苏科版八年级（上）期中复习模拟卷-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

2024-2025学年八年级上学期期中复习模拟卷 （范围：第一章-第三章内容，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组数能构成勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知与中，，则下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A．B． C． D． 4．满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在和中，，连接交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，与关于直线对称，则的度数为 度． 8．如图，已知为直角三角形，则正方形的面积为 ． 9．若一个等腰三角形的一个内角的度数为，则它的底角的大小为 度． 10．如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得． 11．如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ． 12．如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 13．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，则电脑屏幕的宽 ． 14．如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 15．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 16．如图，为△内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 18．如图，在所给网格图（每小格均是边长为1的正方形）中完成下面各题： (1)作关于直线对称的图形； (2)求的面积． 19．如图，，垂足分别为D，E． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，， (1)求证：． (2)若，，且，则的面积是多少？ 21．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 22．如图1，已知线段、相交于点，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若平分，，，求的长． 23．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． (1)的面积记作，求的值． (2)求的周长． 24．在中，、分别平分、． (1)如图1，若，则___________； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若，，，求的长． 25．如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 26．如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当__________时，平分的面积； (2)求当t为何值时，为轴对称图形； (3)若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________． 27．如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． (1)当是等腰三角形时，__________度； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的大小． 试卷第4页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期期中复习模拟卷 （范围：第一章-第三章内容，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组数能构成勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．判断一组数是否为勾股数时，必须满足勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，但不是正整数，故选项不合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项不合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项不合题意； D、，能构成直角三角形，是整数，故选项符合题意； 故选：D． 2．已知与中，，则下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，注意：、不能判定两个三角形全等． 作出草图，根据三角形全等的判定定理对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：如图， A、符合“边边角”，不能判定两三角形全等，故本选项符合题意； B、，符合“边角边”， 能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； C、，符合“角边角”， 能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； D、，符合“角角边”， 能判定两三角形全等，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形，逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 5．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 6．如图，在和中，，连接交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；设交于点，因为，所以，可判断②正确；作于点于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；假设，则，所以，由，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 设交于点， ，故②正确； 作于点于点， ， ，又， ， ∴点在的平分线上， 平分，故④正确； 假设，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，与已知条件相矛盾， ，故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，与关于直线对称，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， 故答案为：． 8．如图，已知为直角三角形，则正方形的面积为 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题重点考查正方形的面积公式，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得，设以为边的正方形的面积为，则，结合，，即可求解． 【详解】解：为直角三角形，且， ， 设以为边的正方形的面积为，则， 以为边的正方形的面积为，以为边的正方形的面积为， ，， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 9．若一个等腰三角形的一个内角的度数为，则它的底角的大小为 度． 【答案】40 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和，根据等腰三角形定义以及三角形形内角和定理分两种情况讨论求解即可． 【详解】解： 当为等腰三角形的底角时，，不能组成三角形， 当为等腰三角形的顶角时，它的底角的大小为， 故答案为：． 10．如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得． 【答案】（或） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 11．如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过O点作于H点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：过O点作于H点，如图， 平分， ， ∵点E为射线上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为3． 故答案为：3． 12．如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 13．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，则电脑屏幕的宽 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 14．如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理求出，当时，的值最小，利用等积法求出答案即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵当时，的值最小， 此时：， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，为△内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长交于点，根据得，再证明和全等得，，则，据此可得的长． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 18．如图，在所给网格图（每小格均是边长为1的正方形）中完成下面各题： (1)作关于直线对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，割补法求面积，掌握轴对称的性质是解题关键． （1）分别作出点A、B、C关于的对称点、、，连接、、即可； （2）过A，B，C三点围成的矩形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：． 19．如图，，垂足分别为D，E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用证明即可； （2）根据全等的性质，得到，勾股定理求出的长，进而得到的长，利用线段的和差关系，进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴． 在中，， ∵， ∴． 20．如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，， (1)求证：． (2)若，，且，则的面积是多少？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形中线的性质， 熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键； （1）先证明，再利用三角形内角和定理证明，据此利用证明即可； （2）根据三角形面积公式，先求出， ，再根据全等三角形的性质得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：， 即， ，，，， ， 在和中， ； （2）解：， ， ， ， ∵ ． 21．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析； (2)元． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答． 【详解】（1）连接， 技术人员测量的是A，C两点之间的距离， 理由测量的是A，C两点之间的距离， 理由如下：∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴， ， ∴ ∴绿化这片空地共需花费元． 22．如图1，已知线段、相交于点，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）首先根据对顶角的定义得到，然后根据三角形内角和求解即可； （2）先证和全等，得出，，利用勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：与为对顶角， ， ，， 又， ； （2）解：如图2，延长、相交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设， 则， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 23．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． (1)的面积记作，求的值． (2)求的周长． 【答案】(1)7 (2)14 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了考查勾股定理、三角形面积公式等知识点，灵活运用勾股定理以及数形集合思想是解题关键． （1）根据勾股定理和，由图形关系可得，解得，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）由，据此可求出，然后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． ∵， ∴，整理得：， ∴， （2）解：∵， ∴（负值舍去）， ∴的周长． 24．在中，、分别平分、． (1)如图1，若，则___________； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若，，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析； (3)3； 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据得到，再结合角平分线求出，即可得到答案； （2）过作，，，根据角平分线性质得到，结合角平分线的判定即可证明； （3）在上截取一点D，使，连，证明，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴； （2）证明：过作，，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴平分 ； （3）解：在上截取一点D，使，连，    设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，角平分线判定与性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线． 25．如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识带你，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得与的关系，与的关系，根据平行线的性质可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定可得即可证明结论； （2）同（1）可得，然后根据三角形的周长公式计算即可； （3）根据角平分线的性质和判定证得是的平分线，即可求得． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． （3）解：过点O分别作于M，于N， ∵和的平分线相交于点，，， ∴， ∴是的平分线， ∴． 26．如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当__________时，平分的面积； (2)求当t为何值时，为轴对称图形； (3)若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________． 【答案】(1) (2)当t为或2或秒时，为轴对称图形 (3) 【知识点】根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出的长，再根据中线平分面积求解即可； （2）根据题意可得为等腰三角形，再分四种情况分别求解即可； （3）在撒花姑娘截取，过点P作，垂足为F，交于E，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分的面积， ∴为中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：为轴对称图形，即为等腰三角形， 当时， ∴， ∴； 当时，点P在线段上， ∵， ∴ ∴， ∴； 当，点P在线段上时， 设，则， 在中，，即， 解得，不符合题意； 当，点P在线段上时，过点P作，垂足为M， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴； 综上，当t为或2或秒时，为轴对称图形； （3）解：在上截取，过点P作，垂足为F，交于E， 此时，，即为最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 27．如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． (1)当是等腰三角形时，__________度； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的大小． 【答案】(1)75 (2)见解析 (3)1 (4)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小，值为1． （4）根据是等腰三角形，其中，若， 则，得； 若，则，得；若，则，得． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴． ∴． ∴． 故答案为：75 （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． 在和，， ∴． （3）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴当时，最小． 最小值为． （4）解：当是等腰三角形时， 若， ∵， ∴． ∴． 若， 则． ∴． 若， 则． ∴． 故的大小为或或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含30度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 试卷第4页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$