3.6二次函数的应用（第3课时）（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.6 二次函数的应用 第三章 二次函数 第三课时 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、.能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型,并根据二次函数表达式和图象特点,进行相关判断.由具体到抽象,进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数最大(小)值的关系. 2、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,体会函数的思想方法和数形结合的思想方法. 3、积极参加数学活动,发展解决问题的能力,体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心,体验成功的乐趣. 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 确定实际问题的解 建立二次函数模型解决实际问题 知识回顾 知识回顾 如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2 （5）y=ax2+bx+c O O O x y O （4）y=a(x-h)2+k 新课导入 欣赏 生活中的抛物线 新课导入 欣赏 生活中的抛物线 优美的抛物线 新知探究 现有一公司的大门呈抛物线形,大门地面宽AB为4 m,顶部C距地面的高度为4.4 m. 4.4 m 4 m A B C 任务一：试建立适当的坐标系,求抛物线对应的二次函数的表达式; 讨论 （1）怎样在原图中建立平面直角坐标系? (2)建系后能找到哪些点的坐标?标在图中. (3)可以求出抛物线的表达式吗? x y 以顶部C点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立如图坐标系 A （-2，-4.4） B （2，-4.4） （0，0） C 2 -2 0 -4.4 设抛物线的解析式：y=ax²（-2≤x≤2） 把（-2，-4.4）代入得：-4.4=4a 解得：a=-1.1 ∴抛物线的解析式：y=-1.1x²（-2≤x≤2） 新知探究 现有一公司的大门呈抛物线形,大门地面宽AB为4 m,顶部C距地面的高度为4.4 m. 4.4 m 4 m A B C (1)试建立适当的坐标系,求抛物线对应的二次函数的表达式; 讨论 y 还可以建立怎样的坐标系，试一试在所建立的坐标系里求出对应的函数关系式 x y （0，0） （0，4） （2，4.4） 设抛物线的解析式：y=a（x-2）²+4.4（-2≤x≤2） 把（0，0）代入得：0=4a+4.4 解得：a=-1.1 ∴抛物线的解析式：y（x-2）²+4.4（-2≤x≤2） 以A点为坐标原点，地面为x轴建立如图坐标系 新知探究 现有一公司的大门呈抛物线形,大门地面宽AB为4 m,顶部C距地面的高度为4.4 m. 4.4 m 4 m A B C (1)试建立适当的坐标系,求抛物线对应的二次函数的表达式; 讨论 y 还可以建立怎样的坐标系，试一试在所建立的坐标系里求出对应的函数关系式 x （-2，0） （2，0） （0，4.4） 设抛物线的解析式：y=ax²+4.4（-2≤x≤2） 把（-2，0）代入得：0=4a+4.4 解得：a=-1.1 ∴抛物线的解析式：y=-1.1x²+4.4（-2≤x≤2） 地面为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图坐标系 现有一公司的大门呈抛物线形,大门地面宽AB为4 m,顶部C距地面的高度为4.4 m. 任务二：一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.65 m,装货宽度为2.4 m,那么这辆汽车能否顺利通过大门? 讨论 4.4 m 4 m A B C y x （-2，0） （2，0） （0，4.4） 要选择建立合适的坐标系方便计算 新知探究 2.65 m D E 2.4 m F G （4）如图所示，DEFG是货箱，你能写出D、E的坐标吗？ D （-1.2，2.65） E （1.2，2.65） ∵当x＝1.2时 y＝－1.1×1.2²＋4.4 ＝2.816 (5)E点在抛物线y=-1.1x²+4.4（-2≤x≤2）上吗？ （1.2，2.816） （1.2，2.65） E点不在抛物线y=-1.1x²+4.4（-2≤x≤2）上 ∴汽车能顺利通过大门。 ∵2.816＞2.65 1.2 （6）这辆汽车能顺利通过大门吗？ 现有一公司的大门呈抛物线形,大门地面宽AB为4 m,顶部C距地面的高度为4.4 m. 新知探究 任务二：一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.65 m,装货宽度为2.4 m,那么这辆汽车能否顺利通过大门? A B C x y 2 -2 0 -4.4 2.65 m D E 2.4 m 讨论 （4）如图所示，DEFG是货箱，你能写出D、E的坐标吗？ F G D （-1.2，-1.75） E （1.2，-1.75） （6）这辆汽车能顺利通过大门吗？ (5)E点在抛物线y=-1.1x²（-2≤x≤2）上吗？ 把x=1.2代入得：y=-1.1×1.2² 解得：y=-1.584 （1.2，-1.584） E点不在抛物线y=-1.1x²（-2≤x≤2）上 （1.2，-1.75） 1.2 4.4-1.584=2.816＞2.65 ∴这辆汽车能顺利通过大门 11 新知探究 现有一公司的大门呈抛物线形,大门地面宽AB为4 m,顶部C距地面的高度为4.4 m. 议一议 （7）在上面的问题中，如果装货宽度为 2.4 m 的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少？（结果精确到 0.01 m） 4.4 m 4 m A B C y x 2.82 m D E 2.4 m F G （1.2，2.816） 1.2 当货箱DEFG的顶点D、E的抛物线上时，此时E点的纵坐标是货物顶部距地面的最大高度 把x＝1.2代入 抛物线y=-1.1x²+4.4（-2≤x≤2） 得：y＝－1.1×1.2²＋4.4 ＝2.816 ≈2.82（米） 如图所示，拱门所在抛物线解析式为： y=-1.1x²+4.4（-2≤x≤2） 答：汽车顺利通过大门时货物顶部距地面的最大高度是2.82米。 例题讲解 例1、公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？ 1.25米 2.25米 1米 O A 解： 例题讲解 x y 以 OC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系。 C 设点 B 为右边抛物线的顶点 由条件知点 A 的坐标为（0，1.25）， B 其坐标为（1，2.25） 设右边的抛物线的表达式： y = a（x - 1）² + 2.25 将点 A 的坐标代入 y = a（x - 1）² + 2.25，得 1.25 = a + 2.25 解得 a = - 1。 ∴右边抛物线的表达式为 y = -（x - 1）² + 2.25 当 y = 0 时，x1 = - 0.5，x2 = 2.5 ∴水流落水处与x轴交点 C 的坐标为（2.5，0） ∴水池的半径至少为 2.5 m 时，才能使喷出的水流不致落到池外。 O A x y C B 议一议 你能求出图 中左边抛物线的表达式吗？ 例题讲解 ∵右边抛物线的表达式： y = -（x - 1）² + 2.25 ∴利用对称性得左边抛物线的表达式： y = -（x +1）² + 2.25 你还有其他解法吗？ 设右边的抛物线的表达式： y = ax²+ bx+c 解： 点 A 的坐标为（0，1.25），代入得：c=1.25 B 为右边抛物线的顶点，坐标为（1，,225） - =1 =2.25 ∴ 解得： a=-1 b=2 ∴右边的抛物线的表达式： y = -x²+ 2x+1.25 回顾两个问题的解法，你能总结出此类问题的一般解法吗？ 新知总结 建立适当的直角坐标系 审题，弄清已知和未知 合理地设出二次函数解析式 求出二次函数解析式 利用解析式求解 得出实际问题的答案 1.如图所示,拱桥形状为抛物线,其函数表达式为y=-x2,当水位线在AB位置时,水面的宽度为12 m,这时水面离桥拱顶的高度h是(　　) (A)3 m (B)26 m (C)43 m (D)9 m 新知巩固 选一选 由题意得： B点坐标（6,yB） 将x=6代入 y = - x² ，得 yB=-9 ∴水面离桥拱顶的高度h=9 D 分析 2.如图所示的是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上,且AC⊥x轴.若OA=10 m,则桥面离水面的高度AC为(　 　) A.16 m B. m C.16 m D. m B 新知巩固 选一选 由题意得： C点坐标（-10,yC） 将x=-10代入 y=-(x-80)2+16 ，得 yC= - ∴桥面离水面的高度AC= 分析 O 1、如图所示,一拱桥呈抛物线形,桥的最大高度为16 m,跨度为40 m,在线段AB上离中点5 m的地方M处桥的高度为　　　　 m.  新知巩固 填一填 2、在体育测试时,九年级的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示.如果这名男同学的出手处点A的坐标为(0,),铅球路线的最高处点B的坐标为(4,3)(单位:m).该名男同学把铅球推 米 10 m 分析 分析 建立如图所示的坐标系，由题意得： 抛物线顶点C坐标（0,16）,与x轴交点B（20,0） 设抛物线解析式为y=ax²+16， 将（20,0）代入得： a=- ∴y=-x²+16 15 把x=5代入解析式得： y=15 ∴MN=15 N ∵二次函数图象的顶点是(4,3), ∴二次函数表达式可设为y=a(x-4)2+3. ∵二次函数图象经过点(0,), ∴16a+3=,解得a=-, ∴y=-(x-4)2+3=-x2+x+. 令y=0,得-(x-4)2+3=0, 解得x1=-2,x2=10, ∴该男生能把铅球推出10 m远. 新知巩固 3、如图，一条隧道的截面由一段抛物线和一个矩形的三条边围成。矩形的长是 8 m，宽是 2 m，在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用 y = - x² + 4 表示。 （1）一辆货运卡车高 4 m，宽 2 m，它能通过该隧道吗？ 做一做 O y x -2 -2 2 -3 -1 1 -1 -3 3 解： C A B E F D （1）如图所示，HGFE为货运卡车，由题意得： H G AB=8m CB=2m ∴F点坐标（1,2） M FG=4m HG=2m FM=2m 2 1 3 O y x -2 -2 2 -3 -1 1 -1 -3 3 将x=1代入 y = - x² + 4 ，得 y=3.75 N ∴N点坐标（1,3.75），NM=3.75m 直线x=1 ∴NM＞FM ∴货运卡车能通过该隧道 2 1 3 O y x -2 -2 2 -3 -1 1 -1 -3 3 O y x -2 -2 2 -3 -1 1 -1 -3 3 C A B E F D H G M N 直线x=2 （2）如果该隧道内的路面为双车道，那么这辆货运卡车是否可以通过？ （2）如图所示，HGFE为在右侧车道上的货运卡车，由题意得： 解： ∴F点坐标（2,2） FG=4m FM=2m 将x=2代入 y = - x² + 4 ，得 y=3 ∴N点坐标（2,3），NM=3m ∴NM＞FM ∴货运卡车能通过该隧道 新知巩固 做一做 课堂小结 抛物线形实物与轨迹问题 拱桥问题 抛物线形运动轨迹问题 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 转化的关键 1)审题. (2)建系、建模. (3)找点坐标,求表达式. (4)求点坐标. (5)回答实际问题. 一般步骤 注意:点的坐标的正负. 1、在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线,正在甩绳的A,B两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生C,D分别站在距A拿绳的手水平距离1米和2.5米处,绳子甩到最高处时,刚好通过他们的头顶,已知学生C的身高是1.5米, （1）根据以上信息你能知道学生D的身高吗? 课后拓展 （2）若现有一身高为1.625 m的同学也想参加这个活动,请问他能参加这个活动吗?若能,则他应离A多远的地方进入?若不能,请说明理由? O 提示 建立如图所示的坐标系，由题意得： 抛物线经过A（0,1）, B（4,1）,C（1,1.5） 设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将坐标代入得 a=-，b= ，c=1 y=-x²+x+1 把x=2.5代入得 y= =1.625 ∴学生D的身高是1.625米 ∴身高为1.625 m的同学能参加跳绳 令y=-x²+x+1=1.625 解得：x1=-1.5,x2=2.5, ∴他应离A1.5米的地方进入 $$