8. 6　一元二次方程的应用 课件 2023-2024学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

6　一元二次方程的应用 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 ‹#› 判一判: 1.并不是所有的应用题都能通过列一元二次方程解决. ( ) 2.实际问题中的等量关系只能有一个. ( ) 3.列方程解决实际问题时,方程的解只要不是负数,就符合实际要求. ( ) √ × × ‹#› 【小题快练】 1.某中学准备建一个面积为5 000平方米的矩形操场,操场的长比宽长50米,设操场 的长为x米,根据题意,下面所列方程正确的是 ( ) A.x(x-50)=5 000 B.x(x+50)=5 000 C.2x(x-25)=5 000 D.2x(25+x)=5 000 A ‹#› 2.一个长方形的长比宽多2,若把它的长、宽分别增加2后,面积增加了24,求原来长 方形的长与宽.若设原长方形的宽为x,可列方程为 ( ) A.x(x+2)=24 B.(x+4)(x+2)=24 C.(x+4)(x+2)-x(x+2)=24 D.x(x+4)=24 3.用一根长24 cm的铁丝围成一个斜边长是10 cm的直角三角形,则两直角边长分 别为______________.  C 　6 cm,8 cm　 ‹#› 重点应用一元二次方程解决几何图形问题 【典例】(教材再开发·P74随堂练习拓展)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=12 cm, AC=8 cm,现有动点P从点B出发,沿线段BA方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CA方向运动,已知点P的速度是2 cm/s,点Q的速度是1 cm/s,它们同时出发,设运动时间是ts(t>0),经过多少秒时,△APQ的面积是△ABC面积的一半? 重点·典例研析 ‹#› 【自主解答】设经过ts时△APQ的面积是△ABC面积的一半.根据题意得: AQ=8-t,AP=12-2t. ∴S△APQ=(12-2t)(8-t), ∵S△ABC=×12×8=48(cm2), ∴(12-2t)(8-t)=×48=24, 整理得t2-14t+24=0, 解得t=12(舍去)或t=2. ∴经过2 s时△APQ的面积是△ABC面积的一半. ‹#› 【一题多变】 1.在典例中,求当t=4时,△APQ的面积是多少? 【解析】∵点P的速度是2 cm/s,点Q的速度是1 cm/s, 当t=4时,BP=2t=8 cm,CQ=t=4 cm, ∴AP=4 cm,AQ=4 cm, ∴S△APQ=×4×4=8(cm2). ‹#› 2.在典例中,如果点P在BA的延长线上,点Q在线段AC上,那么△APQ的面积能是△ABC面积的一半吗?如果能,求出t的值,如果不能,请说明理由. 【解析】如图,△APQ的面积不能是△ABC面积的一半,理由如下: 设运动时间为ts,根据题意得: S△APQ=(2t-12)(8-t)=24, 整理得t2-14t+72=0, ∵Δ<0,∴该方程无解.∴点P在BA的延长线上,点Q在线段AC上时,△APQ的面积不能是△ABC面积的一半. ‹#› 3.在典例中,如果点P在BA的延长线上,点Q在CA的延长线上呢? 【解析】设运动时间为ts,根据题意得: S△APQ=(2t-12)(t-8)=24, 整理得t2-14t+24=0, 解得t=12或t=2(舍去). ∴当t=12s时△APQ的面积是△ABC面积的一半. ‹#› 4.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向 点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时, 点Q也停止运动.当△PQC的面积等于16 cm2时,运动时间为_______s.  　2　 ‹#› 【技法点拨】 几何问题中常见的等量关系 1.当题目中有直角三角形时,常借助勾股定理建立一元二次方程. 2.当题目中涉及图形面积(体积)时,常通过图形的面积(体积)公式建立方程. ‹#› 素养·思维赋能 【追溯历史】 《九章算术细草图说》是清代李潢撰写的算书.共九卷,该书以《算经十书》中的《九章算术》为底本,由按、草、说、图四部分内容构成.是刘徽注之后对《九章算术》最为详尽和准确的阐述,为后世学习研究《九章算术》和刘徽注的必读书籍. ‹#› 【经典赏析】 如图是《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”,四边形ABCD,四边形EBGF, 四边形HNQD均为正方形,BG,NQ,BC是某个直角三角形的三边,其中BC是斜边, 若HM∶EM=8∶9,HD=2,则AB的长为( ) A. B. C.3 D.2 B ‹#› 本课结束 6　一元二次方程的应用 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 ‹#› 【小题快练】 1.某市严格落实国家节水政策,2021年用水总量为6.5亿立方米,2023年用水总量为 5.265亿立方米.设该市用水总量的年平均降低率是x,那么x满足的方程是( ) A.6.5(1-x)2=5.265 　B.6.5(1+x)2=5.265 C.5.265(1-x)2=6.5 　D.5.265(1+x)2=6.5 A ‹#› 2.“读万卷书,行万里路”,某校为了丰富学生的阅历知识,坚持开展课外阅读活动,学 生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年144万字.设该校七至 九年级人均阅读量年均增长率为x,则可列方程为 ( ) A.100(1+x)2=144 B.100(1+x%)2=144 C.100(1+2x)2=144 D.100+100(1+x)+100(1+x)2=144 A ‹#› 3.某餐厅主营盒饭业务,每份盒饭的成本为12元.若每份盒饭的售价为16元,每天可 卖出360份.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每天要少卖出40份.若该餐厅想 让每天盒饭业务的利润达到1 680元,设每份盒饭涨价x元,则符合题意的方程是( ) A.(16+x-12)(360-40x)=1 680 B.(x-12)(360-40x)=1 680 C.(x-12)[360-40(x-16)]=1 680 D.(16+x-12)[360-40(x-16)]=1 680 A ‹#› 重点1列一元二次方程解利润问题 【典例1】(教材再开发·P76例2补充)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量就增加10件.若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,求每件的定价以及此时的日销售量. 重点·典例研析 ‹#› [自主解答]设每件的定价为x元,则每件的销售利润为(x-40)元,此时的日销售量为 20+10×=(140-2x)件, 依题意得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20, 整理得x2-110x+3 000=0, 解得x1=50,x2=60(不合题意,舍去), ∴140-2x=140-2×50=40(件). 答:每件的定价为50元,则此时的日销售量为40件. ‹#› 【举一反三】 1.某食品厂生产一种饮料,平均每天销售20箱,每箱盈利32元.为了减少库存,食品 厂决定降价销售.如果每箱降价1元,则每天可多销售5箱,若要保证盈利1 215元,设 每箱降价x元,则根据题意可列方程为 ( ) A.(32-x)(20+5x)=1 215 B.(32+x)(20+5x)=1 215 C.(32-x)(20-5x)=1 215 D.(32+x)(20-5x)=1 215 A ‹#› 2.(教材再开发·P77第1题改编)某商场销售一批衬衫,平均每天销售20件,每件盈利40元,为了扩大销售,减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件降价5元,则每天可多售2件,若想每天盈利650元,每件衬衫应降价多少元?这时每天售出多少件衬衫? ‹#› 【解析】设每件衬衫降价x元,则每件衬衫的销售利润为(40-x)元,每天可售出(20+2×)件, 根据题意得:(40-x)(20+2×)=650, 整理得:x2+10x-375=0, 解得:x1=15,x2=-25(不符合题意,舍去), ∴20+2×=20+2×=26. 答:每件衬衫应降价15元,这时每天售出26件衬衫. ‹#› 【技法点拨】 列一元二次方程解决利润问题的三个关键 1.一个相等关系:单件利润×销售数量=总利润. 2.两个量:单件利润、销售数量是较难表示的两个量. 3.三检验:列方程后检验每项意义、检验方程根求解是否正确、作答前检验根是否符合实际. ‹#› 重点2列一元二次方程解增长率问题 【典例2】(2023·大连中考)为了让学生养成热爱图书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5 000元,2022年用于购买图书的费用是7 200元,求2020-2022年买书资金的平均增长率. [自主解答]设2020-2022年买书资金的平均增长率为x, 根据题意得:5 000(1+x)2=7 200, 解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去). 答:2020-2022年买书资金的平均增长率为20%. ‹#› 【举一反三】 1.(2023·东营利津县二模)某水果超市经销一种高档水果,售价每千克32元,若两次 降价后售价变为每千克18元,且每次降价的百分率相同,求每次降价的百分率. 设每次降价的百分率为x,则所列方程为_______________.  　32(1-x)2=18　 ‹#› 2.(2023·烟台期末)某商场“五一”促销活动期间,前四天的总营业额为450万元,第五天的营业额是前四天总营业额的12%. (1)求该商场“五一”这五天的总营业额; (2)该商场2月份的营业额为350万元,3,4月份营业额的月增长率相同,“五一”这五天的总营业额与4月份的营业额相等.求该商场3,4月份营业额的月增长率. ‹#› 【解析】(1)450+450×12%=450+54=504(万元). 答:该商场“五一”这五天的总营业额为504万元. (2)设该商场3,4月份营业额的月增长率为x, 依题意得:350(1+x)2=504, 解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:该商场3,4月份营业额的月增长率为20%. ‹#› 3.某地地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元. (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率. (2)按照(1)中收到捐款的增长率,第四天该单位能收到多少捐款? ‹#› 【解析】(1)设捐款增长率为x, 则10 000(1+x)2=12 100, 解这个方程,得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去). 答:捐款的增长率为10%. (2)12 100×(1+10%)=13 310(元). 答:按照(1)中收到捐款的增长率,第四天该单位能收到捐款13 310元. ‹#› 【技法点拨】 平均增长率问题中常见的等量关系及注意事项 1.常见的等量关系:a(1±x)2=b,其中a表示原数据,x表示增长(降低)率,b表示后来得到的数据. 2.两点注意: (1)解此类问题一般用两边直接开平方求解. (2)增长(降低)率不能是负数,降低率要小于1. ‹#› 素养·思维赋能 【思想体现】 高次方程的解法——转化思想 　　在解题过程中,我们经常把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决.已知条件常含有丰富的内容,发掘其隐含条件,使已知条件朝着明朗化的方向转化;对于一个未知的新问题,可以通过联想,寻找转化为已知的途径,或从结论入手进行转化. 【问题背景】解方程:(x2-6)2-(x2-6)-2=0. ‹#› 【思路分析】本方程是以x2-6为基本结构搭建的,所以我们可以把x2-6视为一个整体,设为另外一个未知数,可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答. 【过程演示】设x2-6=m,则原方程换元为m2-m-2=0.(m-2)(m+1)=0, 解得:m1=2,m2=-1,∴x2-6=2或x2-6=-1. 解得x1=2,x2=-2,x3=,x4=-. 【学以致用】 解方程:(x2-2x)2-2x2+4x-3=0. ‹#› 【解析】设x2-2x=m,则原方程换元为m2-2m-3=0, ∴(m-3)(m+1)=0, 解得m1=3,m2=-1, ∴x2-2x=3 或 x2-2x=-1, 解得x1=3,x2=-1,x3=x4=1. ‹#› 本课结束 $$