八年级数学期中模拟试卷（1）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

八年级数学上册期中模拟试卷（1） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于（　　） A．25° B．50° C．65° D．115° 3．如图，△ABC≌△A′B′C，且点B'在AB边上，点A'恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（　　） A．CB＝CB′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ 4．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝62°，∠2＝38° B．∠1＝∠2＝40° C．∠1＝70°，∠2＝20° D．∠1＝∠2＝45° 5．根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　） A．由﹣5x≥20，得x≥﹣4 B．由ac2＞bc2，得a＞b C．由，得a＜2b D．由a+1＞b，得a＞b+1 6．用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 7．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△BDE的面积为10，则△ABC的面积为（　　） A．40 B．30 C．20 D．15 8．若a，b，c是三角形ABC的三边的长，则代数式a2+b2﹣c2﹣2ab的值（　　） A．大于零 B．小于零 C．不小于零 D．不大于零 9．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD于点E，交BC的延长线于点F，下列结论中不正确的是（　　） A．AF＝DF B．BD＝CD C．∠B＝∠CAF D．∠BAD＝∠DAC 10．若关于x的不等式组的整数解共有四个，则a的取值范围是（　　） A．3.5＜a≤4 B．3.5≤a＜4 C．3.5＜a＜4 D．3.5≤a≤4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝　 　． 12．根据“x的3倍与8的和比x的5倍大”，列出的不等式是　 　． 13．如图，已知∠ACB＝∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件：　 　． 14．若直角三角形的边长分别为3cm，4cm，则斜边上的中线长为 　 　． 15．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则a的取值范围是 　 　． 16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③DE＝DP；④AP＝BQ恒成立的结论有　 　．（把你认为正确的序号都填上） 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 18．如图，在钝角△ABC中． （1）用尺规作图法作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH（可用三角板画图），连接AD，直接写出∠ADE和∠HBC的大小关系． 19．解不等式（组）： （1）5x﹣3＜1﹣3x； （2）． 20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一动点． （1）连结BP，CP，求证：BP＝CP； （2）连结AP，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，求△APC的周长的最小值． 21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交点O． （1）求证：△AOE≌△COD； （2）若AB＝3，AC＝6，求EC的长度． 22．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． （1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 23．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，链接BE． ①求∠AEB的度数； ②判断线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册期中模拟试卷（1） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解析】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，不符合题意； C．图形是轴对称图形，符合题意； D．图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 2．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于（　　） A．25° B．50° C．65° D．115° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝65°， ∴∠B＝∠C＝65°， ∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，△ABC≌△A′B′C，且点B'在AB边上，点A'恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（　　） A．CB＝CB′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ 【思路点拨】根据全等三角形的性质得出BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，再逐个判断即可． 【解析】解：∵△ABC≌△A′B′C， ∴BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C， A．∵△ABC≌△A′B′C， ∴BC＝B′C，故本选项不符合题意； B．∵BC＝B′C， ∴∠B＝∠CB′B， ∴∠A′CB′＝∠B+∠BB′C＝2∠B， ∵∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB＝2∠B，故本选项不符合题意； C．不能推出∠B′CA＝∠B′AC，故本选项符合题意； D．∵∠B＝∠BB′C，∠B＝∠A′B′C， ∴∠A′B′C＝∠BB′C， 即B′C平分∠BB′A′，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等，对应边相等）是解此题的关键． 4．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝62°，∠2＝38° B．∠1＝∠2＝40° C．∠1＝70°，∠2＝20° D．∠1＝∠2＝45° 【思路点拨】根据余角的概念、角的大小比较判断即可． 【解析】解：当∠1＝70°，∠2＝20°时，∠1+∠2＝90°，而∠1≠∠2， 说明如果∠1+∠2＝90°，那么∠1＝∠2是假命题， 故选：C． 【点睛】本题考查的是假命题的判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5．根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　） A．由﹣5x≥20，得x≥﹣4 B．由ac2＞bc2，得a＞b C．由，得a＜2b D．由a+1＞b，得a＞b+1 【思路点拨】根据不等式的性质，逐项判断即可． 【解析】解：∵由﹣5x≥20，得x≤﹣4， ∴选项A不符合题意； ∵由ac2＞bc2，得a＞b， ∴选项B符合题意； ∵由，得a＜﹣2b， ∴选项C不符合题意； ∵由a+1＞b，得a＞b﹣1， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【思路点拨】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 【解析】解：连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中， ， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 7．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△BDE的面积为10，则△ABC的面积为（　　） A．40 B．30 C．20 D．15 【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【解析】解：∵BE为△ABD的中线．△BDE的面积为10， ∴S△ABD＝2S△BDE＝20， ∵AD为△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝40， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，关键是三角形中线的应用． 8．若a，b，c是三角形ABC的三边的长，则代数式a2+b2﹣c2﹣2ab的值（　　） A．大于零 B．小于零 C．不小于零 D．不大于零 【思路点拨】根据三角形中任意两边之和大于第三边，把代数式a2+b2﹣c2﹣2ab分解因式就可以进行判断即可． 【解析】解：a2+b2﹣c2﹣2ab＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]． ∵a，b，c是三角形的三边． ∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0． ∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用到的知识点是因式分解、三角形中三边之间的关系，关键是根据（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]判断出结果的符号． 9．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD于点E，交BC的延长线于点F，下列结论中不正确的是（　　） A．AF＝DF B．BD＝CD C．∠B＝∠CAF D．∠BAD＝∠DAC 【思路点拨】根据垂直平分线的性质可判断选项A；根据等腰三角形三线合一性质可判断选项B；根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可判断选项C；根据三角形角平分线的定义可判断选项D． 【解析】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC，故选项D的结论正确，不符合题意； ∵△ABC不一定是等腰三角形， ∴不能证明BD＝CD，故选项B的结论错误，符合题意； ∵EF垂直平分AD， ∴AF＝DF，故选项A的结论正确，不符合题意； ∴∠ADC＝∠DAF， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD， ∵∠CAF＝∠DAF﹣∠DAC， ∴∠B＝∠CAF，故选项C的结论正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10．若关于x的不等式组的整数解共有四个，则a的取值范围是（　　） A．3.5＜a≤4 B．3.5≤a＜4 C．3.5＜a＜4 D．3.5≤a≤4 【思路点拨】先求出不等式组的解集3≤x＜2a﹣1，再由不等式组的整数解共有四个，可得6＜2a﹣1≤7，即可求解． 【解析】解：， 解不等式①得：x≥3， ∴不等式组的解集为3≤x＜2a﹣1， ∵不等式组的整数解共有四个， ∴6＜2a﹣1≤7， 解得：3.5＜a≤4． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝　60°　． 【思路点拨】设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，再根据三角形的内角和是180°列方程求解． 【解析】解：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°． 则有2x+3x+4x＝180， x＝20． 则∠B＝3x°＝60°； 故答案为：60°． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理． 12．根据“x的3倍与8的和比x的5倍大”，列出的不等式是　3x+8﹣5x＞0　． 【思路点拨】先计算倍数后计算和（差）． 【解析】解：由题意，得3x+8﹣5x＞0 故答案为：3x+8﹣5x＞0． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 13．如图，已知∠ACB＝∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件：　AC＝BD　． 【思路点拨】已知∠ACB＝∠DBC，BC公共，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是AC＝BD． 【解析】解：添加的条件是：AC＝BD， 理由是：∵在△ABC和△DCB中 ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故答案为：AC＝BD． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14．若直角三角形的边长分别为3cm，4cm，则斜边上的中线长为 　2.5cm或2cm　． 【思路点拨】分两种情况：当4cm为直角三角形的斜边时，当4cm为直角三角形的直角边时，进行计算即可解答． 【解析】解：分两种情况： 当4cm为直角三角形的斜边时， 斜边上的中线长＝×4＝2（cm）， 当4cm为直角三角形的直角边时， 根据勾股定理得： 斜边＝＝5（cm）， ∴斜边上的中线长＝×5＝2.5（cm）， 综上所述：斜边上的中线长为：2.5cm或2cm， 故答案为：2.5cm或2cm． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，分两种情况讨论是解题的关键． 15．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则a的取值范围是 　a≤﹣3　． 【思路点拨】利用整体的思想可得2x+2y＝2a+6，从而可得x+y＝a+3，然后根据已知x+y≤0，可得a+3≤0，最后进行计算即可解答． 【解析】解：， ①+②得：2x+2y＝2a+6， 解得：x+y＝a+3， ∵x+y≤0， ∴a+3≤0， ∴a≤﹣3， 故答案为：a≤﹣3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③DE＝DP；④AP＝BQ恒成立的结论有　①②④　．（把你认为正确的序号都填上） 【思路点拨】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC＝PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP＝BQ，所以④正确，根据③可推出DP＝EQ，再根据△DEQ的角度关系DE≠DP，可得③错误． 【解析】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，故①小题正确； ∵△ACD≌△BCE（已证）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证）， ∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ACB＝∠BCQ＝60°， 在△ACP与△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ，故④小题正确；PC＝QC， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°， ∴∠ACB＝∠CPQ， ∴PQ∥AE，故②小题正确； ∵AD＝BE，AP＝BQ， ∴AD﹣AP＝BE﹣BQ， 即DP＝QE， ∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故③小题错误． 故答案为①②④ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，综合性质较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 【思路点拨】先根据平行线的性质得到∠C＝∠DAE，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DEA． 【解析】解：∵BC∥AD， ∴∠C＝∠DAE， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 18．如图，在钝角△ABC中． （1）用尺规作图法作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH（可用三角板画图），连接AD，直接写出∠ADE和∠HBC的大小关系． 【思路点拨】（1）利用尺规作图法作AC的垂直平分线即可； （2）在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH（可用三角板画图）即可，进而可以写出∠ADE和∠HBC的大小关系． 【解析】解：（1）如图，AC的垂直平分线DE即为所求； （2）在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求． ∠ADE和∠HBC的大小关系为：相等． 理由如下： ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AE＝EC， 又DE＝DE， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵BH⊥AC，DE⊥AC， ∴DE∥BH， ∴∠CDE＝∠HBC， ∴∠ADE＝∠HBC． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 19．解不等式（组）： （1）5x﹣3＜1﹣3x； （2）． 【思路点拨】（1）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集即可； （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【解析】解：（1）5x﹣3＜1﹣3x， 移项得5x+3x＜1+3， 合并得8x＜4， 系数化为1得x＜； （2）， 解①得x， 解②得x≤3， 所以不等式组的解集为x≤． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了解一元一次不等式． 20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一动点． （1）连结BP，CP，求证：BP＝CP； （2）连结AP，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，求△APC的周长的最小值． 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，即可求解． 【解析】（1）证明：∵P是直线m上的一动点，m是BC的垂直平分线， ∴BP＝CP； （2）解：∵直线m垂直平分BC， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交AB于T，如图： ∵BP＝CP， ∴当P和T重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是：AP+CP+AC＝AB+AC＝6+4＝10． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交点O． （1）求证：△AOE≌△COD； （2）若AB＝3，AC＝6，求EC的长度． 【思路点拨】（1）根据矩形的对边相等可得AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，再根据翻折的性质可得AB＝AE，∠B＝∠E，然后求出AE＝CD，∠D＝∠E，再利用“角角边”证明即可； （2）由勾股定理求出BC的长，由折叠的性质可得出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°， ∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处， ∴AB＝AE，∠B＝∠E， ∴AE＝CD，∠D＝∠E， 在△AOE和△COD中， ， ∴△AOE≌△COD（AAS）； （2）解：∵AB＝3，AC＝6，∠B＝90°， ∴BC＝＝＝3， ∵把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处， ∴BC＝EC＝3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明△AOE≌△COD是解题的关键． 22．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． （1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【思路点拨】（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，根据“购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买（100﹣m）个乙种品牌毽子，根据购买甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m，（100﹣m）均为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用商家获得的总利润＝每个甲种品牌毽子的利润×购进甲种品牌毽子的数量+每个乙种品牌毽子的利润×购进乙种品牌毽子的数量，可分别求出学校选择各方案商家可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【解析】解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元； （2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买＝（100﹣m）个乙种品牌毽子， 根据题意得：， 解得：≤m≤64， 又∵m，（100﹣m）均为正整数， ∴m可以为60，62，64， ∴学校共有3种购买方案， 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子； （3）学校选择方案1商家可获得的总利润为5×60+4×10＝340（元）； 学校选择方案2商家可获得的总利润为5×62+4×7＝338（元）； 学校选择方案3商家可获得的总利润为5×64+4×4＝336（元）． ∵340＞338＞336， ∴在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出学校选择各方案商家可获得的总利润． 23．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，链接BE． ①求∠AEB的度数； ②判断线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE； （2）①根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°； ②由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【解析】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°， ∴∠BEC＝∠ADC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°， ②结论：AE＝BE+2CM， 理由：∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM， ∴DE＝2CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$