8.2 用配方法解一元二次方程 课件 2023—2024学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

2　用配方法解一元二次方程 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 配方法: 判一判: 1.方程(x+m)2=n(n≥0)的解是x=-m±. ( ) 2.方程(x-2)2-9=0的解是x=5. ( ) √ × ‹#› 【小题快练】 1.方程x2=16的根为 ( ) A.x=4 B.x=-4 C.x=0 D.x=±4 2.用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后得到的方程为 ( ) A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 3.若将方程x2-6x=7化为(x+m)2=16,则m=_______.  D D 　-3　 ‹#› 4.解方程:x2-12x=4. 【解析】∵x2-12x=4, ∴x2-12x+36=4+36,即(x-6)2=40, ∴x-6=±2, ∴x1=6+2,x2=6-2. ‹#› 重点用配方法求解二次项系数是1的一元二次方程 【典例】(教材再开发·P56例1补充)解方程:x2 -2x-8=0. 【自主解答】∵x2-2x-8=0, ∴x2-2x=8, ∴x2-2x+12=8+12, ∴(x-1)2=9, ∴x-1=±3, ∴x-1=3或x-1=-3, ∴x1=4,x2=-2. 重点·典例研析 ‹#› 【举一反三】 1.(2023·泰安新泰市期末)一元二次方程x2-8x-5=0配方后可变形为 ( ) A.(x+4)2=11 B.(x-4)2=11 C.(x+4)2=21 D.(x-4)2=21 2.(教材再开发·P58随堂练习第1题改编)用配方法将方程x2-4x+3=0化成(x-a)2=b的 形式,则a-b的值是 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.若方程(x-m)2-12=0的两根均为正数,其中m为整数,则m的最小值是_______.  D A 　4　 ‹#› 4.用配方法解方程:x2+2x=4. 【解析】∵x2+2x=4, ∴x2+2x+5=4+5, 即(x+)2=9, ∴x+=±3, ∴x1=-+3,x2=--3. ‹#› 5.一元二次方程x2-2x-=0的某个根,也是一元二次方程x2-(k+2)x+=0的根,求k的值. 【解析】把x2-2x-=0配方,得(x-1)2=,即x-1=±,∴x1=,x2=-. 把x1=代入x2-(k+2)x+=0, 得-(k+2)+=0,∴k=; 把x2=-代入x2-(k+2)x+=0, 得+(k+2)+=0,∴k=-7. ∴k=或k=-7. ‹#› 6.解下列一元二次方程: (1)(x+)(x-)=2; (2)4(2x+1)2-1=24. 【解析】(1)x2-3=2,x2=5,x=±, ∴x1=,x2=-. (2)4(2x+1)2=25,(2x+1)2=, 2x+1=±,∴x1=,x2=-. ‹#› 7.对于实数p,q,我们用符号min表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1, min{-,-}=-;若min{(x-1)2,x2}=1,求x的值. 【解析】若x2>(x-1)2, 则min{(x-1)2,x2}=(x-1)2=1, ∴x1=2,x2=0(不合题意,舍去). 若(x-1)2>x2, 则min{(x-1)2,x2}=x2=1, ∴x3=1(不合题意,舍去),x4=-1. ∴x的值为-1或2. ‹#› 【技法点拨】 用配方法解方程的三个步骤 1.化:把原方程化为x2+bx=-c的形式. 2.配:在方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方,配成(x+m)2=n的形式. 3.求:若n≥0,两边开平方,求出方程的根为x=-m±;若n<0,则此方程没有实数根. ‹#› 素养·思维赋能 【涨知识了】 赵爽与一元二次方程的几何解法 　　我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了关于一元二次方程的几何解法.以方程x2+5x-14=0即x(x+5)=14为例加以说明. 原理 图示 构造图中四个小矩形的面积各为14,大正方形的面积是(x+x+5)2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×14+52,可得x=2. ‹#› 【学以致用】 对于一元二次方程x2+ax+b=0可以构造如图来解,已知图形由4个面积为3的相同 矩形构成,中间围成的小正方形面积为4.那么此方程的系数a,b分别是 ( ) A.2,-3 B.±2,-3 C.3,-2 D.±3,-2 B ‹#› 本课结束 2　用配方法解一元二次方程 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 用配方法解一元二次方程 步骤 目的 注意事项 一化 把________________化为1  不要漏除 二移 使方程左边为____________________, 右边为____________ 移项要变号 三配 使原方程变为_____________的形式  方程两边同时加上__________________ __________  四开 左右两边开平方得x+m=__________ 方程右边为____________才可以开方, 为负数时方程没有实数根  五解 方程的解为x=____________ 方程的解分别用x1,x2的形式表示 　二次项系数　 　二次项和一次项 　常数项　  　(x+m)2=n　 　一次项系数一半 的平方　 　±　  　非负数　 　-m±　  ‹#› 【小题快练】 1.用配方法解一元二次方程2x2-4x=1,配方后的结果是 ( ) A.(x-1)2= B.(2x-1)2=0 C.2(x-1)2=1 D.(x+2)2= 2.用配方法将方程3x2+6x-2=0变形,结果正确的是 ( ) A.3(x+1)2=3 B.(x+1)2= C.3(x+1)2= D.(x+1)2=2 A B ‹#› 3.把方程2x2-x-6=0配方,化为(x+m)2=n的形式为_____________.  4.用配方法解方程:3x2-1=2x. 【解析】移项,得3x2-2x=1, 方程两边都除以3,得x2-x=, 配方,得x2-x+=+. 即=,∴x-=±,∴x1=-,x2=1.  =　 ‹#› 重点用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程 【典例】(教材再开发·P59例3补充)解方程:2x2-5x+3=0. [自主解答]∵2x2-5x+3=0, ∴2x2-5x=-3,∴x2-x=-, ∴x2-x+=-+, ∴(x-)2=,∴x-=±, ∴x1=,x2=1. 重点·典例研析 ‹#› 【举一反三】 1.用配方法解一元二次方程:2y2+2y-1=0,配方后得 ( ) A.(y-1)2= B.(y+1)2= C. (y+)2= D. (y-)2= 2.用配方法解方程x2+x-=0时,可配方为[(x+1)2+k]=0,其中k=_______.  3.若代数式3x2-2x+3的值等于代数式x2+4x-1的值,则x的值为__________.  4.若3y2与-x4m-2y2是同类项,则m=_________.  C 　-6　 　1或2　 　1或　 ‹#› 5.(2023·许昌期末)下面是小明同学解一元二次方程2x2-2=3x的过程,请认真阅读并完成相应的任务. 2x2-2=3x. 解:二次项系数化为1,得x2-1=x,第一步 移项,得x2-x=1,第二步 配方,得x2-x+=1,第三步 变形,得=1,第四步 开方,得x-=±1,第五步 ‹#› 解得x1=,x2=.第六步 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程,体现的数学思想是　　　　,其中“配方法”依据的一个数学公式是　　　　;  (2)上述解题过程,从第　　　　步开始出现错误,请写出正确的解答过程.  ‹#› 【解析】(1)解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程,体现的数学思想是转化思想,其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式; (2)解题过程,从第三步开始出现错误,正确的解答过程如下: 2x2-2=3x,x2-1=x, x2-x=1,x2-x+=1+, =,x-=±, 解得x1=2,x2=-. ‹#› 6.根据要求,解答下列问题: (1)①方程x2-x-2=0的解为　　　　;  ②方程x2-2x-3=0的解为　　　　;  ③方程x2-3x-4=0的解为　　　　;  … (2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想: ①方程x2-9x-10=0的解为　　　　;  ②请用配方法解方程x2-9x-10=0,以验证猜想结论的正确性. (3)应用:关于x的方程　　　　的解为x1=-1,x2=n+1.  ‹#› 【解析】(1)①方程x2-x-2=0的解为 x1=-1,x2=2; ②方程x2-2x-3=0的解为 x1=-1,x2=3; ③方程x2-3x-4=0的解为 x1=-1,x2=4; … 答案:①-1或2　②-1或3　③-1或4 (2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想: ①方程x2-9x-10=0的解为 x1=-1,x2=10; 答案:-1或10 ‹#› ②x2-9x-10=0,移项,得x2-9x=10. 配方,得x2-9x+=10+, 即=, 开方,得x-=±,x1=-1,x2=10; (3)应用:关于x的方程x2-nx-(n+1)=0的解为x1=-1,x2=n+1. 答案:x2-nx-(n+1)=0 ‹#› 【技法点拨】 用配方法解方程的三点注意 1.不漏除:二次项系数化为1时,方程中各项都要除以二次项系数. 2.式恒等:配方时方程两边都要加上一次项系数一半的平方. 3.不错号:两边开平方时右边的常数开方要加“±”号. ‹#› 素养·思维赋能 【探新法、拓视野】 除了教材的方法,也可以用下面的配方方法解一元二次方程: 步骤 结果 移项 ax2+bx=-c 两边同时乘以4a 4a2x2+4abx=-4ac 两边同时加上b2 4a2x2+4abx+b2=b2-4ac 配方结果 (2ax+b)2=b2-4ac ‹#› 【挑战自我】 请用上面的配方方法解方程:3x2+5x+1=0. 【解析】 3x2+5x+1=0, 两边同时乘以12,移项得:36x2+60x=-12, 两边同时加25,得36x2+60x+25=-12+25,即(6x+5)2=13,∴6x+5=±, ∴x1=,x2=. ‹#› 本课结束 $$