8. 3　用公式法解一元二次方程 课件 2023-2024学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

3　用公式法解一元二次方程 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 判一判: 1.方程x2+3x=1中,b2-4ac=13. ( ) 2.方程x2+2x=3的根为x1=-3,x2=1. ( ) √ √ ‹#› 【小题快练】 1.用求根公式计算方程x2-3x+2=0的根,公式中b的值为 ( ) A.3 B.-3 C.2 D.- 2.用公式法解方程3x2+5x+1=0,正确的是 ( ) A.x= B.x= C.x= D.x= 3.方程x2-4=2(x+2)的解为______________.   B A 　x1=4,x2=-2　 ‹#› 4.用公式法解方程:3x2-x-1=0. 【解析】由题意可知:a=3,b=-1,c=-1, ∴b2-4ac=(-1)2-4×3×(-1)=1+12=13>0, ∴x==, ∴x1=,x2=. ‹#› 重点用公式法求解一元二次方程 【典例】解方程:2x2+7x-4=0. [自主解答]∵a=2,b=7,c=-4, ∴b2-4ac=49-4×2×(-4)=81>0, ∴x==, ∴x1=,x2=-4. 重点·典例研析 ‹#› 【举一反三】 1.用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定a,b,c的值.对于方程-4x2+3=5x, 下列叙述正确的是 ( ) A.a=-4,b=5,c=3 B.a=-4,b=-5,c=3 C.a=4,b=5,c=3 D.a=4,b=-5,c=-3 B ‹#› 2.(教材再开发·P63随堂练习第1题改编) 解方程:2x2-3x+1=x+3. 【解析】原方程可化为2x2-4x-2=0, 即x2-2x-1=0, ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8, ∴x===1±, ∴x1=1+,x2=1-. ‹#› 3.用公式法解方程: (1)2x2-3x-1=0. (2)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8. 【解析】(1)∵a=2,b=-3,c=-1, ∴b2-4ac=9+8=17>0, ∴x==, ∴x1=,x2=. ‹#› (2)原方程可化为x2+2x-3=0, ∴a=1,b=2,c=-3, ∴b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0, ∴x==, ∴x1=1,x2=-3. ‹#› 【技法点拨】 公式法解一元二次方程的四个步骤 1.化:若方程不是一般形式,先把一元二次方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0). 2.定:确定a,b,c的值. 3.算:计算b2-4ac的值. 4.求:若b2-4ac≥0,则利用求根公式求出方程的根;若b2-4ac<0,则原方程没有实数根. ‹#› 素养·思维赋能 【涨知识了】 一元三次方程的解法——转化思想 阅读材料:各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3-2x2-3x=0的解法如下: 步骤 结果 因式分解 x(x2-2x-3)=0 转化为新的方程 ∴x=0或x2-2x-3=0 解方程 ∴x=0或x=3或x=-1 结论 ∴x1=0,x2=3,x3=-1 ‹#› 【学以致用】 求方程x3=6x2+16x的解. 【解析】方程x3=6x2+16x,可化为x3-6x2-16x=0, ∴x(x2-6x-16)=0, ∴x=0,或x2-6x-16=0, ∴x1=0,x2=-2,x3=8. ‹#› 本课结束 3　用公式法解一元二次方程 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 判一判: 1.方程x2-4x+4=0只有一个实数根. ( ) 2.一元二次方程有实数根的条件是b2-4ac>0. ( ) × × ‹#› 【小题快练】 1.已知关于x的一元二次方程x2+4x+5=0,下列说法正确的是 ( ) A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 C ‹#› 2.下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是 ( ) A.x2+x=0 B.x2+1=0 C.(x-1)2=4 D.x2-6x+9=0 3.一元二次方程2x2+3x-1=0的根的判别式的值为________.  4.如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是_____.  5.关于x的一元二次方程x2-3x-2m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是 _______.  D 　17　  　 　-1　 ‹#› 重点根的判别式及应用 【典例】(教材再开发·P67习题8.8T2拓展)已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0. 求证:不论m为何值,方程总有实数根. [自主解答]当m=0时,原方程为一次方程,此时x=1; 当m≠0时,Δ=(m+2)2-4×2m=(m-2)2≥0, ∴当m≠0时,方程有实数根. 综上所述:不论m为何值,方程总有实数根. 重点·典例研析 ‹#› 【一题多变】 1.对于方程mx2-(m+2)x+2=0,当m为何值时,其为一元一次方程?当m为何值时,其为一元二次方程? 【解析】当m=0时,原方程为一元一次方程,当m≠0时,原方程为一元二次方程. ‹#› 2.若等腰三角形ABC的一边长a=2,另两边b,c的长度恰好是典例中方程的两个根,求△ABC的周长. 【解析】∵△ABC为等腰三角形, ∴b=c或b,c中有一个为2. ①当b=c时,Δ=(m+2)2-4×2m=(m-2)2=0, 解得:m=2, ∴原方程为2x2-4x+2=0, 解得:b=c=1, ∵b+c=1+1=2, ∴1,1,2不能构成三角形. ‹#› ②当b或c中的一个为2时,将x=2代入原方程,得4m-2(m+2)+2=0, 解得m=1, ∴原方程为x2-3x+2=0, 解得:x1=1,x2=2. ∵1,2,2能组成三角形, ∴该三角形的周长为1+2+2=5. 综上所述,该三角形的周长是5. ‹#› 【技法点拨】 根的判别式的三个作用 (1)判断方程根的情况:不解方程,根据b2-4ac的符号直接判断方程根的情况; (2)求系数中字母的取值:已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围; (3)证明关于根的结论:根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况. ‹#› 素养·思维赋能 【模型溯源】 ‹#› 【触类旁通】 已知关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0,有两个不相等的实数根m,n. (1)求t的取值范围; (2)当t=3时,解这个方程. 【解析】(1)根据题意得Δ=(-2t)2-4(t2-2t+4)>0, 解得t>2,即t的取值范围为t>2; (2)当t=3时,方程化为x2-6x+7=0, x2-6x+9=2,(x-3)2=2,x-3=±, ∴x1=3+,x2=3-. ‹#› 本课结束 $$