6.3正方形的性质与判定课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

3　正方形的性质与判定 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 判一判: 1.正方形的每一条对角线平分一组对角. ( ) 2.正方形的邻边相等. ( ) √ √ ‹#› 【小题快练】 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 2.正方形的对角线长为4,则此正方形的面积等于 ( ) A.8 B.16 C.6 D.12 C A ‹#› 3.正方形的一边长5 cm,则周长为________cm,面积为________cm2.  4.如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,5),点C在第一象限, 则点C的坐标是_________.  　20　 　25　 　(5,5)　 ‹#› 重点 正方形的性质及应用 【典例】如图,四边形ABCD是正方形,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF. (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)求证:四边形BEDF是菱形; (3)若AC=8,AE=2,求四边形BEDF的周长. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答](1)如图,连接BD,交AC于点O, ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CB,∠DAE=∠BCF=45°,AC⊥BD, 在△ADE和△CBF中,, ∴△ADE≌△CBF. (2)∵△ADE≌△CBF, ∴DE=BF,∠AED=∠CFB, ∴180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF=∠BFE,∴DE//BF, ∴四边形BEDF是平行四边形,又∵AC⊥BD,即EF⊥BD, ∴四边形BEDF是菱形. ‹#› (3)∵四边形ABCD是正方形,AC=8, ∴AC⊥BD,OD=OA=AC=4,∵AE=2, ∴OE=OA-AE=2, 在Rt△DOE中,DE==2, 则四边形BEDF的周长为4DE=4×2=8. ‹#› 【举一反三】 1.(2023·聊城期末)如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一点,点F是CD延长线上的一点,且BE=DF,连接AE,AF,EF. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)若AE=5,请求出EF的长. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°, 在△ABE和△ADF中,, ∴△ABE≌△ADF(SAS); (2)∵△ABE≌△ADF, ∴AE=AF,∠BAE=∠DAF, ∵∠BAE+∠EAD=90°, ∴∠DAF+∠EAD=90°,即∠EAF=90°, ∴EF=AE=5. ‹#› 2.如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF. 【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°,∵CE⊥BG,DF⊥CE, ∴∠BEC=∠DFC=90°, ∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF, ∴∠CBE=∠DCF, 在△CBE和△DCF中,, ∴△CBE≌△DCF(AAS), ∴BE=CF,CE=DF, ∵CE=EF+CF,∴DF=BE+EF. ‹#› 【技法点拨】 正方形性质应用的分析方法 已知条件 分析思路 已知中只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°. 已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分、相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴. ‹#› 素养·思维赋能 【涨知识了】 餐桌的美感设计——燕几图 为了使餐桌满足更多客人用餐,北宋黄伯思设计了一种《燕几图》结构的餐桌,被认为是世界上最早的一套组合桌.构造原理如下: 原理 ①将正方形ABCD沿图中虚线分割成六部分(如图1),其中EF∥BD∥HG,AM⊥EF于M,O是DB的中点,ON⊥HG于N,EF=HG. ②将两张图1正方形所分割出来的图形拼成图2中的阴影部分. 图示 ‹#› 若图2中空白部分的面积与最中间阴影正方形的面积之比为,则图1中的值为 ( ) A. B. C. D. A ‹#› 本课结束 3　正方形的性质与判定 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 判一判: 1.对角线相等的矩形是正方形. ( ) 2.一个角是直角的平行四边形是正方形. ( ) × × ‹#› 【小题快练】 1.下列条件中,能使菱形ABCD为正方形的是 ( ) A.AB=AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD 2.如图,已知矩形ABCD中,下列条件能使矩形 ABCD成为正方形的是 ( ) A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BC D.AC⊥BD B D ‹#› 3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是 ( ) A.当AB=BC时,它是菱形 B.当∠ABC=90°时,它是矩形 C.当AC⊥BD时,它是正方形 D.当AC=BD时,它是矩形 4.既是矩形又是菱形的四边形是____________.  5.在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,连接各边中点所得的四边形的周长是________.  C 　正方形　 　20　 ‹#› 重点1正方形的判定 【典例1】(教材再开发·P24例2补充)(2023·烟台招远期中)已知:在△ABC中,CB=CA,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN于点F. (1)求证:AD=CF; (2)连接CD,AF,当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF为正方形?请证明你的结论. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答](1)∵CB=CA,∴∠A=∠B, ∵∠ACM=∠A+∠B,∴∠A=∠ACM, ∵CN平分∠ACM,∴∠ACF=∠ACM, ∴∠A=∠ACF,∵E是AC的中点, ∴AE=CE,在△ADE与△CFE中, , ∴△ADE≌△CFE(ASA),∴AD=CF; ‹#› (2)当△ABC满足∠ACB=90°时,四边形ADCF是正方形, 理由:∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴△ACB是等腰直角三角形,∴∠BAC=45°, ∵CN平分∠ACM, ∴∠ACF=∠ACM=45°,∴∠DAC=∠ACF,∴AD∥CF,由(1)知AD=CF, ∴四边形ADCF是平行四边形, ∵点D是AB的中点,∴AD=CD, ∴∠ACD=∠CAD=45°,∴∠ADC=90°, ∴四边形ADCF是正方形. ‹#› 【举一反三】 1.(2023·泰安岱岳区期末)如图,AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. (1)求证:四边形AEDF是菱形; (2)若∠B=35°,当∠C=　　　　°时,四边形AEDF为正方形.  ‹#› 【解析】(1)∵DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F, ∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF, ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠EAD=∠FAD, ∴∠ADF=∠FAD, ∴FA=FD, ∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形); ‹#› (2)当△ABC是直角三角形,∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形, 理由:∵△ABC是直角三角形,∠BAC=90°, 由(1)知四边形AEDF是菱形, ∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). ∵∠B=35°,∠BAC=90°, ∴∠C=55°. 答案:55 ‹#› 2.如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形. 【证明】∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=∠C=90°, ∵△AEF是等边三角形, ∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°, ∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°, ∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°, ∴△AEB≌△AFD(AAS), ∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形. ‹#› 【技法点拨】 正方形判定的三种思路 1.如果四边形是一般四边形,先证其是平行四边形,再证其是菱形或矩形,最后证其是正方形. 2.如果四边形是菱形,只需证其一个内角是直角或对角线相等. 3.如果四边形是矩形,只需证一组邻边相等或对角线互相垂直. ‹#› 重点2 中点四边形 【典例2】(教材再开发·P25“做一做”补充)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD, AC=DB.点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点. 求证:线段EF与线段GH互相垂直平分. ‹#› [自主解答]如图,过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M,连接EH,HF,FG,GE, ∵AB∥CD,∴四边形ABMC为平行四边形. ∴AC=BM=BD,∠BDC=∠M=∠ACD. 在△ACD和△BDC中, ∴△ACD≌△BDC(SAS),∴AD=BC. ∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点, ∴GF=HE=AD,FH=EG=BC, ∵AD=BC,∴GF=HE=FH=EG, ∴四边形HFGE为菱形,∴EF与GH互相垂直平分. ‹#› 【举一反三】 1.(教材再开发·P25做一做改编)小聪在研究中点四边形时,得到下面三个结论: ①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;②对角线互相垂直的四边形的中点 四边形是菱形;③矩形的中点四边形是正方形.其中正确的是________(填序号).  2.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,依次连接各边中 点得到中点四边形EFGH. (1)这个中点四边形EFGH的形状一定是　　　　　　　;  (2)若AC=BD,证明四边形EFGH是菱形. 　①　 ‹#› 【解析】(1)连接AC,BD,如图所示: ∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点, ∴EF∥AC,GH∥AC, ∴EF∥GH, 同理可得:EH∥GF, ∴四边形EFGH为平行四边形. 答案:平行四边形 ‹#› (2)∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点, ∴EH∥BD,EH=BD,FG∥BD, EF∥AC,EF=AC,HG∥AC, ∴EF∥GH,EH∥GF, ∴四边形EFGH为平行四边形, ∵AC=BD, ∴EH=EF, ∴四边形EFGH是菱形. ‹#› 3.(2023·合肥期中)问题情境:在数学活动课上,我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.如图(1),在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.试说明中点四边形EFGH是平行四边形. 探究展示:勤奋小组的解题思路: ‹#› 反思交流: (1)①上述解题思路中的“依据1”“依据2”分别是什么? 依据1:　　　　　　;依据2:　　　　　　;  ②连接AC,若AC=BD时,则中点四边形EFGH的形状为　　　;并说明理由.  创新小组受到勤奋小组的启发,继续探究: (2)如图(2),点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并说明理由. (3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,则中点四边形EFGH的形状为　　　　.  ‹#› 【解析】(1)①依据1:三角形的中位线定理; 依据2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ②菱形;理由如下: 如图, 根据题意可知,四边形EFGH为平行四边形, ∵AE=EB,AH=HD,∴EH=BD, ∵DH=HA,DG=GC,∴HG=AC, ∵AC=BD, ∴HE=HG, ∴四边形EFGH是菱形. ‹#› (2)四边形EFGH是菱形. 理由:如图,连接AC,BD, ∵∠APB=∠CPD, ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD, 即∠BPD=∠APC, ∵PA=PB,PC=PD, ∴△APC≌△BPD, ∴AC=BD, ∴HG=HE, 由问题情境可知:四边形EFGH是平行四边形, ∴四边形EFGH是菱形. ‹#› (3)如图,连接AC,BD,BD交AC于点O,交GH于点K,AC交PD于点J. ∵△APC≌△BPD,∠DPC=90°, ∴∠PDB=∠PCA, ∵∠PJC=∠DJO, ∴∠CPJ=∠DOJ=90°, ∵HG∥AC, ∴∠BKG=∠BOC=90°, ∵EH∥BD, ∴∠EHG=∠BKG=90°, ∵四边形EFGH是菱形, ∴四边形EFGH是正方形. 答案:正方形 ‹#› 4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,AB=CD,E,F,G,H分别是AD,BC,BE,CE的中点. (1)求证:△ABE≌△DCE. (2)四边形EGFH是什么特殊四边形?并证明你的结论. (3)连接EF,当四边形EGFH是正方形时,线段EF与BC有什么关系?请说明理由. ‹#› 【解析】(1)∵E是AD的中点,∴AE=ED, 在△ABE和△DCE中, ∴△ABE≌△DCE(SAS). (2)四边形EGFH是菱形. 证明:∵GF,FH是△EBC的中位线,且由(1)得EB=EC,∴GF∥EH,GE∥HF,GF=GE,∴四边形EGFH是菱形. (3)EF⊥BC,且EF=BC. 理由:连接EF,∵EGFH是正方形,∴∠GEH=90°,即△BEC是等腰直角三角形, ∴EF⊥BC,且EF=BC. ‹#› 【技法点拨】 判定中点四边形形状的一般思路 1.借助三角形中位线,证明四边形是平行四边形. 原四边形的形状 所得中点四边形的形状 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 矩形 菱形 正方形 正方形 ‹#› 2.由原四边形对角线的关系,证明中点四边形是特殊平行四边形. (1)当原四边形的对角线相等时,中点四边形是菱形. (2)当原四边形的对角线相互垂直时,中点四边形是矩形. ‹#› 素养·思维赋能 【一题多解】 如图,四边形ABCD是矩形,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AEB=∠CEB,求证:四边形ABCD是正方形. ‹#› 【方法一】易证△ABE≌△CBE(AAS),由此可得AB=CB,再根据邻边相等的矩形是正方形即可得证. 【方法二】连接AC交BD于O点,根据AAS证明△AEB≌△CEB,可得AE=CE,再根据矩形的性质可判断△AEC为等腰三角形,所以OE⊥AC,然后根据对角线互相垂直的矩形为正方形得到结论. ‹#› 【解析】方法一:在△ABE和△CBE中, ∴△ABE≌△CBE(AAS),∴BA=BC, ∵四边形ABCD是矩形, ∴四边形ABCD是正方形. ‹#› 方法二:连接AC交BD于O点,如图, 在△AEB与△CEB中, ∴△AEB≌△CEB(AAS), ∴AE=CE,∴△AEC为等腰三角形, ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC, ∴OE⊥AC,即AC⊥BD, ∴AC和BD互相垂直平分, ∴四边形ABCD是正方形. ‹#› 本课结束 $$