精品解析：江西省南昌县莲塘第一中学2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试题

江西省2025届九年级阶段评估（一） 数 学 上册第一章第1节～第二章第4节 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 6. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 8. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 10. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 12. 如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，矩形的对角线相交于点O，若，求的度数． 14. 如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 15. 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： （1）小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； （2）请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 16. 如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形． （2）在图2中，画的中点F． 17. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含的代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 19. 我们规定：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如： （1）已知，求x的值． （2）已知关于x的方程的一个根为2，求方程的另一个根． 20. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 22. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． （1）如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． （2）如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2025届九年级阶段评估（一） 数 学 上册第一章第1节～第二章第4节 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的定义，根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：A． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，利用平方根定义，用开平方法即可解方程． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故选：D 3. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 4. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，根据菱形的性质，可得，，进而即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 【详解】解：∵菱形的顶点的坐标分别为， ∴，， ∴顶点D的坐标为． 故选：B． 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误； B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误； C、，则四边形是矩形，原选项判断错误； D、，则四边形是矩形，原选项判断正确； 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 8. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，根据题意可知，根据平行线的性质得出，根据矩形的性质得出，根据三角形内角和求出求出结果即可． 【详解】解：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式列不等式即可求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程判别式的应用，对宇一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根． 10. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 12. 如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据菱形性质得到，，连接，交于点，结合直角三角形性质得到，结合勾股定理和菱形性质得到，，再利用等腰三角形的性质分类讨论，并结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：菱形中，，为菱形的对角线， ，， 连接，交于点， ， ， ， ， ， 为等腰三角形时， ①当时，即点与点重合， ， ②当时，， ③当时， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，矩形的对角线相交于点O，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和矩形的性质．熟练掌握解一元二次方程的方法，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）等号左边提公因式x分解因式，化成两个一元一次方程解答即可； （2）根据矩形的性质可得，结合，判定是等边三角形，得到，即得的度数． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可． 【详解】解：由题意可知，， 又∵，且为边的中点， ∴， ∴的长为． 15. 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： （1）小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； （2）请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】（1）二 （2） 或， 解得：或． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 略 16. 如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形． （2）在图2中，画的中点F． 【答案】（1） 解：如图1所示，连接，， 四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， 是以点E为顶点的等腰三角形； （2） 解：如图2所示，点F为所求． 连接交于点O，连接并延长交于点F， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， ， ， 点F为的中点． 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，涉及矩形的性质、等腰三角形形的判定，三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）连接，即可； （2）连接交于点O，连接并延长交于点F，则点F满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，根据矩形的面积计算公式列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形， 根据题意得，， 整理得，， 解得（不合题意，舍去）， 答：原正方形空地的边长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含的代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握相关结论即可． （1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （2）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【小问1详解】 解：菱形的面积 【小问2详解】 解：由题意得：， 即：， ∴， ∴菱形的面积 19. 我们规定：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如： （1）已知，求x的值． （2）已知关于x的方程的一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，一元二次方程的解，解一元二次方程． （1）根据定义化简，再解方程即可； （2）先根据定义化简，再将代入，求出m的值，还原方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 整理得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的一个根为， 将代入，得， 解得：， 则，即， 解得：，； ∴方程的另一个根为． 20. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质． （1）由“”可证，由全等，可得； （2）先根据（1）的结论得到四边形是平行四边形，然后等腰直角三角形的性质得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 22. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． （1）如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． （2）如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点， ∴ ∴四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （2） 证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）或 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得：四边形为正方形，进而得；证得，即可； （2）证得，进而得，再证得，即可求解； （3）证可得，分类讨论点落在靠近点的三等分点和点落在靠近点的三等分点两种情况即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 综上所述：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $