6.2　矩形的性质与判定 课件2023-2024学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

2　矩形的性质与判定 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 判一判: 1.矩形的对角线互相平分. ( ) 2.矩形的四条边相等. ( ) 3.矩形的每条对角线平分一组对角. ( ) √ × × ‹#› 【小题快练】 1.对于任意的矩形,下列说法一定正确的是 ( ) A.对角线垂直且相等 B.四边都互相垂直 C.四个角都相等 D.是轴对称图形,但不是中心对称图形 C ‹#› 2.如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=5,对角线AC的长度为________;若∠ADB=65°,则 对角线所夹的钝角的度数为_________.  　13　 　130°　 ‹#› 3.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若AB=10,则CD=_______.   4.在△ABC中,∠C=90°,D为AB中点且CD=3,则AB的长是_______.  　5　 　6　 ‹#› 重点1矩形性质的应用 【典例1】(2023·烟台福山区期中)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:△DOE≌△BOF; (2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形BFDE的周长. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO, ∵O为BD的中点,∴OB=OD, 又∵EF⊥BD,∴∠EOD=∠FOB=90°, 在△DOE和△BOF中,, ∴△DOE ≌△BOF(ASA); 重点·典例研析 ‹#› (2)∵由(1)可得,ED∥BF,ED=BF, ∴四边形BFDE是平行四边形,∵EF⊥BD, ∴四边形BFDE是菱形, 根据AB=6,AD=8,设AE=x,可得BE=ED=8-x, 在Rt△ABE中,根据勾股定理可得:BE2=AB2+AE2, 即(8-x)2=x2+62,解得x=, ∴BE=8-=, ∴四边形BFDE的周长为×4=25. ‹#› 【举一反三】 (2023·淄博桓台县期末)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E. (1)求证:BD=DE; (2)连接OE,若AB=2,BC=4,求OE的长. 【解析】(1)在矩形ABCD中,AD∥BC,AD=BC, ∴AD∥CE. ∵AC∥DE, ∴四边形ACED是平行四边形. ∴AC=DE. 在矩形ABCD中,AC=BD, ∴BD=DE. ‹#› (2)作OH⊥BE于H,如图. 在矩形ABCD中,AC=BD,且AC与BD交于点O, ∴OB=OC=OA. ∴BH=HC,OH=AB. ∵AB=2,BC=4, ∴OH=1,HC=2. 在平行四边形ACED中,AD=CE. ∴CE=BC=4. ∴HE=6. 在Rt△OHE中,OE==. ‹#› 重点2直角三角形斜边上中线的性质及应用 【典例2】(教材再开发·P14定理的应用)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,∠BAE=15°,求∠COE的度数. 【自主解答】∵∠ACB=90°,CE=AC, ∴∠CAE=∠AEC=45°, ∵∠BAE=15°,∴∠CAB=60°,∴∠B=30°, ∵∠ACB=90°,O为AB的中点, ∴CO=BO=AO,∴∠OCB=∠B=30°, △AOC是等边三角形,∴AC=OC=CE, ∴∠COE=∠CEO=×(180°-30°)=75°. ‹#› 【举一反三】 1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E为BC上的一点,F为AD的中点,且∠BAE=35°,∠CDE=55°,∠ADE=30°,AE=3,则EF的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A ‹#› 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在斜边AB上,且AD=CD,则下列结论中错误的是 ( ) A.∠DCB=∠B B.BC=BD C.AD=BD D.∠ACD=∠BDC B ‹#› 【技法点拨】 直角三角形斜边上中线的性质的三点应用 1.计算线段的长:已知斜边的长度计算斜边上中线的长度;已知斜边上中线的长度计算斜边的长度. 2.计算角的度数:直角三角形斜边上的中线将其分成了两个等腰三角形,应用等腰三角形的性质计算角的度数. 3.在证明中的应用:由直角三角形斜边上中线的性质,可证两条线段相等(或四边形中邻边相等). 特别提醒:对于条件给定直角和中点的复杂图形,常常需要作辅助线进行解决. ‹#› 素养·思维赋能 【数学文化】 　吴文俊复原《海岛算经》九题古证 　　数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所得两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证. 请根据该图完成这个推论的证明过程. 证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(__________+__________).  易知,S△ADC=S△ABC,__________=__________,__________=__________.  可得S矩形NFGD=S矩形EBMF. 　S△AEF　 　S△FCM　 　S△ANF　 　S△AEF　 　S△FGC　 　S△FMC　 ‹#› 本课结束 2　矩形的性质与判定 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 ‹#› 【小题快练】 1.如图,要使▱ABCD成为矩形,需要添加的条件是 ( ) A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.∠ABD=∠CBD 2.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=3,若要使平行四边形ABCD为矩形, 则BD的长度为_______.  C 　3　 ‹#› 3.两条对角线相等的四边形____________(填“一定”或“不一定”)是矩形.  4.在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO,则∠ABC=________.  5.如图,在▱ABCD中,BE⊥CD,点E为垂足,AF=CE,求证:四边形BEDF是矩形. 　不一定　 　90°　 ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵AF=CE,∴FB=ED. ∴四边形BEDF是平行四边形, ∵BE⊥CD, ∴∠BED=90°. ∴四边形BEDF是矩形. ‹#› 重点 矩形的判定 【典例】(教材再开发·P20T2改编)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF与DE交于点O. (1)求证:四边形AEFD为矩形; (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长. [自主解答](1)∵BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,∴BC=EF, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=BC=EF, 又∵AD∥EF,∴四边形AEFD为平行四边形, ∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°, ∴平行四边形AEFD为矩形; 重点·典例研析 ‹#› (2)由(1)知,四边形AEFD为矩形, ∴DF=AE,AF=DE=2OE=4, ∵AB=3,AF=4,BF=5, ∴AB2+AF2=BF2, ∴△BAF为直角三角形,∠BAF=90°, ∴S△ABF=AB·AF=BF·AE, ∴AB·AF=BF·AE,即3×4=5AE, ∴AE=,∴DF=AE=. ‹#› 【一题多变】 1.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证:FA=BD; (2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形. 【证明】(1)∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE, 又∵E为AD的中点,∴AE=DE, ∴△AEF≌△DEC(AAS), ∴AF=DC,又∵D为BC的中点, ∴BD=CD,∴AF=BD; ‹#› (2)∵AF=BD,AF∥BD, ∴四边形ADBF是平行四边形, ∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴四边形ADBF是矩形. ‹#› 2.(2023·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 【解析】(1)∵FD∥CA,BC∥DE, ∴四边形ECFD为平行四边形, 又∵∠C=90°, ∴四边形ECFD为矩形; ‹#› (2)如图,过点C作CH⊥EF于点H, 在Rt△ECF中,CF=2,CE=4, ∴EF===2, ∵S△ECF=CF·CE=EF·CH, ∴CH==, ∴点C到EF的距离为. ‹#› 【技法点拨】 　矩形常用的判定方法 已有条件 需要条件 平行四边形 有一个角是直角 邻角相等 对角线相等 一般四边形 有三个角是直角 对角线互相平分且相等 ‹#› 素养·思维赋能 【涨知识了】 以盈补虚——割补法 　　割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现. 《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题.下面举例说明:在《九章算术》中,三角形被称为圭田.圭田术曰:“半广以乘正从”,也就是说三角形的面积等于底的一半乘高.刘徽注为:“半广者,以盈补虚,为直田也”,说明三角形的面积是应用出入相补原理,由矩形面积导出的. ‹#› 【设题】如图,三角形下盈上虚,以下补上.若图中矩形的面积为20,则图中阴影部 分的面积是_______.  　5　 ‹#› 本课结束 $$