九年级数学期中模拟试卷（1）-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

九年级数学上册期中模拟试卷（1） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．抛物线y＝3（x+2）2﹣4的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣4） D．（2，4） 3．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．三角形的两边之和大于第三边 B．玩猜拳游戏时，对方出“剪刀” C．明年的冬至会下雪 D．从装满红球的袋子里摸出黄球 4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝140°，则∠BAD的度数为（　　） A．75° B．70° C．55° D．50° 5．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为（　　） A． B． C． D． 6．若二次函数y＝mx2﹣（m2﹣3m）x+1﹣m的图象经过点（a，b）、（﹣a，b），则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 7．如图，CD是⊙O的直径，弦AB＝8cm，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则直径CD的长为（　　） A．2cm B．cm C．10cm D．5cm 8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（2，1），D（3，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上位于直径AB两侧，且∠OAC＝20°，连结CD交AB于点E，若DE＝OD，则∠ODE的度数为（　　） A． B． C．30° D．40° 10．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，若M1＝1，M2＝0，则M3的值是（　　） A．2 B．1或2 C．0 D．1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一个扇形的半径为2cm，弧长为3πcm，则此扇形的面积为 　 　cm2． 12．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 131 176 445 724 901 合格频率 0.84 0.88 0.87 0.88 0.89 0.91 0.90 根据上表，估计任抽一件衬衣是合格品的概率是 　 　．（保留小数点后两位） 13．已知关于x的二次函数y＝（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为 　 　． 14．如图，AE，DF是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则＝　 　． 15．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上，当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＞y2．若图象上C（m，y3），D（m+3，y4）满足y3＞y4，则m的取值范围是 　 　． 16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC＝BD，求证：DC＝AB． 18．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 　 　； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为 　 　； （2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段AB扫过的面积． 20．如图，抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）求点A的坐标，并结合函数图象直接写出关于x的不等式﹣x2+mx＞x+b的解集． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝5，AD＝6，求CD的长度． 22．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，且∠ACP＝45°． （1）如图1，求证：AP＝BP； （2）如图2，连接BP，AP．点M为AP上一点，过P作PD⊥BM于D点，求证：BD＝MD+AM； （3）如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连PQ，AQ，BQ．求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册期中模拟试卷（1） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【解析】解：∵点P在圆内，且d＝5， ∴r＞5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r． 2．抛物线y＝3（x+2）2﹣4的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣4） D．（2，4） 【思路点拨】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解析】解：抛物线y＝3（x+2）2﹣4的顶点坐标是（﹣2，﹣4）， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式，y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 3．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．三角形的两边之和大于第三边 B．玩猜拳游戏时，对方出“剪刀” C．明年的冬至会下雪 D．从装满红球的袋子里摸出黄球 【思路点拨】根据随机事件的定义解答即可． 【解析】解：A、三角形的两边之和大于第三边是必然事件，符合题意； B、玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”是随机事件，不符合题意； C、明年的冬至会下雪是随机事件，不符合题意； D、从装满红球的袋子里摸出黄球是不可能事件，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝140°，则∠BAD的度数为（　　） A．75° B．70° C．55° D．50° 【思路点拨】先求出，∠BOC＝40°，得出∠BOD＝110°，然后再根据圆周角定理即可求解． 【解析】解：∵＝，∠AOB＝140°， ∴，∠BOC＝180°﹣∠AOB＝40°， ∵OD∥BC， ∴∠DOC＝∠C＝70°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝40°+70°＝110°． ∵＝， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 5．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】列表得出所有等可能的情况数，找出两人同坐1号车的情况数，即可求出所求的概率． 【解析】解：列表如下： 1 2 1 （1，1） （2，1） 2 （1，2） （2，2） 所有等可能的情况有4种，其中两人同坐1号车的情况有1种， 所以两人同坐1号车的概率为， 故选：C． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．若二次函数y＝mx2﹣（m2﹣3m）x+1﹣m的图象经过点（a，b）、（﹣a，b），则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 【思路点拨】由于函数图象关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y＝ax2+k型，由此求得问题的答案． 【解析】解：∵二次函数y＝mx2﹣（m2﹣3m）x+1﹣m的图象经过点（a，b）、（﹣a，b）， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是y＝ax2+k型， ∴﹣（m2﹣3m）＝0， 解得：m＝0或m＝3， ∵二次函数的二次系数不能为0， ∴m＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够明确函数图象关于y轴对称是解题的关键． 7．如图，CD是⊙O的直径，弦AB＝8cm，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则直径CD的长为（　　） A．2cm B．cm C．10cm D．5cm 【思路点拨】连接OA，令OM＝3x cm，OC＝5x cm，由垂径定理得到AM＝AB＝4（cm），由勾股定理得到（5x）2＝（3x）2+42，求出x＝1（s舍去负值），得到OC＝5x＝5cm，即可得到直径CD的长． 【解析】解：连接OA， ∵OM：OC＝3：5， ∴令OM＝3x cm，OC＝5x cm， ∴OA＝OC＝5x cm， ∵半径OC⊥AB， ∴AM＝AB＝×8＝4（cm）， ∵OA2＝OM2+AM2， ∴（5x）2＝（3x）2+42， ∴x＝1（舍去负值）， ∴OC＝5x＝5cm， ∴直径CD＝2OC＝10（cm）． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于x的方程． 8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（2，1），D（3，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 【思路点拨】待定系数法分别求出表达式比较a的大小即可． 【解析】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， 设过A、B、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， 设过A、C、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， 设过B、C、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， ∵， ∴a的值最大为：． 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上位于直径AB两侧，且∠OAC＝20°，连结CD交AB于点E，若DE＝OD，则∠ODE的度数为（　　） A． B． C．30° D．40° 【思路点拨】如图，连接OC、BC，由圆周角定理可求∠BOC＝40°，由等边对等角，三角形内角和求∠5＝∠2+∠4＝70°，∠1＝∠2，则∠4＝70°﹣∠1，由圆周角定理求∠3＝2∠4＝140°﹣2∠1，由等边对等角可求∠DEO＝∠3，由三角形内角和定理得∠1+2∠3＝180°，即∠1+2（140°﹣2∠1）＝180°，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC、BC， ∵， ∴∠BOC＝2∠OAC＝40°， ∵OC＝OB， ∴， ∵OD＝OC， ∴∠1＝∠2， ∴∠4＝70°﹣∠1， ∵， ∴∠3＝2∠4＝2（70°﹣∠1）＝140°﹣2∠1， ∵DE＝OD， ∴∠DEO＝∠3， ∵∠1+2∠3＝180°， ∴∠1+2（140°﹣2∠1）＝180°， 解得， ∴∠ODE的度数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，若M1＝1，M2＝0，则M3的值是（　　） A．2 B．1或2 C．0 D．1 【思路点拨】由题意得a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，再由b2＝ac得，代入Δ＝c2﹣16即可确定判别式的符号，从而确定答案． 【解析】解：∵函数y1，y2的图象与x轴的交点个数分别为1个和0个， ∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0， 即a2＝4， ∵b2＝ac， ∴， 而， ∵b2+8＞0，b2﹣8＜0， ∴Δ＝c2﹣16＜0， 即y3的图象与x轴的交点个数为0， ∴M3＝0； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与x轴交点，正确记忆二次函数的相关知识是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一个扇形的半径为2cm，弧长为3πcm，则此扇形的面积为 　3π　cm2． 【思路点拨】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积＝也可以． 【解析】解：设扇形圆心角度数为x，则， 解得x＝270°， 扇形的面积为（cm2）， 故答案为：3π． 【点睛】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键． 12．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 131 176 445 724 901 合格频率 0.84 0.88 0.87 0.88 0.89 0.91 0.90 根据上表，估计任抽一件衬衣是合格品的概率是 　0.9　．（保留小数点后两位） 【思路点拨】根据7批次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣合格的频率趋近于0.9，所以估计衬衣合格的概率为0.9． 【解析】解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.9， ∴任取一件衬衣是合格品的概率是0.9． 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13．已知关于x的二次函数y＝（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为 　﹣1　． 【思路点拨】将原点坐标代入解析式求出m的值，再由m﹣1≠0求解． 【解析】解：将（0，0）代入y＝（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1得0＝m2﹣1， 解得m＝1或m＝﹣1， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1，m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 14．如图，AE，DF是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则＝　　． 【思路点拨】设正八边形ABCDEFGH中心为O，连接OF、OD，设OD＝OF＝a，表示出DF和AE，再计算即可解答． 【解析】解：设正八边形ABCDEFGH中心为O，连接OF、OD，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角∠DOF＝360°×＝90°， 设OD＝OF＝a， ∴AE＝2a，DF＝a， ∴AE：DF＝2a：a＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与园，正多边形的性质及园的性质的综合应用是本题的解题关键． 15．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上，当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＞y2．若图象上C（m，y3），D（m+3，y4）满足y3＞y4，则m的取值范围是 　m　． 【思路点拨】先求出抛物线的对称轴方程，再根据已知判断出开口方向，然后根据y的大小关系列出不等式即可得到m的范围． 【解析】解：∵y＝ax2﹣2ax， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∵A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上，当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＞y2， ∴抛物线开口向上， ∵图象上C（m，y3），D（m+3，y4）满足y3＞y4， ∴m+3＜1或1﹣m＞m+3﹣1， 解得m＜﹣2或m＜﹣， ∴m的取值范围是m＜﹣， 故答案为：m＜﹣． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　4　． 【思路点拨】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC． 【解析】解：如图，连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OF＝BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在△EFD和△ECB中， ， ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴OF＝DF， ∵OD＝3， ∴OF＝1， ∴BC＝2， ∴AC＝＝＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC＝BD，求证：DC＝AB． 【思路点拨】根据弧、弦、圆心角之间的关系可得，进而得到，即可得到DC＝AB． 【解析】证明：∵AC＝BD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， 即＝， ∴DC＝AB． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是正确解题的关键． 18．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 　　； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【思路点拨】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【解析】解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为； （2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M． 方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 第1部 第2部 A B C D A BA CA DA B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD， ∴P（M）＝＝． 方法二：根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB， ∴P（M）＝＝． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为 　（﹣2，3）　； （2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段AB扫过的面积． 【思路点拨】（1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出A点坐标； （2）先利用网格特点和旋转的性质画出点A和B的对应点A1、B1，即可得到△OA1B1，再利用勾股定理计算出OA和OB，然后根据扇形面积公式计算S扇形OAA1﹣S扇形BOB1的即可． 【解析】解：（1）如图1，点A的坐标为（﹣2，3）； （2）如图2，△OA1B1为所作； OA＝＝，OB＝＝ 线段AB扫过的面积＝S扇形OAA1﹣S扇形BOB1 ＝﹣ ＝π． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形的面积公式． 20．如图，抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）求点A的坐标，并结合函数图象直接写出关于x的不等式﹣x2+mx＞x+b的解集． 【思路点拨】（1）将点C（0，﹣2）代入y＝x+b求得b＝﹣2，再求得B（2，0），再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得A（﹣1，﹣3），再根据图象求出关于x的不等式﹣x2+mx＞x+b的解集即可． 【解析】解：（1）由题意，将点C（0，﹣2）代入y＝x+b， ∴b＝﹣2， ∴y＝x﹣2， 当y＝0时，x﹣2＝0， ∴x＝2， ∴B（2，0）， 将点B（2，0）代入y＝﹣x2+mx， ∴﹣22+2m＝0， ∴m＝2， ∴抛物线为y＝﹣x2+2x． ∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴顶点坐标为（1，1）． （2）由题意可得，﹣x2+2x＝x﹣2， ∴x＝2（不符合题意，舍去）或x＝﹣1． 把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2x， ∴y＝﹣3， ∴A（﹣1，﹣3）， ∴结合图象，得不等式﹣x2+mx＞x+b的解集为：﹣1＜x＜2． 【点睛】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，数形结合是解题的关键． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝5，AD＝6，求CD的长度． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理可得∠ABC＝90°，由∠ADB＝∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB＝∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【解析】解：（1）△ABC是等腰直角三角形， 证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴AB＝BC， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB＝， ∴AC＝， Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝6，则CD＝， ∴CD＝8． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 22．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 【思路点拨】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可． 【解析】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）； （2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890， ∵﹣10＜0， ∴当x＜57时，w随x的增大而增大， ∵44≤x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元； （3）依题意剩余利润为（w﹣200）元， ∵捐款后每天剩余利润不低于2200元， ∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200， 由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64， ∵﹣10＜0，44≤x≤52， ∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52， 答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52． 【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围． 【思路点拨】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案； ②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案． 【解析】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）； （2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的对称轴为x＝t， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵t﹣1≤x1≤t+2， ∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t， ∵y1的最小值是﹣2， ∴t＝2， ∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2， ∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2， 即y1的最大值为2； ②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上， ∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t， ∵对于x1，x2，都有y1＜y2， ∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0， ∴， Ⅰ、当时， 由①知，x2＞x1， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴1﹣t＞t+2， ∴t＜﹣， 由②知，x2+x1＞2t， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴0≤x2+x1≤3， ∴2t＜0， ∴t＜0， 即t＜﹣； Ⅱ、当时， 由x2﹣x1＜0得：x2＜x1， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴1﹣t＜t﹣1， ∴t＞1， 由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴0≤x2+x1≤3， ∴2t＞3， ∴t＞， 即t＞； 即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，且∠ACP＝45°． （1）如图1，求证：AP＝BP； （2）如图2，连接BP，AP．点M为AP上一点，过P作PD⊥BM于D点，求证：BD＝MD+AM； （3）如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连PQ，AQ，BQ．求的值． 【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2，证明△PBD≌△PAE（AAS），由全等三角形的性质可得出PD＝PE，BD＝AE，证出四边形PDME为正方形，得出MD＝ME，则可得出结论； （3）作PD⊥BQ于D，如图3，由（2）得BD＝DQ+AQ，证出△PDQ为等腰直角三角形，得出PQ＝DQ，则可得出答案． 【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AB为直径， ∴∠APB＝90°， ∵， ∴∠ACP＝∠ABP＝45°， ∴∠ABP＝∠BAP＝45°， ∴AP＝BP； （2）证明：作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2， ∵∠ACB＝90°， ∴AB为直径， ∴∠AMB＝90°， ∵PD⊥BM， ∴四边形PDME为矩形， 在△PBD和△PAE中， ， ∴△PBD≌△PAE（AAS）， ∴PD＝PE，BD＝AE， ∴四边形PDME为正方形， ∴MD＝ME， ∴BD＝AE＝ME+AM＝MD+AM； （3）解：作PD⊥BQ于D，如图3， 由（2）得BD＝DQ+AQ， ∴BQ﹣AQ＝BD+DQ﹣AQ＝DQ+AQ+DQ﹣AQ＝2DQ， ∴， ∵∠PQB＝∠PAB＝45°， ∴△PDQ为等腰直角三角形， ∴PQ＝DQ， ∴． 【点睛】本题考是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$