6. 1　菱形的性质与判定 课件2023-2024学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

第六章 特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 ‹#› 判一判: 1.菱形的两组对边平行且相等. ( ) 2.菱形和平行四边形都是轴对称图形. ( ) √ × ‹#› 【小题快练】 1.菱形的一个性质是 ( ) A.四个角相等 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角互补 2.如果菱形的一边长是8,那么它的周长是( ) A.16 B.32 C.16 D.32 3.若菱形的周长为16,高为2,则菱形的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.32 B B C ‹#› 4.在菱形ABCD中,若∠A=60°,则∠C=________.  5.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠B=60°,则AC的长为________.  　60°　 　10　 ‹#› 重点1利用菱形的性质证明线段关系 【典例1】(2022·大连中考)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF.求证:CE=CF. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答]如图,连接AC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠EAC=∠FAC, 在△ACE和△ACF中,, ∴△ACE≌△ACF(SAS), ∴CE=CF. ‹#› 【举一反三】 1.(2023·烟台龙口市二模)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边AB,AD的延长线上,且BE=DF,连接CE,CF.求证:CE=CF. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=CD,∠ABC=∠ADC, ∵∠ABC+∠CBE=180°,∠ADC+∠CDF=180°, ∴∠CBE=∠CDF, 在△CDF和△CBE中,, ∴△CDF≌△CBE(SAS),∴CE=CF. ‹#› 2.(2022·济南中考)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴DA=DC, ∴∠DAC=∠DCA, ∵∠ADF=∠CDE, ∴∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF, ∴∠ADE=∠CDF, 在△DAE和△DCF中,, ∴△DAE≌△DCF(ASA),∴AE=CF. ‹#› 【技法点拨】 菱形的边和对角线的应用 1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以已知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等. 2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长,以及面积问题. ‹#› 重点2特殊菱形与等边三角形 【典例2】(教材再开发·P3例1补充)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点 E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是_______.   　 ‹#› 【一题多变】 1.如图,在菱形ABCD中,如果∠DAB=60°,则△ABD是__________三角形.  　等边　 ‹#› 2.(教材再开发·P3例1改编)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长 为_______.   　 ‹#› 3.如图,菱形ABCD的周长为8,对角线BD=2,E,F分别是边AD,CD上的两个动点且满足AE+CF=2. (1)求证:△BDE≌△BCF. (2)判断△BEF的形状,并说明理由. 【解析】(1)∵菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2, ∴AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2, ∴△ABD与△BCD都是等边三角形,∴∠BDE=∠C=60°, ∵AE+CF=2,∴CF=2-AE, 又∵DE=AD-AE=2-AE, ∴DE=CF, 在△BDE和△BCF中,, ∴△BDE≌△BCF(SAS). ‹#› (2)△BEF是等边三角形.理由如下: 由(1)可知△BDE≌△BCF, ∴BE=BF,∠DBE=∠CBF, ∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF =∠DBC=60°, ∴△BEF是等边三角形. ‹#› 【技法点拨】 一个内角是60°的菱形的性质 如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=a. (1)△ABD,△BCD都是等边三角形. (2)BD=a,AC=a(较长对角线). (3)菱形的面积为a2. ‹#› 素养·思维赋能 【思想体现】 分类讨论思想 分类讨论思想是一种解决情况较多、较复杂问题时常用的数学方法.具体来讲,就是把包含多种可能情况的问题,按照某一标准分成若干类,然后对每一类分别进行解决. 【典例】菱形ABCD的周长为24,∠ABC=60°,以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE,连接AC,CE,则△ACE的面积为______________.  　9或9+9　 ‹#› 本课结束 1　菱形的性质与判定 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 判一判: 1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( ) 2.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. ( ) 3.对角线互相平分且有一组对边相等的四边形是菱形. ( ) √ × × ‹#› 【小题快练】 1.下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是 ( ) A.AB=CD B.AB=BC C.AB=AC D.AC=BD 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是 ( ) A.AC⊥BD B.BA⊥AC C.AB=BD D.∠BAD=∠ABC B A ‹#› 3.若一个四边形的四条边相等,则它的对角线______________(填位置关系).  4.如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则菱形的面积等于________.  5.已知菱形ABCD的面积为24,AC=6,则AB=_______.  　互相垂直　 　24　 　5　 ‹#› 重点1菱形的判定 【典例1】(2023·遂宁中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点O为对角线BD的中点,过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E不与点D重合) (1)求证:△DOE≌△BOF; (2)当直线l⊥BD时,连接BE,DF,试判断四边形EBFD的形状,并说明理由. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答](1)∵AD∥BC, ∴∠ODE=∠OBF, ∵点O为对角线BD的中点, ∴OD=OB, 在△DOE和△BOF中,, ∴△DOE≌△BOF(ASA). ‹#› (2)四边形EBFD是菱形,理由如下: ∵OD=OB,直线l经过点O且直线l⊥BD, ∴直线l是线段BD的垂直平分线, ∴DE=BE,DF=BF, ∵△DOE≌△BOF, ∴DE=BF, ∵DE=BE=DF=BF, ∴四边形EBFD是菱形. ‹#› 【举一反三】 在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF. (1)求证:AF=CE. (2)当DB平分∠ADC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边形, ∴AF=CE. (2)四边形AFCE是菱形.理由如下:∵DB平分∠ADC,四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CDB, ∴∠ADB=∠ABD,∴AD=AB, ∴平行四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,∴EF⊥AC, 由(1)知四边形AFCE是平行四边形, ∴四边形AFCE是菱形. ‹#› 【技法点拨】 　菱形的判定方法 已有条件 需要条件 平行四边形 邻边相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 一般四边形 四条边都相等 对角线互相垂直平分 对角线互相平分,且每条对角线平分一组对角 ‹#› 重点2菱形面积的计算 【典例2】(2023·烟台莱州市期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,过点D作∠ADC的平分线交AB于点E,连接AC交DE于点O,AD∥CE. (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若AD=10,△ACD的周长为36,求菱形AECD的面积. ‹#› [自主解答](1)∵AB∥CD,AD∥CE, ∴四边形AECD是平行四边形,∠CDE=∠AED, ∵DE平分∠ADC, ∴∠CDE=∠ADE, ∴∠AED=∠ADE, ∴AD=AE, ∴平行四边形AECD是菱形; ‹#› (2)由(1)可知,四边形AECD是菱形, ∴OA=OC,CD=AD=10,OD=OE,AC⊥DE, ∵△ACD的周长为36, ∴AC=36-AD-CD=36-10-10=16, ∴OA=OC=8, 在Rt△AOD中,由勾股定理得:OD===6, ∴DE=2OD=12, ∴=AC·DE=×16×12=96. ‹#› 【举一反三】 1.(教材再开发·P8例3改编)如图,菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=6,菱形的面积等于12,则菱形ABCD的周长等于( ) A.4 B.2 C. D.4 D ‹#› 2.(2022·淄博中考)如图,在边长为4的菱形ABCD中,E为AD边的中点,连接CE交对 角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE,则这个菱形的面积为 ( ) A.16 B.6 C.12 D.30 3.已知菱形ABCD的周长为4,两条对角线的和为6,则菱形ABCD的面积为_______.  B 　4　 ‹#› 4.(教材再开发·P8例3补充)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证:四边形ADBF是菱形; (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40.求AC的长. 【解析】(1)∵AF∥BC,∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE, ∵点E是AD的中点,∴AE=DE, ∴△FAE≌△CDE(AAS),∴AF=CD, ∵点D是BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD, ∴四边形AFBD是平行四边形, ∵∠BAC=90°,点D是BC的中点,∴AD=BD=BC, ∴四边形ADBF是菱形; ‹#› (2)∵四边形ADBF是菱形,∴S菱形ADBF=2S△ABD, ∵点D是BC的中点, ∴S△ABC=2S△ABD, ∴S菱形ADBF=S△ABC=40, ∴AB·AC=40, ∴×8·AC=40, ∴AC=10, ∴AC的长为10. ‹#› 【技法点拨】 计算菱形的面积的两种方法 (1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab. (2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高. ‹#› 素养·思维赋能 【模型溯源】 模型 教材P8做一做·菱形的判定 溯源 解读 旨在说明两个等宽的长方形的重叠部分为菱形 ‹#› 【触类旁通】 　(2023·泰安期中)两张全等的长方形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起,AB=AF,AE=BC.若AB=2,BC=6,则图中重叠(阴影)部分的面积为 ( ) A. B.2 C. D. C ‹#› 本课结束 $$