专题19计数原理与二项式定理（3知识点+4重难点+7技巧+4易错）-【上好课】-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题19 计数原理与二项式定理 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 知识点2 排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点3 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 重难点01 分组分配问题的解题思路 分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（    ） A．12 B．24 C．28 D．36 【答案】D 【解析】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部， 小华从剩余的3部中选择两部，此时共有种方案， 若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择， 再给小华从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案， 综上，共有种方案.故选：D 【典例2】（24-25高三上·安徽·开学考试）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有 种. 【答案】348 【解析】①若6人乘坐3只船： 先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法， 再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船：共有种方法 综上共有：种方法. 故答案为：348 【典例3】（24-25高三上·重庆·开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（    ）种 A．108 B．114 C．150 D．240 【答案】B 【解析】5名新教师按分组有种方法，按分组有种分法， 因此5名新教师的安排方案有种， 当甲乙在同一组时，甲乙可视为1个人，即相当于4名教师的安排方案，有种， 所以所求不同的安排方案有（种）.故选：B 【典例4】（24-25高三上·江西·月考）现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（   ） A．420 B．660 C．720 D．1200 【答案】B 【解析】当有2人选择去南昌时，剩余4人的分配方式为，选法种数为：， 当有3人选择去南昌时，剩余3人的分配方式为，选法种数为：， ∴至少有2人选择南昌的选法种数为.故选：B. 重难点02 涂色问题的解法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 【典例1】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【答案】A 【解析】满足条件的摆放方案可分为两类， 第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，故选：A. 【典例2】（23-24高三上·天津·月考）①一组数据的第三四分位数为8； ②若随机变量，且，则； ③具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本的中心，则； ④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①：将数据从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以，则第三四分位数为，故①错误； 对于②：因为，且， 所以，所以，故②正确； 对于③：因为线性回归方程为，且样本的中心， 所以，解得，故③正确； 对于④：首先涂I有种，第二步涂II有种，第三步涂III有种，第四步涂IV有种， 按照分步乘法计数原理可得一共有种涂色方法，故④正确；故选：C 重难点03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 （1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． （2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. （3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 【典例1】（23-24高三下·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 【答案】-105 【解析】因为， 而二项式的展开式的通项，． 所以的展开式中的项为， 其系数为-105， 故答案为：-105． 【典例2】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的项为 或， 令时，， 令时，， 所以的展开式的常数项为，故选：A. 【典例3】（23-24高三下·广东广州·模拟预测）若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【解析】, 又， 故， 可由分别提供得到， 或者提供得到，或者提供得到， 故项的系数为为， 故，即， 要使最大，则需为正数， 因此，故，当且仅当时取等号， 故答案为： 重难点04 二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 【典例1】（23-24高三上·四川雅安·零模）的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【解析】依题意，的展开通项公式为，其系数为， 当为奇数时，才能取得最小值， 又由二项式系数的性质可知，是的最大项， 所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C． 【典例2】（23-24高三上·全江苏·期末）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的展开式的通项为， 由题可知，解得．故选：A 一、求解排列应用问题的六种常用方法 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置； 3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； 4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中； 5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、间接法：正难则反、等价转化的方法 【典例1】（24-25高三上·福建泉州·月考）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】C 【解析】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种.故选：C. 【典例2】（24-25高三上·广东·月考）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【解析】因为由于环状排列没有首尾之分， 将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法， 由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法. 甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种.故选：D 【典例3】（24-25高三上·广东肇庆·月考）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为 . 【答案】 【解析】第一种情况，甲拿了乙或者丙的旅行包，有种情况； 第二种情况，甲没有拿乙和丙的旅行包，有种情况. 故所求的概率为. 故答案为：. 【典例4】（24-25高三上·江苏无锡·月考）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 【答案】144 【解析】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法， 在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有种排法. 故答案为：144． 二、组合问题的常见类型与处理方法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 【典例1】（23-24高三下·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） ． A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 【答案】B 【解析】根据题意，分2种情况讨论： ①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况； ②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校， 有种不同的录用情况； 所以共有种不同的录用情况．故选：B． 【典例2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 【答案】D 【解析】由题意可知，可以分两种情况， 第一种情况所选取3个项目恰有2个相同， 第一步，在8个项目中选取2项，共有种， 第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种， 第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种， 由分步乘法计算原理可知，共有种； 第二种情况所选取的3个项目完全相同，则有种； 由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D 【典例3】（24-25高三上·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式. 由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选， 这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望， 所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选， 可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星， 有种情况， 所以所求概率为.故选：C. 三、二项展开式中的特定项求解 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： （1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项． （2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． （3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 【典例1】（24-25高三上·江苏·模拟预测）二项式中展开式中项的系数为 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项公式为， 令，所以， 所以二项式中展开式中x项的系数为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三下·黑龙江大庆·三模）在的展开式中，含项的系数是 . 【答案】24 【解析】在的展开式中，. 令得，所以含项的系数是. 故答案为：24. 四、三项展开式中某些特定项的系数的求法 （1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． （2）两次利用二项式定理的通项公式求解． （3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 【典例1】（23-24高三下·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·河南·三模）的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】6 【解析】， 的展开式通项为，的展开式通项为， ， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：6 五、二项式系数的和与各项的系数和问题 （1）系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． （2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n. 【典例1】（23-24高三下·福建福州·模拟预测）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，令，即可得，可得A正确； 对于B，因为展开式中代表一次项系数， 所以的展开式中含有一次项，可得，即B错误； 对于C，令，即可得， 可得，所以C错误； 对于D，令，即可得， 得，得，即D正确.故选：AD 【典例2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）若 ，则 . 【答案】 【解析】令，得 ， 令，得 ， 则 ， 且 ， 故 . 故答案为：. 六、二项式系数最大与最小 二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 【典例1】（23-24高三下·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【答案】D 【解析】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 即二项式系数中第5个即最大， 所以由二项式系数的性质可知，展开式中共项，， 又，则二项展开式的通项公式 ，. 令，所以的系数为．故选：D． 【典例2】（23-24高三下·浙江温州·三模）已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与有关 【答案】A 【解析】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项. 即，， 所以，从而.故选：A. 七、有关整除或求余的问题 利用二项式定理解决整除问题时要进行合理的变形，使被除数展开后的每一项都有除数的因式，要注意变形的技巧． 【典例1】（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 . 【答案】1 【解析】由题 ， 因为可以被10整除， 所以被10除的余数为1. 故答案为：1. 【典例2】（23-24高三下·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【解析】， 故 ． 前面7项均能被7整除，则被7整除余5， 故天后是星期二．故选：B. 易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误 点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理. 【典例1】（24-25高三上·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【解析】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 丙丁两人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种.故选：A 【典例2】（23-24高三下·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）． 【答案】 【解析】如果取一张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片都要取出，则组成个不同的四位数； 如果取两张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出两张，则组成个不同的四位数； 如果取三张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出一张，则组成个不同的四位数； 所以最多能组成个不同的四位数. 故答案为：. 易错点2 数字排列中“0”的位置不明 点拨：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。 【典例1】（23-24高三下·四川雅安·三模）从五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若选择的4个数中有0，则没有重复数字的四位数有个； 若选择的4个数中无0，则没有重复数字的四位数有个； 所以没有重复数字的四位数共有个. 若个位数为0，则没有重复数字的偶数有个； 若个位数不为0，则没有重复数字的偶数有个； 所以没有重复数字的四位数共有个. 综上所述：该数为偶数的概率为.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·安徽·月考）从中任意选1个数字，从中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为 . 【答案】 【解析】根据题意可知：若从中任意选1个不为0的数字有种选法， 从中任意选2个数字有种选法， 由选出的3个数字组成三位数有！种组法，共种方法， 其中偶数有个； 若从中选0，再从中任意选2个数字有种选法， 由选出的3个数字组成三位数有种组法，共种方法， 其中偶数有个； 所以该数为偶数的概率为. 故答案为： 易错点3 忽略二项式中的负号 点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b的系数为-1，展开求解释不要忽略。 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）展开式中含项的系数为（    ） A．420 B． C．560 D． 【答案】D 【解析】由题意知， 的二项展开式的通项公式为， 令，得，故含项的系数为.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·四川德阳·模拟预测）的展开式中，常数项为（    ） A．60 B． C．120 D． 【答案】A 【解析】的展开式的通项为 令，解得， 所以的展开式中的常数项为.故选：A 易错点4 混淆二项式系数与系数 点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是，其值只与有关，与无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定. 【典例1】（23-24高三上·重庆渝中·月考）（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1 【答案】ACD 【解析】通项公式为，， 其二项式系数为，二项式的展开式共项，中间项的二项式系数最大， 故第6项的二项式系数是最大的，故A正确； 二项式系数和为，所以C正确； 令得所有项的系数和为1，故D正确； 因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，故选：ACD. 【典例2】（23-24高三下·江西九江·三模）（多选）已知二项式，则（    ） A．展开式中的系数为45 B．展开式中二项式系数最大的项是第5项 C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项 【答案】AD 【解析】，当时，，系数为，故A正确； 由组合数性质可知，中间项系数最大， 展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误； 令，得展开式中各项系数之和为，故C错误； 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 当或时，系数最大，正确.故选：AD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 计数原理与二项式定理 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 知识点2 排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点3 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 重难点01 分组分配问题的解题思路 分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（    ） A．12 B．24 C．28 D．36 【典例2】（24-25高三上·安徽·开学考试）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有 种. 【典例3】（24-25高三上·重庆·开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（    ）种 A．108 B．114 C．150 D．240 【典例4】（24-25高三上·江西·月考）现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（   ） A．420 B．660 C．720 D．1200 重难点02 涂色问题的解法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 【典例1】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【典例2】（23-24高三上·天津·月考）①一组数据的第三四分位数为8； ②若随机变量，且，则； ③具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本的中心，则； ④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重难点03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 （1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． （2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. （3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 【典例1】（23-24高三下·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 【典例2】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·广东广州·模拟预测）若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 重难点04 二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 【典例1】（23-24高三上·四川雅安·零模）的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【典例2】（23-24高三上·全江苏·期末）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、求解排列应用问题的六种常用方法 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置； 3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； 4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中； 5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、间接法：正难则反、等价转化的方法 【典例1】（24-25高三上·福建泉州·月考）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【典例2】（24-25高三上·广东·月考）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【典例3】（24-25高三上·广东肇庆·月考）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为 . 【典例4】（24-25高三上·江苏无锡·月考）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 二、组合问题的常见类型与处理方法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 【典例1】（23-24高三下·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） ． A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 【典例2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 【典例3】（24-25高三上·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 三、二项展开式中的特定项求解 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： （1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项． （2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． （3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 【典例1】（24-25高三上·江苏·模拟预测）二项式中展开式中项的系数为 【典例2】（23-24高三下·黑龙江大庆·三模）在的展开式中，含项的系数是 . 四、三项展开式中某些特定项的系数的求法 （1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． （2）两次利用二项式定理的通项公式求解． （3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 【典例1】（23-24高三下·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·河南·三模）的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 五、二项式系数的和与各项的系数和问题 （1）系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． （2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n. 【典例1】（23-24高三下·福建福州·模拟预测）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）若 ，则 . 六、二项式系数最大与最小 二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 【典例1】（23-24高三下·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【典例2】（23-24高三下·浙江温州·三模）已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与有关 七、有关整除或求余的问题 利用二项式定理解决整除问题时要进行合理的变形，使被除数展开后的每一项都有除数的因式，要注意变形的技巧． 【典例1】（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 . 【典例2】（23-24高三下·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误 点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理. 【典例1】（24-25高三上·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【典例2】（23-24高三下·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）． 易错点2 数字排列中“0”的位置不明 点拨：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。 【典例1】（23-24高三下·四川雅安·三模）从五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·安徽·月考）从中任意选1个数字，从中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为 . 易错点3 忽略二项式中的负号 点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b的系数为-1，展开求解释不要忽略。 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）展开式中含项的系数为（    ） A．420 B． C．560 D． 【典例2】（23-24高三下·四川德阳·模拟预测）的展开式中，常数项为（    ） A．60 B． C．120 D． 易错点4 混淆二项式系数与系数 点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是，其值只与有关，与无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定. 【典例1】（23-24高三上·重庆渝中·月考）（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1 【典例2】（23-24高三下·江西九江·三模）（多选）已知二项式，则（    ） A．展开式中的系数为45 B．展开式中二项式系数最大的项是第5项 C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$