安徽省合肥市2024—2025学年九年级上学期期中数学复习（相似形章节重难点近三年组题汇编）

安徽省合肥市2024-2025学年度九年级上学期期中数学复习（相似形章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（      ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，垂足为D，F为线段上一点，若，则为（    ）    A． B． C．1 D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（      ）    A． B．1 C．2 D．3 5．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（ ） A．：： B．：： C．：： D．：： 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记矩形的面积为，正方形的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把扩大到原来的3倍，则点E的对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C．或 D． 8．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，为的角平分线，过作于点，交于点．则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（      ）    A．B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图在中，中线BE、CD相交于点O．连接DE，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）若线段，点C是的黄金分割点且线段，则线段 ； 12．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）线段的长度为，点是上一点、且使，则线段的长为 ． 13．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当时，的长为 ．    14．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则 ．    15．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线，直线a、b与分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则的长为    16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，线段，点C是线段的黄金分割点，且，设以为边的正方形的面积为，以为一边，长为另一边的矩形的面积为 （填：“”、“”或“”）．    17．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，中，，D是边上一点，O是的中点，过点C作的平行线交的延长线于E，与交于点F． （1）若，则：= ； （2）连接，若，且，则：= ． 18．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，点D、E分别是BC、AC的中点，于点F． （1） ； （2）连接DF，则 三、解答题 19．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1； (2)在图2中画一个格点，使，且相似比为． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，P点在上，，，垂足分别为B、D． (1)若，，，，求证：； (2)若，，，当与相似时，求的长． 21．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，P为形内一点，且． (1)求证：； (2)求：的值； (3)若点D为的中点，连接．求证：． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．设． (1)当四边形为正方形时，求x的值； (2)求矩形的最大面积． 23．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)请用含t的代数式表示：______，______； (2)求当t为何值时，与相似？ 24．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 25．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图．已知与都是等边三角形．点在上（不与、重合），与相交于点．    (1)求证：； (2)若，设，； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当最大时．判断的形状? 26．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）四边形中，两条对角线相交于点O，如图1，且． (1)若，，则的值为______； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若平分，如图2，求证：． 27．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，、为边上的两个动点，． (1)若（即、重合），则 °时，； (2)若，，则与相似吗？为什么？ (3)当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由． 28．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，请直接写出的长． 29．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图（1），正方形的顶点，分别在矩形的边，上，与交于点，连接． (1)求的度数； (2)若点是的中点，求证：点是的中点； (3)如图（2），若正方形的顶点在矩形的边上，顶点在矩形的边的延长线上，点为，的延长线的交点，且，求的值． 30．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图1，已知等腰直角三角形，，，点F是中点，点D与点F关于对称，连接、． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2把四边形绕点A旋转，使得点D在的延长线上，点E为点B的对应点，连接与． ①求证：； ②若与交于点G，与交于点H，求的长 参考答案 1．D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故C不符合题意； 由，，不能判定， 故D符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等，和两组对应边对应成比例，夹角相等，进行判断即可． 【详解】解：在和中，， 要使，只需，，或或即可； 当时， ∵， ∴，能使； 综上：只有选项A不能证明； 故选A． 3．A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．过点D作交于点H，先证为的中位线，得，再证和相似，得，则，据此可得出答案． 【详解】解：过点D作交于点H，如图： ∴，    在中，， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可． 【详解】解：如图， ∵, ∴, 即． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、黄金分割点等知识点，利用黄金分割点的定义得到是解答本题的关键．先根据H是的黄金分割点求出，得出． 【详解】解：∵点H即是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把扩大到原来的3倍，， ∴点E的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 8．D 【分析】过点作，交的延长线于，由勾股定理可求的长，由面积法可求，证明，，可得，可求的长，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的角平分线，设到的距离为，则， ∴ ∴ 即 解得 如图，过点作，交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∴ ∴ 即 解得, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查“黄金分割”，根据“黄金分割”的定义“把一条线段分割为两部分，使较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，比值为”即可求解，掌握“黄金分割”的定义是解题的关键． 【详解】解：， ，故A选项错误； C为的黄金分割点（）， ，故D选项正确； ，故B，C选项错误； 故选D． 10．C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵， ∴， ∴，②错误； ∵,，， ∴,③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴，④正确 综上，②错误，①③④正确； 故选：C 11． 【分析】根据黄金分割点的定义和黄金比值计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值是解题的关键． 12．/ 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，由题意得点是线段的黄金分割点，再列式计算即可，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值． 【详解】∵点为线段上的一点，， ∴点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故答案为：． 13．5.4 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 故答案为：5.4． 14． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；作交于，由中点的定义得出，由平行线得出，，得出对应边成比例，，所以，即可得出结论． 【详解】证明：过点作交于，如图，    为的中点， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 15．4 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，能够熟练运用其性质是解题的关键；根据平行线分线段成比例定理解答即可； 【详解】解：∵直线， 故答案为：4． 16． 【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17． // // 【分析】（1）首先可证得，可得，再可证得，即可得答案； （2）首先可证得垂直平分，，再由可得，由，可得，再由可得，即可得答案． 【详解】解：（1）是的中点， ， ， ， 在和中， ，      ， ， ， 即：=1：2； （2）是的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：=4：5． 18． 【分析】（1）利用等面积法求得，再利用勾股定理求得，即可； （2）连接交于点、连接，由此可得，再根据，得到，求得，，，，通过证明得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得： 在中， 由题意可得：，解得 在中， （2）连接交于点、连接，如下图： 由题意可得：，， ∴ ∴， ∴，，， ∴， 由题意可得： 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 又∵ ∴ ∴，即， 解得 故答案为：， 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可 （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示，,，, ∴，， ∴ 20．(1)证明见解析 (2)或2或12 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，通过证明，可得，由余角的性质可证； （2）分两种情况讨论，由比例式可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解：若， 又， ， ， ， 若， 又， ， ， 或12， 综上所述：或2或12． 21．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再由，即可求解； （3）延长到点E，使，连接，过点P作，垂足为F，则，先证明，可得，可得到是等腰直角三角形，再由，可得，从而得到，进而得到，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴, ∴. （3）证明：延长到点E，使，连接，过点P作，垂足为F，则， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即． 22．(1) (2)5 【分析】（1）由，可得，则，由，证明，则，即，计算求解即可； （2）设，则，，同理（1），则，即，解得，，由，二次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即，解得，， ∴x的值为； （2）解：设，则，， 同理（1）， ∴，即，解得，， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积为5． 23．(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴； 分两种情况讨论： ①当时， ， ∵， ∴， 解得，， ②当时， ， ∴， 解得，； ∴或时，． 24．(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 25．(1)见解析 (2)①；②为直角三角形 【分析】（1）根据条件可得，进而证明，即可求解； （2）①由（1）可得，根据线段比例关系，即可求解；②根据①所求的解析式可求即当最大时，，根据角的转化，可求，即可证明． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ， ， ∴； （2）解：①∵， ， ∵， 设，， ， ； ② 为直角三角形； 由①可得：， ∴当时，y存在最大值，即当最大时，， ， ∵是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形 26．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分别过点作，垂直分别为，根据三角形的面积比可得，然后证明即可得出结论； （2）根据，可得四点共圆，从而得到，则结论可得； （3）先求出则可得，证明可得，证明可得，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：分别过点作，垂直分别为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴四点共圆， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵平分， ∴， 如图： ∵四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 27．(1) (2)结论：．证明见解析 (3)结论：．理由见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明； （2）根据有三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是可得，推得，，根据三角形的内角和是可求得，推得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明； （3）根据等边对等角可得，推得，根据相似三角形的对应角相等可得，推得，根据三角形的内角和是可求得，即可求解． 【详解】（1）当时，． 理由：如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论：． 理由：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）结论：． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即． 28．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）作，交于点F，根据已知条件得出，，根据，得出，根据，得出，证明，即可得出结论； （2）作，交于点F，根据，得出，求出，证明，得出，求出； （3）设，则，由勾股定理得：，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：作，交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 作，交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知，． 29．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据证明可得，再证明即可解答； （2）证明，利用相似三角形的判定和性质以及相似比的之间关系式解答即可； （3）根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点． （3）∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 30．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质，得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据轴对称的性质得出，，即可得出，即可得出四边形为菱形，最后根据，得出四边形为正方形； （2）①过点B作于点，先根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质，得出，，求出，，根据勾股定理求出，，即可得出答案； ②连接，证明四边形为平行四边形，得出，，根据证明，得出，根据，求出，证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：∵等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵点F是中点， ∴，， ∵点D与点F关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：①过点B作于点，如图所示： 则， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ， ∴，， ∴， ， ∴， ②连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$