8.5　一元二次方程的根与系数的关系 课件 2023-2024学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

*5　一元二次方程的 根与系数的关系 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 ‹#› 判一判: 1.一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方程. ( ) 2.一元二次方程的两根之和一定是正数. ( ) 3.一元二次方程x2+2x+3=0的两根之和等于-2. ( ) 4.一元二次方程-3x2+x+9=0的两根之积等于3. ( ) × × × × ‹#› 【小题快练】 1.已知x1与x2分别为方程x2+2x-3=0的两根,则x1+x2的值等于 ( ) A.-2 B.2 C.- D. 2.关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根是3,则另一个根是 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.若x1,x2为一元二次方程x2-6x-3=0的两个根,则x1·x2=_______.  4.关于x的一元二次方程x2+x-a=0的一个根是2,则a=_______.  5.若一元二次方程x2-4x-2=0的两个实数根为m,n,则的值为_______.  A C 　-3　 　6　 　-2　 ‹#› 重点1由根与系数的关系求代数式的值 【典例1】(教材再开发·P71例题拓展)已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根,不解方程求下列各式的值. (1)+; (2)+. [自主解答]∵x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根, ∴x1+x2=3,x1x2=-1. ∴(1)+=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-1)=11. (2)+===-3. 重点·典例研析 ‹#› 【举一反三】 1.(2023·菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1,x2,则+的值为( ) A. B.-3 C.3 D.- 2.(2023·内江中考)已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3=_______.  C 　-2　 ‹#› 【技法点拨】 根与系数关系常见的五种变形 1.+ = (x1+x2)2-2x1x2. 2.+=. 3.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2. 4.|x1-x2|==. 5.(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2. ‹#› 重点2 利用根与系数的关系求未知系数 【典例2】已知x1,x2是方程x2-4x+k+1=0的两个实数根,且+=x1x2-1,求实数k的值. 【自主解答】由题意可知:x1+x2=4,x1x2=k+1, ∵+=x1x2-1,∴=x1x2-1,∴=k+1-1,解得k=-5或k=4, 经检验,k=-5或k=4都是原方程的根, ∵方程有两个实数根,∴Δ≥0, 即16-4(k+1)=16-4k-4=12-4k≥0, ∴k≤3.∴k=4应舍去,∴k=-5. ‹#› 【一题多变】 1.如果【典例2】其他条件不变,交换方程x2-4x+k+1=0的“b”和“c”,即原方程变为x2+(k+1)x-4=0,那么实数k的值是多少? 【解析】∵Δ=(k+1)2-4×(-4)=(k+1)2+16>0,∴原方程一定有两个不相等的实数根, ∴x1+x2=-(k+1),x1x2=-4, ∵+=x1x2-1,∴=x1x2-1, ∴=-4-1,解得k=-5. ‹#› 2.(2023·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0. (1)求证:无论m为何值,方程总有实数根; (2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值. ‹#› 【解析】(1)∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m) =4m2-4m+1+12m2-4m =16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0, ∴无论m为何值,方程总有实数根; (2)由题意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m, ∵+==-2=-, ∴-2=-,整理得5m2-7m+2=0, 解得m=1或m=. ‹#› 【技法点拨】 求一元二次方程的另一根及未知字母的方法 1.已知一次项系数:先利用两根的和求另一个根,再利用两根的积求常数项. 2.已知常数项:先利用两根的积求另一个根,再利用两根的和求一次项系数. ‹#› 素养·思维赋能 【涨知识了】 根与系数关系的逆运用 【知识重现】请查找资料,了解一下法国数学家弗朗索瓦·韦达以及韦达定理(也称根与系数的关系). 你知道吗?韦达定理还有逆定理,下面就让我们一起学习一下吧! ‹#› 【用法指导】我们利用一元二次方程根与系数的关系建立新方程 背景:设x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,由根与系数的关系得:x1+x2=-p,x1·x2=q, 反过来,p=-(x1+x2),q=x1·x2. 所以原方程可化为:x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,这样我们就建立了以两个已知数x1,x2为根 的新方程.例如:以2,3为根的方程是x2-(2+3)x+2×3=0,x2-5x+6=0. 【学以致用】 请你根据以上信息解答下题: 请写出: (1)以,为根的方程:______________.  (2)以-5,8为根的方程:_______________.  　x2-x+=0　 　x2-3x-40=0　 ‹#› 本课结束 $$