江苏省苏州市2024—2025学年九年级上学期期中数学复习（一元二次方程章节重难点近三年组题汇编）

江苏省苏州市2024-2025学年度九年级上学期期中数学复习（一元二次方程章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．必有两个正根 C．必有两个负根 D．必有一个实数根为 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若方程的一个根是a，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一根是3，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（　　） A．m>3 B．m≥3 C．m>-4 D．m≥-4 7．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从六月份的500万元，连续两个月降至380万元，设平均下降率为x，则可列方程（    ） A．B． C． D． 8．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是，若设每次倒出液体为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）若是方程的一个根，则的值为 ． 12．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 14．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知三月份的营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为 ． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）实数，，满足，则 0．（填“”、“”、“”、“”、“”） 16．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）设，是方程的两个根，则 ． 17．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知是方程式的根，则式子的值为 ． 18．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 19．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 20．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）解方程，令，则原方程变为 ． 21．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 ． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足 三、解答题 23．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：，根据这个规则求中x的值． 24．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根是，求的值． (2)求取值范围，使得方程有两个实数根； 25．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为，求k的值及方程另一个根． 26．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程：． (1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值． 27．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程： (1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围； (2)若、是方程的两根，且．求的值． 28．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的元/平方米下降到12月份的元/平方米． (1)求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的白分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破元/平方米？请说明理由． 29．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度小于10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为，矩形面积为． (1)矩形面积______（用含的代数式表示）； (2)当矩形动物场面积为时，求边的长； (3)能否围成面积为矩形动物场?说明理由． 30．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知：方程组有两组不同的实数解，． (1)求实数k的取值范围． (2)是否存在实数k，使?若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由． 31．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为万人，第三周的游客人数为万人． (1)若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率． (2)村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？ 32．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)试用含有的代数式表示五边形的面积__________； (2)当时，请写出小正方形种植花卉所需的费用__________； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 33．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例如：方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数） 是“邻根方程”，求m的值． 34．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约780—约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个正根．他的构思为：将边长为的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． (1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的________． A．直接开平方法    B．公式法    C．配方法    D．因式分解法 (2)他所用的最主要数学思想方法是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．整体思想 (3)运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形．（画出拼接的正方形并求出正根） 35．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒． (1) ；（用t的代数式表示） (2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）； (3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由； (4)当t为何值时，为直角三角形 参考答案 1．C 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】解：A、时，不是一元二次方程，故此选项错误； B、化简后没有二次项，不是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、不是方程，故此选项错误； 故选：C． 2．D 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：由一元二次方程， ， ， ∴ ∴． 故选D 3．D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程的解，熟练掌握解方程是解题的关键．将代入，得到，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 得到， ， ． 故选D． 4．C 【分析】把代入方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根是3， ∴， 解得：， 故选C． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解：， 其中，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 6．D 【分析】根据解一元二次方程的直接开平方法满足的条件，进行计算即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， ． 故选D． 7．C 【分析】设平均下降率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设平均下降率为x，则可列方程，， 故选：C． 8．B 【分析】设每次倒出液体x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液，加满水后药液的浓度为，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数量×此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每次倒出液体x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液， 加满水后药液的浓度为， 依题意得： 即． 故选B． 9．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：． 10．B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B 11．-2 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】根据方程根的含义可得，可得，再根据根与系数的关系可得，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．3 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，设一元二次方程为，根据题意得出方程有实数根，从而即可得到答案；一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：设一元二次方程为， 当时，原方程化为， 一元二次方程为有实数根， ， 故答案为：． 16． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 17．2025 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解． 【详解】解：是方程的根， ， ． 故答案为：． 18．10 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为6，然后计算此三角形的周长． 【详解】解：， ， 所以，， 而， 所以三角形第三边长为4， 所以此三角形的周长为． 故答案为10． 19． 【分析】将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题．本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则， 故答案为：． 20． 【分析】根据题意，将代入原方程即可求解． 【详解】解：由原方程，得 ， 将代入得，， 故答案为：． 21．2022 【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定的最大值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，的值最大， ， ， 实数的最大值为2022， 故答案为：2022． 22．2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设关于的一元二次方程的两个根分别为，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：由题意，设关于的一元二次方程的两个根分别为， 则，且， 由①得：， 将代入②得：， 则， 故答案为：2 23． 【分析】根据题意可得方程：，再利用直接开平方法解方程即可； 【详解】由题意得：， ， 或 解得：； 24．(1) (2) 【分析】（1）把根代入方程，可直接求出； （2）确定、、后代入根的判别式，得不等式，解不等式得结论． 【详解】（1）解：把代入一元二次方程， 得， 解得； （2）解： ∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 即当时，方程有两个实数根． 25．(1)证明见解析； (2)k的值为2，方程的另一个根为0． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）将代入原方程可求出k值，再根据两根之和等于可求出方程另一个根． 【详解】（1）证明：， ， ，即， 论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）解：将代入原方程可得：， 解得：， 关于x的方程为：， ， 方程另一个根为， 答：k的值为2，方程的另一个根为0． 26．(1)见解析 (2)或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，可得到关于a的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得：， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：或3， 即a的值为或3． 27．(1) (2)， 【分析】（1）由根的判别式可得答案； （2）将，代入，计算可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ， ； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ， ， ， ，． 28．(1) (2)会跌破元/平方米，理由见解析 【分析】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为，12月份的房价为，然后根据12月份的元/平方米即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和元进行比较即可作出判断． 此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 【详解】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x， 则11月份的成交价是：， 12月份的成交价是：， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去） 答：11、12两月平均每月降价的百分率是； （2）会跌破元/平方米，理由如下： 如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为： ， 由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破元/平方米． 29．(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积=长×宽求解即可； （2）根据矩形动物场面积为，列一元二次方程，求解即可； （3）根据矩形动物场面积为列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）∵动物场边的长为，木栏总长20米，则， ∴米， ∴矩形面积为， 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得， ∵墙长度小于， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 所以，边的长为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴不能围成面积为矩形动物场． 30．(1)且 (2)由等式得，不符合（1）所求范围，所以不存在 【分析】本题考查了高次方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的存在关系是解题的关键， （1）将方程整理为，根据题意可得，，求出的范围即可； （2）由根与系数的关系可得，通过计算可得，即可进行判断． 【详解】（1）解：， 将代入，得， 方程组有两组不同的实数解， ，， 解得且． （2）解：不存在，理由如下： ， ， ， 不成立． 31．(1)50% (2)7元 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，利润问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为，以及利润=单件利润×数量． （1）设每周游客人数的增长率为x，根据题意列出方程求解即可； （2）设售价提高了y元，根据利润=单件利润×数量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每周游客人数的增长率为x 由题意得： 解得：，（舍去）， ∴每周游客人数的增长率为50%． （2）解：设售价提高了y元， 由题意得： ∴， 解得：， ∵， ∴每个猕猴桃售价定为7元． 32．(1) (2)元 (3)当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元 【分析】（1）根据题意，结合图形，得到，分别求出正方形面积、面积、面积，代入化简即可得到答案； （2）在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元，结合（1）中所求面积表达式，代入得到，，，从而所需费用为元； （3）根据图形，大正方形是四个小正方形中的情况之和，结合大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元，由（1）中所求列出方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设米，则米， ∴， ， ∴ ， 故答案为：； （2）解：若，则， ∴，， ∴， ∴所需费用为：（元）， 故答案为：元； （3）解：根据题意得 ， 整理得，解得， 答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 33．(1)是 (2)或 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况． 【详解】（1）解：解方程 得：或， ， 方程是“邻根方程”； （2）由方程 解得：或， 由于关于的方程是常数）是“邻根方程”， 则或， 解得或． 34．(1)C (2)B (3)，图见解析 【分析】本题考查配方法的应用： （1）由阅读材料所用方法可知答案； （2）材料中利用几何图形求方程的解，可知利用了数形结合思想； （3）仿照材料中的作法，构造一个边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：由可知：求解过程中所用的方法与配方法是一致的， 故选C； （2）解：所用的数学思想方法为数形结合思想， 故选B； （3）解：如图， 将边长为的正方形和边长为3的正方形，外加两个长方形，长为，宽为3，拼合在一起面积就是，即， 而由原方程变形得， 即边长为的正方形面积为16． 所以， 所以， 解得，或 因此的正根为． 35．(1) (2) (3)存在， (4)或 【分析】（1）用减去的长即可； （2）连接，由平行线的性质可得，由，可求出，再利用三角形面积公式计算即可； （3）由平行四边形的性质可得，可得，可求的值； （4）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）如图1，连接， ， ， cm， ， ， ， ， ∴； （3）四边形是平行四边形， ， ， ， ∴当时，使四边形是平行四边形； （4）如图2，当时， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（不合题意舍去）， 综上所述：或时，为直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$