∠D＝∠C＝40° ∴△APD≌△APC（AAS）， ∴AD＝AC． 即AB+BD＝AQ+QC， ∴AB+BP＝BQ+AQ． 11．【感知】如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，求证：DB＝DC． 【探究】如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＜90°，求证：DB＝DC． 【应用】如图3，四边形ABCD中，∠ABD+∠ACD＝180°，DB＝DC，求证：AD平分∠BAC． 【解答】证明：【感知】∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°， ∴DC⊥AC，DB⊥AB， ∵AD平分∠BAC， ∴DB＝DC； 【探究】过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M， ∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB， ∴DM＝DN， ∵∠B+∠ACD＝180°，∠NCD+∠ACD＝180°， ∴∠B＝∠NCD， 在△DNC和△BMD中，， ∴△DNC≌△BMD， ∴DC＝DB； 【应用】过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠NCD+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠NCD， 在△DNC和△BMD中， ， ∴△DNC≌△BMD， ∴DM＝DN， ∵DN⊥AC，DM⊥AB， ∴AD平分∠BAC． 12．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，AB＝，CE＝CD，AE＝2，∠CAE＝45°，求AD的长． 【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， 又∵AC＝BC，DC＝EC， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE， ∵∠BAC＝∠CAE＝45°， ∴∠BAE＝90°， 在Rt△BAE中，AB＝，AE＝2， ∴BE＝6， ∴AD＝6． 13．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥CF，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠ECF； （3）请指出CE与AF有怎样的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠EAD， 在△ABC和△ADE中 ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）证明：∵∠CAE＝90°，AC＝AE ∴∠ACE＝∠AEC＝45° ∵△ABC≌△ADE ∴∠ACB＝∠AEC＝45° ∴∠ACB＝∠ACE ∴AC平分∠ECF （3）解：结论：CE＝2AF． 理由：过点A作AG⊥CG，垂足为点G ∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，AG⊥CG， ∴AF＝AG， 又∵AC＝AE，AG⊥CG， ∴∠CAG＝∠EAG＝45°， ∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°， ∴CG＝AG＝GE， ∴CE＝2AG， ∴CE＝2AF． 14．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，∠ABD＝∠DBC． （1）点D到角∠ABC的两边BA、BC的距离是否相等？ （2）求∠A+∠C的度数． 【解答】解：（1）过D作出DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．如图所示． 结论：DE＝DF． 理由：∵∠ABD＝∠DBC，DE⊥BA于E，DF⊥BC于F， ∴DE＝DF． （2）在Rt△DEA和Rt△DFC中 ， ∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL）， ∴∠C＝∠EAD， ∵∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠BAD+∠C＝180°． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．（想一想，你会几种方法） 【解答】证明：在AB上取点E，使得AE＝AC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴∠AED＝∠C，AE＝AC，ED＝CD， ∵∠C＝2∠B，且∠AED＝∠B+∠BDE， ∴∠B＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴AB＝AE+BE＝AC+DE＝AC+CD． 16．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD； （2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB＝8，AC＝14，求NC的长． 【解答】解： （1）证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． ∵CE∥AD， ∴∠1＝∠E，∠2＝∠3． ∴∠E＝∠3． ∴AC＝AE． ∵F为EC的中点， ∴AF⊥EC， ∵AD∥EC， ∴∠AFE＝∠FAD＝90°． ∴AF⊥AD． （2）解：过B作BF∥AC交NM延长线于点F， ∴∠3＝∠C，∠F＝∠4 ∵M为BC的中点 ∴BM＝CM． 在△BFM和△CNM中， ， ∴△BFM≌△CNM（AAS）， ∴BF＝CN， ∵MN∥AD， ∴∠1＝∠E，∠2＝∠4＝∠5． ∴∠E＝∠5＝∠F． ∴AE＝AN，BE＝BF． 设CN＝x，则BF＝x，AE＝AN＝AC﹣CN＝14﹣x，BE＝AB+AE＝8+14﹣x． ∴8+14﹣x＝x． 解得 x＝11． ∴CN＝11． 17．如图：△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BG与CF的大小关系如何？并证明你的结论． 【解答】解：BG＝CF． 理由如下：如图，连接BE、CE， ∵AE是∠BAC的平分线，EG⊥AB，EF⊥AC， ∴EG＝EF， ∵D为BC的中点，DE⊥BC， ∴BE＝CE， 在Rt△GEB和Rt△FEC中， ， ∴Rt△GEB≌Rt△FEC（HL）， ∴BG＝CF． 18．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE＝EF．求证：AC＝BF． 【解答】证明：延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG． 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG 且∠CAD＝∠G ∵AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAF， ∴∠G＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∵AC＝BG， ∴BF＝AC． 19．在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． （1）求证：点E到AC和BD的距离相等； （2）连接ED，求∠CED的度数． 【解答】解：（1）延长CB至点M． ∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，∠ABM＝∠ABD， ∴点E到CM和BD得距离相等， 又∵CE平分平分∠ACB， ∴E点到AC和BC的距离相等， ∴点E到AC和BD的距离相等； （2）连接ED． ∵点E到AC和BD的距离相等， ∴∠EDB＝∠EDA设∠EDB＝∠EDA＝α，∠ACE＝∠BCE＝β， 又∵在△BDC中，2α＝2β+40°， ∴α﹣β＝20°， 在△EDC中，α＝β+∠DEC 则∠CED＝α﹣β＝20°． 20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，DM＝DN，过D作DF⊥AC于F，证明：AM+AN＝2AF． 【解答】证明：过点D作DG⊥AB于G，如图所示： ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴DF＝DG， 在Rt△ADG和Rt△ADF中，， ∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL）， ∴AG＝AF， 在Rt△DFN和Rt△DGM中，， ∴Rt△DFN≌Rt△DGM（HL）， ∴MG＝NF 又∵AG＝AF， ∴AM+AN＝AG+MG+AN＝AF+NF+AN＝2AF． 21．如图，∠ABC＝∠C，点E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连接DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G．试说明线段BF、FG、CG之间的数量关系． 【解答】证明：在BC上截取GH＝GC，连接EH， ∵EG⊥BC，GH＝GC， ∴EH＝EC， ∴∠EHC＝∠C， 又AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠EHC＝∠ABC， ∴EH∥AB， ∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH， 又EH＝EC＝BD， ∴△BDF≌△HEF， ∴BF＝FH， ∴FG＝FH+HG＝BF+GC． 22．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC． （1）∠B与∠D相等吗？请说明理由； （2）求证：EC＝FC． 【解答】（1）解：结论∠B＝∠D． 理由：连接AC． 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS） ∴∠B＝∠D． （2）∵点E与F分别是AB、AD的中点， ∴BE＝AB，DF＝AD， ∵AB＝AD， ∴BE＝DF， 在△EBC和△FDC中， ， ∴△EBC≌△FDC（SAS）， ∴EC＝FC． 23．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E． （1）求证：∠CBF＝∠ABF； （2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长； （3）求证：AE＝CF． 【解答】（1）证明：∵AF＝AD， ∴∠ADF＝∠AFD， ∵∠AFD＝∠BFC， ∴∠ADF＝∠BFC， 在Rt△CBF和Rt△ABD中， ∴Rt△CBF～Rt△ABD， ∴∠CBF＝∠ABF． （2）解：设BC＝x， ∵AB﹣BC＝4， ∴AB＝x+4， 在Rt△ABC中， ∵AC＝8， ∴（x+4）2﹣x2＝64， 整理，可得 8x+16＝64， 解得x＝6， ∴BC的长是6． （3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，， ∵∠CBF＝∠ABF， ∴FG＝CF， ∵∠FAG+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠FAG＝∠ADE， ∵∠AFG＝90°﹣∠FAG，∠DAE＝90°﹣∠ADE， ∴∠AFG＝∠DAE， 在Rt△AFG和Rt△DAE中， ∴Rt△AFG≌Rt△DAE， ∴AE＝FG， ∵FG＝CF， ∴AE＝CF． 24．如图，OC平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，点P在OC上且有PD＝PE．求证：∠PDO+∠PEO＝180°． 【解答】证明： 过P分别作PM⊥OA于点M，PNF⊥OB于点N， ∵OC平分∠AOB， ∴PM＝PN， 在Rt△PMD和Rt△PNE中， ∴Rt△PMD≌Rt△PNE（HL）， ∴∠PDM＝∠PEN， ∵∠PEO+∠PEN＝180°， ∴∠PDO+∠PEO＝180． 25．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证： （1）∠DAB+∠C＝180°； （2）BH＝（AB+BC）． 【解答】证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示： ∵BD平分∠ABC，DH⊥BC， ∴DH＝DE， 在Rt△ADE和Rt△CDH中，， ∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）， ∴∠C＝∠DAE， ∵∠DAB+∠DAE＝180°， ∴∠DAB+∠C＝180°； （2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，， ∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL）， ∴BE＝BH， ∵Rt△ADE≌Rt△CDH， ∴AE＝CH， ∴AB+BC＝AB+BH+CH＝BE+BH＝2BH， ∴BH＝（AB+BC）． 26．如图，已知在△ABC中，∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE． （1）求证：AC＝BD； （2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围． 【解答】（1）证明：延长AE到F，使EF＝EA，连接DF， ∵点E是CD的中点， ∴EC＝ED， 在△DEF与△CEA中，， ∴△DEF≌△CEA， ∴AC＝FD， ∴∠AFD＝∠CAE， ∵∠CAE＝∠B， ∴∠AFD＝∠B， ∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD＝∠FAD， 在△ABD与△AFD中，， ∴△ABD≌△AFD， ∴BD＝FD， ∴AC＝BD； （2）解：由（1）证得△ABD≌△AFD，△DEF≌△CEA， ∴AB＝AF， ∵AE＝x， ∴AF＝2AE＝2x， ∴AB＝2x， ∵BD＝3，AD＝5， ∴在△ABD中，， 解得：1＜x＜4， ∴x的取值范围是1＜x＜4． 27．已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AC上的点，BE＝DE， （1）求证：∠B+∠EDA＝180°； （2）求的值． 【解答】解：（1）过E作AB的垂线，垂足是F， ∵AE是角平分线，∠C＝90° ∴EC＝EF， 又∵EB＝ED， 在△ECD和△EFB中， ， ∴△ECD≌△EFB （HL）， ∴∠EDC＝∠B， ∵∠EDC+∠EDA＝180°， ∴∠B+∠EDA＝180°； （2）∵Rt△ECD≌Rt△EFB， ∴CD＝FB， 同理Rt△EAC≌Rt△EAF（HL）， ∴CA＝FA， ∴＝＝＝2． 28．如图①、②，∠ABC＝90°，D是线段AB延长线的点，AD＝BC． 探究：如图①，过点A作AF⊥AB，F、C在直线AB的两侧，截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．求证：DF＝DC，∠FDC＝90°． 应用：如图②，E是线段BC延长线上一点，直线AE、CD相交于点P，若CE＝BD，则∠APD的大小为　45　度． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AF⊥AB， ∴∠FAD＝∠DBC＝90°， 在△FAD和△DBC中， ∴△FAD≌△DBC， ∴DF＝DC，∠FDA＝∠DCB， ∵∠DCB+∠BDC＝90°， ∴∠FDA+∠BDC＝90°， ∴∠FDC＝90°． （2）如图2，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DF、CF， ∵∠ABC＝90°，AF⊥AB， ∴AF∥CE， ∵AF＝BD，CE＝BD， ∴AF＝CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴FC∥AE， ∴∠APD＝∠FCD， ∵DF＝DC，∠FDC＝90°． ∴∠FCD＝45°， ∴∠APD＝45°． 故答案为：45． 29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG．求证： （1）AF＝CG； （2）CF＝2DE． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB， ∴∠ACG＝∠BCG＝45°， 又∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAF＝∠CBF＝45°， ∴∠CAF＝∠BCG， 在△AFC与△CGB中， ， ∴△AFC≌△CBG（ASA）， ∴AF＝CG； （2）延长CG交AB于H， ∵CG平分∠ACB，AC＝BC， ∴CH⊥AB，CH平分AB， ∵AD⊥AB， ∴AD∥CG， ∴∠D＝∠EGC， 在△ADE与△CGE中， ， ∴△ADE≌△CGE（AAS）， ∴DE＝GE， 即DG＝2DE， ∵AD∥CG，CH平分AB， ∴DG＝BG， ∵△AFC≌△CBG， ∴CF＝BG， ∴CF＝2DE． 30．如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE＝BD，DG＝GE．求证：AB＝AC． 【解答】证明：过点D作DF∥AE交BC于F，如图所示： 则∠FDG＝∠CEG，∠DFG＝∠ECG， ∴∠DFB＝∠ACB， 在△GDF和△GEC中，， ∴△GDF≌△GEC（ASA）， ∴DF＝CE， 又∵BD＝CE， ∴BD＝DF， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴∠DBF＝∠ACB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． 31．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE＝CF； （2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME． 求证：①ME⊥BC； ②DE＝DN． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵FC⊥BC， ∴∠BCF＝90°， ∴∠ACF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠B＝∠ACF， ∵∠BAC＝90°，FA⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE＝90°， ∠CAF+∠CAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE＝CF； （2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形， ∴HE＝BH，∠BEH＝45°， ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE＝HE， ∴DE＝BH＝HE， ∵BM＝2DE， ∴HE＝HM， ∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH＝45°， ∴∠BEM＝45°+45°＝90°， ∴ME⊥BC； ②由题意得，∠CAE＝45°+×45°＝67.5°， ∴∠CEA＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°， ∴AC＝CE， 在Rt△ACM和Rt△ECM中 ，， ∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL）， ∴∠ACM＝∠ECM＝×45°＝22.5°， 又∵∠DAE＝×45°＝22.5°， ∴∠DAE＝∠ECM， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD＝CD＝BC， 在△ADE和△CDN中， ， ∴△ADE≌△CDN（ASA）， ∴DE＝DN． 32．如图△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG＝∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H． （1）求证：CD＝CG； （2）若AD＝CG，求证：AB＝AC+BH． 【解答】证明：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∵AD⊥BD， ∴∠DAC+45°+∠ABD＝90°， ∴∠DAC+∠ABD＝45°， ∵∠GBC+∠ABD＝∠ABC＝45°， ∴∠DAC＝∠GBC， 在△ACD和△BCG中， ， ∴△ACD≌△BCG（ASA）， ∴CD＝CG； （2）如图，延长CG交AB于F， ∵∠BCG＝∠DCA， ∴∠DCG＝∠DCA+∠ACG＝∠BCG+∠ACG＝∠ACB＝90°， 又∵CD＝CG， ∴△CDG是等腰直角三角形， ∴∠CGD＝45°， ∵GH⊥CG，∠BGF＝∠CGD（对顶角相等）， ∴∠BGH＝∠BGF， ∵△ACD≌△BCG， ∴AD＝BG， ∵AD＝CG， ∴BG＝CG， ∴∠BCG＝∠CBG， 由三角形的外角性质，∠BGF＝∠BCG+∠CBG＝45°， ∴∠CBG＝22.5°， ∴∠GBF＝∠ABC﹣∠CBG＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠CBG＝∠GBF， 在△BGF和△BGH中， ， ∴△BGF≌△BGH（ASA）， ∴BH＝BF， 又∵∠AFC＝∠ABD+∠BGF＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠AFC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠ACF＝∠AFC＝67.5°， ∴AC＝AF， ∵AB＝AF+BF， ∴AB＝AC+BH． 33．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，点F在△ABC外部，且∠ABD＝∠CAF，∠F＝∠BDC＝60°．求证：BD+CF＝AF． 【解答】证明：在AF上截取FE＝CF，连接CE，如图所示： ∵∠F＝∠BDC＝60°， ∴△CEF是等边三角形，∠BDA＝120°， ∴∠CEF＝60°， ∴∠AEC＝120°＝∠BDA， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝AE， ∴BD+CF＝AE+EF＝AF． 34．在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，AE＝AC交BD的延长线于点E，AF平分∠CAE交BE于F （1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF； （2）如图2，当∠ABC＝60°时，请写出AF、EF、BF的数量关系，不需证明； （3）如图3，若∠BAC＝90°，且BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AC， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AF平分∠CAE交BE于F， ∴∠FAE＝∠FAC， 在△FAE和△FAC中， ， ∴△FAE≌△FAC（SAS）， ∴∠ACF＝∠AEF＝∠ABE； （2）∵AB＝AC＝AE，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，∠E＝∠ABE， 设∠E＝∠ABE＝α，设∠DAF＝∠EAF＝β， 在BD上截取BG＝EF，连接CF，如图2， 在△ABG和△AEF中， ， ∴△ABG≌△AEF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠EAF＝β， ∴∠GAF＝∠GAD+∠DAF＝∠GAD+∠EAF＝∠DAG+∠GAB＝∠BAC＝60°， 又∵AG＝AF，∠GAF＝60°， ∴△AGF为等边三角形， ∴AG＝GF＝AF， BF＝BG+GF＝AF+EF； （3）连接CF并延长交BA于点H，如图3， ∵∠ABD＝∠ACF，∠BAD＝90°， ∴∠CFD＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴CF＝FH， 在△ABD和△ACH中， ， ∴△ABD≌△ACH（ASA）， ∴BD＝CH＝2CF＝2EF． 35．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD； （2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB＝4，AC＝7，求NC的长． 【解答】（1证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． ∵CE∥AD， ∴∠1＝∠E，∠2＝∠3． ∴∠E＝∠3． ∴AC＝AE． ∵F为EC的中点， ∴AF⊥EC， ∵AD∥EC， ∴∠AFE＝∠FAD＝90°． ∴AF⊥AD． （2）解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F， ∴∠3＝∠C，∠F＝∠4 ∵M为BC的中点 ∴BM＝CM． 在△BFM和△CNM中， ∴△BFM≌△CNM（AAS）， ∴BF＝CN， ∵MN∥AD， ∴∠1＝∠E，∠2＝∠4＝∠5． ∴∠E＝∠5＝∠F． ∴AE＝AN，BE＝BF． 设CN＝x，则BF＝x，AE＝AN＝AC﹣CN＝7﹣x，BE＝AB+AE＝4+7﹣x． ∴4+7﹣x＝x． 解得 x＝5.5． ∴CN＝5.5． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为AC上一点，连接BD，在边BC上取点E，使∠EDC＝∠ADB，过E作EF⊥BD于K，交直线AB于F． （1）如图①，求证：BF＝2AD； （2）如图②，在（1）的条件下，连接AE．交BD于M，若ED＝2EF，请您探究线段AM与ME之间的数量关系，并证明您的结论． 【解答】（1）证明：如图，作BG∥AC，交DE延长线于G点，作DH⊥BG，交BG于H． ∵EF⊥BD， ∴∠BFE＝∠ADB＝∠DBG＝∠EDC． ∵∠G＝∠EDC， ∴∠DBG＝∠BFE＝∠G． ∵∠EBF＝∠EBG＝45°， ∴△BEF≌△BEG，BF＝BG． ∵∠DBG＝∠G， ∴DB＝DG． ∵DH⊥BG， ∴BH＝GH． ∵BG∥AC， ∴ABHD是矩形， ∴AD＝BH＝BG＝BF． ∴BF＝2AD． （2）如图，作EN∥BG，交BD于N， ∵△BEF≌△BEG， ∴EF＝EG． ∵ED＝2EF，∴ED＝2EG． ∴，BG＝2AD， ∴， ∴． 37．已知：AD为△ABC的中线，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD （1）如图1，求证：∠EAF+∠BAC＝180°； （2）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点N，若∠ABC＝60°时，点G为EF中点，延长EB、FC交于点M．请探究BM、BC之间的数量关系，并证明你的结论． 【解答】（1）证明：如图， 延长AD至H，使HD＝AD，连接CH， ∵BD＝CD，AD＝HD，∠ADB＝∠HDC ∴△ADB≌△HDC， ∴∠BAD＝∠CHD，AB＝HC， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠CHD+∠CAD， ∵EF＝2AD，HA＝2AD， ∴EF＝HA， ∵AE＝AB，AB＝HC， ∴HC＝AE， 又AC＝AF ∴△AHC≌△FEA， ∴∠EAF＝∠ACH ∵∠ACH+∠CHD+∠CAD＝180° ∴∠EAF+∠BAC＝180°． （2）BC＝2BM． 证明：由（1）得∠AEG＝∠BAD， 由（1）得，AD＝EF，又点G为EF中点， ∴EG＝AD， 在△EAG和△ABD中， ， ∴△EAG≌△ABD， ∴∠EAG＝∠ABC＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠CBM＝60°， 在△ACD和△FAG中， ， ∴△ACD≌△FAG， ∴∠ACD＝∠FAG，∠DAC＝∠GFA，∠ADC＝∠FGA， ∵AC＝AF， ∴∠ACF＝∠AFC， 在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°， 则∠BCF＝150°， ∴∠BCM＝30°， ∴∠BMC＝90°， 则BC＝2BM． 38．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，过C作BD的垂线交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE． 【解答】证明：如图所示，延长BA，CE交于点F， ∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF， 又∵AB＝AC， 在Rt△ABD和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACF， ∴BD＝CF， 在Rt△FBE和Rt△CBE中， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠EBC， ∵∠BEC＝90°， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°， ∴∠BCF＝∠F， ∵BE＝BE， ∴Rt△FBE≌Rt△CBE， ∴EF＝EC， ∴CF＝2CE， 即BD＝2CE． 39．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG＝AF，∠1＝∠2． ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD （2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立． （3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD ＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 40．（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．请你证明结论②； （2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【解答】证明：（1）如图1 ∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠DCA＝∠BCA＝30°， ∵在Rt△ACD中，∠DCA＝30°，Rt△ACB中，∠BCA＝30°， ∴AC＝2AD，AC＝2AB， ∴AD+AB＝AC． （2）判断是：（1）中的结论①DC＝BC；②AD+AB＝AC都成立． 理由如下： 如图，在AN上截取AE＝AC，连接CE， ∵∠BAC＝60°， ∴△CAE为等边三角形， ∴AC＝CE，∠AEC＝60°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠DAC＝∠AEC ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（AAS）， ∴DC＝BC，DA＝BE， ∴AD+AB＝AB+BE＝AE， ∴AD+AB＝AC． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$