专题5.6 函数y=Asin(ωx+φ)【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题5.6 函数y=Asin(ωx+φ)【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 3 【题型2 三角函数间图象的变换】 5 【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】 6 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 6 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 8 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 10 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 12 【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)对的图象的影响 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时) 或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或 伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 【例1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（    ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 【变式1-1】（23-24高一上·广东揭阳·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·北京海淀·期中）某同学用五点法作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数的图象；    (2)将的图象向右平移（）个单位，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值． 【变式1-3】（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)求函数在区间上的值域． 【题型2 三角函数间图象的变换】 【例2】（23-24高一下·广东·期末）为了得到的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 【变式2-1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）将曲线上所有点向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式2-3】（2024·辽宁本溪·一模）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】 【例3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到 【变式3-3】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 【例4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数的解析式可以为 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 【变式4-2】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【变式4-3】（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例5】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【变式5-1】（24-25高三上·天津·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【变式5-3】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的最大值为0 D．不等式的解集为 【知识点2 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 【例6】（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为. （1）求的值（精确到0.0001） （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到0.01s）？ 【变式6-3】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例7】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数， (1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域. (2)若，且，求的值. 【变式7-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【变式7-2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求的值； (2)若先将的图象上每个点的横坐标变为原来倍，再将函数图象向右平移个单位，将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，再将函数图象向上平移个单位，得到函数图象，求在上的值域和单调递减区间． 【变式7-3】（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.6 函数y=Asin(ωx+φ)【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 3 【题型2 三角函数间图象的变换】 7 【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】 9 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 11 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 15 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 18 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 22 【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)对的图象的影响 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时) 或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或 伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 【例1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（    ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 【解题思路】利用的图像与性质，再结合图表中的数据即可求出结果. 【解答过程】根据图像表格，易知,，又，得到， 又由图像表格及的图像与性质知，，得到. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一上·广东揭阳·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案. 【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5， ，解得，解得， 又，解得， 所以的解析式可以是 故选：A. 【变式1-2】（23-24高一下·北京海淀·期中）某同学用五点法作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数的图象；    (2)将的图象向右平移（）个单位，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值． 【解题思路】（1）根据已知数据求得，再填表以及画图即可； （2）根据（1）中所求函数解析式，结合三角函数图象变换求得的解析式，再根据其为偶函数，即可求得的最小值. 【解答过程】（1）易知，，再根据表格中已知数据可知，，故可得； 令，解得；令，解得；令，解得； 故填表如下： 0 0 2 0 0 根据五点作图法，结合表格中数据，画图如下所示：    （2）由（1）可知，，根据题意可得， 由题可知，为偶函数，故，故可得， 又，故当时，取得最小值. 【变式1-3】（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)求函数在区间上的值域． 【解题思路】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期,再求；再由求得,进而得到解析式,由解析式补全表格即可； （2）由表格数据描点连线作图即可； （3）令,则,利用正弦函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题表知，，所以， ， ， ， 则数据补全如下表： 0 0 3 0 0 ； （2）由（1），在一个周期内的图象如图所示， ； （3）令,则, 所以在上的值域可转化为在上的值域, 因为正弦函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以在区间上单调递减,在区间上单调递增, 故的最小值为,最大值为, 当时,；当时,, 故当时,；当时,， 所以函数在区间上的值域为. 【题型2 三角函数间图象的变换】 【例2】（23-24高一下·广东·期末）为了得到的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 【解题思路】根据平移变换知识即可判断. 【解答过程】根据平移变换知识先向左平移个单位长度可得， 再将所得曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）将曲线上所有点向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用图像的平移伸缩得出新的函数解析式. 【解答过程】上所有点向左平移个单位长度得到曲线， 再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍为； 故选:D. 【变式2-2】（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【解题思路】根据函数图象可得解析式，再根据三角函数的左右平移可得解. 【解答过程】由图象，且，可知， 又，即， 解得，又，则， 所以， 由函数图象过点，即， 解得，， 又，则， 所以， 所以要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位， 故选：A. 【变式2-3】（2024·辽宁本溪·一模）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的伸缩平移变换可得函数的解析式，进而可得函数值. 【解答过程】将函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得， 再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数， 所以， 故选：A. 【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】 【例3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先化简与，再结合函数图象的平移求的值. 【解答过程】因为， . 且. 所以将的图象向左平移个单位可得的图象. 又函数与的周期均为. 所以将的图象向右平移个单位可得的图象. 故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由辅助角公式变形后得到，再由奇函数的性质结合正弦函数的诱导公式求出即可. 【解答过程】因为， 则， 因为为奇函数，所以， 所以， 即， 所以，， 所以， 所以最小值为， 故选：D. 【变式3-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到 【解题思路】根据三角恒等式对已知函数进行化简得，根据周期公式即可求解A，根据整体法，结合正弦函数的单调性即可求解B，代入验证即可求解C，利用函数图象的平移变换即可求解D. 【解答过程】 ，所以函数的最小正周期是，故A错误； 当时，， 又在上单调递减，所以函数在区间上是减函数，故B正确； 因为，所以函数的图象不关于点对称，故C错误； 将的图象向右平移个单位得到，再将向下平移1个单位得到，故D错误． 故选：B． 【变式3-3】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解. 【解答过程】由， 先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得：， 再将所得的图象向右平移个单位长度， 可得， 故选：A. 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 【例4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由图象确定A的值，根据周期求出，利用特殊值求出，即得答案. 【解答过程】由函数图象可知，，即， 由，得， 故，由于，故， 则， 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数的解析式可以为 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 【解题思路】由已知结合最值求A，结合周期求出，由特殊点求，进而可求，然后结合正弦函数的对称性及单调性即可判断． 【解答过程】由题意得，，，所以，故， 因为，， 因为，所以，，A正确； 因为，此时取得最小值，B正确； 当时，，此时不单调，C错误； 因为，D正确． 故选：C． 【变式4-2】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【解题思路】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【解答过程】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得 ，故正确. 故选：C. 【变式4-3】（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 【解题思路】由图可知，，即可判断A；利用周期计算即可判断B；利用所得解析式结合三角函数图象性质可判断C；利用三角函数平移性质计算可判断D. 【解答过程】对于A，由题图可知，，从而， 且位于单调递增区间，结合，可知，故A不正确； 对于B，由图可得，解得，， 又，所以，所以， 故，故B错误； 对于，， 令，则， 共有8096个零点，故C不正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为： ， 显然的定义域为全体实数，且为偶函数， 所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：D. 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例5】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【解题思路】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D. 【解答过程】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高三上·天津·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质计算依次判断即可求解. 【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，故①错误； 函数的最小正周期，但是， 故为非奇非偶函数，即②错误； 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，，故③正确； 因为，所以不是零点，故④错误； 故选：A. 【变式5-2】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【解题思路】先根据平移变换的知识求出，根据三角函数的对称性性质将和代入求值检验即可判断选项AD；根据函数图象结合即可判断B；令，求出即可求出的单调递增区间进而得解. 【解答过程】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 【变式5-3】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的最大值为0 D．不等式的解集为 【解题思路】根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的奇偶性、对称性、单调性依次判断选项即可. 【解答过程】由题知. A：由于的定义域为，且， 故为奇函数，故A错误； B：又，故的图象不关于直线对称，故B错误； C：因为时，， 所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确； D：，则，则， 故，故D错误. 故选：C. 【知识点2 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 【例6】（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 【解题思路】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【解答过程】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B. 【变式6-1】（23-24高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案. 【解答过程】由题意可知，函数的周期，初相为，则， 因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误； 点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1， 而在运动的过程中距离最大值为2，则， 所以C选项符合，A选项不符合. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为. （1）求的值（精确到0.0001） （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到0.01s）？ 【解题思路】（1）根据实际含义分别求的值； （2）根据题意列方程，解简单三角方程得结果 【解答过程】（1）振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； （2）令 （s）. 【变式6-3】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【解题思路】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【解答过程】（1）设 由题意知：， ，故， 可取， 故解析式为：，. （2）令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米. 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例7】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数， (1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域. (2)若，且，求的值. 【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用三角函数的图象变换求出，进而求出指定区间上的值域. （2）由（1）求出，再由结合和角的余弦公式求解即可. 【解答过程】（1）依题意， ，将图象向左平移个单位，得， 于是，当时，，， 则，所以在上的值域为. （2）由（1）知，由，得， 由，得，则， . 【变式7-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【解题思路】（1）利用三角恒等变换将函数化简得，再利用给定性质求出. （2）由三角函数图象变换得，再利用正弦函数性质，结合一元二次方程求出零点即可.. 【解答过程】（1）依题意，函数， 由函数为奇函数，得，又，则， 由函数图象的相邻两对称轴间的距离为，得的周期，解得， 所以函数的解析式是. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数， 由方程，，解得， 即，当时，，则或或或， 即原方程有四个实数根，不妨设为， 因此， 解得，所以原方程所有根之和为. 【变式7-2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求的值； (2)若先将的图象上每个点的横坐标变为原来倍，再将函数图象向右平移个单位，将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，再将函数图象向上平移个单位，得到函数图象，求在上的值域和单调递减区间． 【解题思路】（1）化简可得的解析式，进而可得可得，利用二倍角的余弦公式可求的值； （2）求得的解析式，结合已知可求的值域与单调递减区间. 【解答过程】（1） ； 又，可得， . （2）将的图象上每个点的横坐标变为原来倍，可得解析式为， 再将函数图象向右平移个单位，可得函数的解析式为， 将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，， 再将函数图象向上平移个单位，得到函数， 由，可得，， 所以，所以的值域为； 由，得 又，所以在上单调递减. 【变式7-3】（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 【解题思路】（1）先利用诱导公式、正弦的和角公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）根据三角函数图象的变换求出解析式，利用整体思想分离参数结合二次函数的性质计算即可. 【解答过程】（1）由 ， 因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为， 所以其最小正周期为， 则， 令， 解之得； （2）由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变）， 再向上平移个单位长度可得， 再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 当，所以， 令，则条件可化为在时有解， 易知在上单调递减，在上单调递增， 易知， 则，解之得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$