专题5.7 三角函数的应用【六大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题5.7 三角函数的应用【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 2 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 5 【题型3 三角函数在生活中的应用】 10 【题型4 几何中的三角函数模型】 14 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 19 【题型6 三角函数新定义】 23 【知识点1 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2) 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【解题思路】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【解答过程】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 【变式1-1】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【解题思路】根据正弦函数周期求判断A，根据特殊点求解判断B，根据正弦函数的单调性判断C，根据正弦函数值域判断D. 【解答过程】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误； 令，所以，又，所以， 因为，所以或. 又，所以，所以.故B错误； 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 且在内单调递减，因为， 所以在上单调递减，故C正确； 由图象得该质点在内的路程为，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（2024高一上·江苏·专题练习）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？ (3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 【解题思路】（1）根据周期的定义，由图象观察可以得出； （2）完成一次往复运动，即在函数图象上呈现一个周期的图象，结合图象确定正确答案； （3）根据周期函数的运算，可以计算出秒相当于运动几个周期，还剩多少时间，可以算出位移． 【解答过程】（1）从题图可以看出，单摆运动的周期是； （2）若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动； （3），所以小球经过相对于静止位置的位移是． 【变式1-3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【解题思路】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到A和最小正周期T，由此可得解析式； （2）由频率与周期的关系即可直接得答案. 【解答过程】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以. 因为在时，小球位于最高点，所以，解得，. 因为，所以. 所以，. （2）小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次. 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，构造三角函数模型，求得三角函数解析式，进而求解问题即可. 【解答过程】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系： 根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：； 因为筒转动的角速度为，故； 又；，解得，则； 又当时，，则，，则； 故当时，. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设甲位置对应的时间为 ，转到乙位置时对应的时间为，则，利用函数关系式为作差可求出结果. 【解答过程】设甲位置对应的时间为 ，转到乙位置时对应的时间为， 则， 所以甲､乙两人座舱高度差为 ， 所以甲､乙两人座舱高度差的最大值为 . 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 【解题思路】（1）首先以点为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数表示； （2）由题意转化为，转化为三角不等式问题，即可求解. 【解答过程】（1）以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题知，， 又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 由题知，，解得，， 故，； （2）如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，，，则， 则距离水面的高度， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 则，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒. 【变式2-3】（23-24高一下·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； (3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 【解题思路】（1）设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，根据求出各参数得解析式； （2）代入（1）中解析式计算可得； （3）结合，由甲的高度求得乙的高度，利用对称性或由求得两人距离地面高度相等的时刻． 【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，因为转盘直径为110m，所以，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度为，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，最低点距离地面高度为 由题意可得. H关于t的函数解析式为. （2）由（1）可知时， . 所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m. （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后，此时乙距离地面的高度为 ， 两人距离地面高度相等的时刻， 方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相等因为转一周大约需要30min，，所以甲从最低点开始转动，转过，乙从最低点开始转动，转过， 此时时间为. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法二：即时，即， 可得，解得. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法三：甲乙距离地面的高度差为 ， 利用，可得： ， 当时，，由题意可知：， 解得. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3. 【题型3 三角函数在生活中的应用】 【例3】（23-24高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【解题思路】由三角函数的性质结合条件即得. 【解答过程】当时，， 由，得， 所以(时)； 由，得， 所以(时). 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【解题思路】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求. 【解答过程】记时间为，水深值为， 设时间与水深值的函数关系式为， 由表中数据可知，， 所以，， 所以， 又时，，所以， 所以，即， 所以， ， 即13:00的水深值大约为. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一上·广西柳州·期末）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系. (1)求的表达式； (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【解题思路】（1）利用五点作图法，结合图象即可得解； （2）解正弦不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意，得，解得， 又，所以，又，所以， 因为过， 则，即， 所以，即， 又，所以， 所以. （2）根据题设，令，即， 由的性质得，， 解得，， 又因为， 当时，；当时，； 所以或， 所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时. 【变式3-3】（24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【解题思路】（1）由公式可求，由表格可得周期，进而求，代入最高点可求； （2）由题意可知进港条件为 ，解不等式即可. 【解答过程】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 【题型4 几何中的三角函数模型】 【例4】（23-24高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【解题思路】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【解答过程】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值 ，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 【变式4-1】（2024·四川成都·三模）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【解答过程】如图所示： ． 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． ∴，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时， ． 故选：D． 【变式4-2】（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【解题思路】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【解答过程】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 【变式4-3】（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于该扇形，其中点分别在半径和上，点在上，，记矩形的面积为S. (1)当点分别为半径和的中点时，求S的值； (2)设，当为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值. 【解题思路】（1）根据题意分析可知：为等边三角形，进而可得，，根据可得，结合三角恒等变换分析求解； （2）由（1）可得，结合正弦函数的有界性分析求解. 【解答过程】（1）如图，连接， 则，所以， 又因为矩形ABCD，，所以， 从而可得，所以， 因为，且，则为等边三角形，即， 又因为矩形ABCD，，则， 过点D作的垂线，垂足为E，设， 则，，， 在中，则，， 可得， 若点分别为半径和的中点， 则，即， 且，则，则， 可得， 所以. （2）由（1）可得： ， 又因为，则， 可知当，即时，矩形面积S取到最大值为. 【知识点2 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 【例5】（23-24高一下·湖北黄冈·阶段练习）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【解题思路】（1）由，求得，又由，求得，再由时，得到，求得，即可求得函数的解析式； （2）令，得到，解得，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：由的图象，可得，解得， 又由，解得，所以， 因为时，可得，即，解得， 即，所以， 又因为，解得，所以. （2）解：令，即，可得， 解得，解得， 又因为，所以当 时，可得， 所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售． 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【解题思路】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式； （2）在当的前提下，解不等式即可. 【解答过程】（1）根据数据，， ，，， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，1， 或； 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 【变式5-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）画出散点图，连线如下图所示： 设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：， 再由，得， ； （2）． ∵， ∴， ∴，或 解得，或， 所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的． 【变式5-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【解题思路】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【解答过程】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 【题型6 三角函数新定义】 【例6】（23-24高二下·福建漳州·期末）对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】利用“正切方差” 的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【解答过程】由题意，得 . 故选:C. 【变式6-1】（23-24高一下·吉林·期末）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得． 【解答过程】由题意，的最小值是， 又， 由，得， ，， 时，， 所以． 故选：A． 【变式6-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【解题思路】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分 讨论即可， （3）求解讨论得 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【变式6-3】（23-24高一下·上海嘉定·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【解题思路】（1）根据正弦周期函数的定义求解； （2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解． （3）从是严格递增函数，时，进行推理可得． 【解答过程】（1） ，证毕． （2），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 三角函数的应用【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 2 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 4 【题型3 三角函数在生活中的应用】 6 【题型4 几何中的三角函数模型】 8 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 10 【题型6 三角函数新定义】 12 【知识点1 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2) 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【变式1-1】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【变式1-2】（2024高一上·江苏·专题练习）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？ (3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 【变式1-3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 【变式2-1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 【变式2-3】（23-24高一下·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； (3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 【题型3 三角函数在生活中的应用】 【例3】（23-24高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【变式3-1】（23-24高一下·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【变式3-2】（23-24高一上·广西柳州·期末）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系. (1)求的表达式； (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【变式3-3】（24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【题型4 几何中的三角函数模型】 【例4】（23-24高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【变式4-1】（2024·四川成都·三模）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【变式4-3】（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于该扇形，其中点分别在半径和上，点在上，，记矩形的面积为S. (1)当点分别为半径和的中点时，求S的值； (2)设，当为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值. 【知识点2 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 【例5】（23-24高一下·湖北黄冈·阶段练习）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【变式5-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【变式5-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【题型6 三角函数新定义】 【例6】（23-24高二下·福建漳州·期末）对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-1】（23-24高一下·吉林·期末）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【变式6-3】（23-24高一下·上海嘉定·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$