江苏省苏州市2024-2025学年九年级上学期期中数学复习（二次函数章节重难点近三年组题汇编）

江苏省苏州市2024-2025学年度九年级上学期期中数学复习（二次函数章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）点，与为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知是二次函数图象上的一个点，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 6．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.08 B．1.14 C．1.28 D．1.38 7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图分析，a的值等于（    ）    A． B． C．1 D．2 8．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程的解为，，且．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，垂直于x轴的直线分别与抛物线和抛物线交于A，B两点，过点A作轴分别与y轴和抛物线交于点C，D，过点作轴分别与轴和抛物线交于点E，F，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，为坐标原点，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，将正方形绕顶点顺时针旋转，使点落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）对于实数、，定义运算“”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有4个实数根．其中正确的结论个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 13．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是 ． 14．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴的交点坐标分别是，则 ． 15．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是 ． x … 0 … y … … 16．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双． 17．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B．平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，n的取值范围是 ． 18．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知函数在的最大值是1，最小值是，则的取值范围是 ． 19．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是 ． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图像与轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点的直线将分成两个面积相等的三角形，则a的值为 ． 21．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知抛物线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为，点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且，连接，取的中点F，则的长为 ． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为4，与轴负半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 三、解答题 23．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，利用的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中，并使，新建墙上预留一长为2米的门．如果新建墙总长为16米，设的长为米． (1)边的长（x的代数式表示）； (2)当储料场的面积为48平方米时，求边的长； (3)怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？ 24．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，，从处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，已知水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是． 求二次函数表达式； (1)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外? 25．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件． (1)这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？ (2)为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a元（）．要使每天捐款后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，求a的取值范围． 26．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点是第一象限内二次函数图像上一点，该二次函数图像与轴交于、两点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)线段的长为 　　（用含的代数式表示）； (2)当时，点与点关于二次函数图像对称轴对称，若平分，求点的坐标； (3)若是直角三角形，点是与的交点，则的最小值是多少？直接写出答案即可． 27．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于C点，顶点为M，直线轴于点D． (1)当时，已知，求AB的长； (2)当时，若，，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，作直线AC和直线BC，点P为抛物线第一象限上一点，交直线BC于Q点，求PQ的最小值． 28．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）定义：若一个函数图像中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”． (1)分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”?如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由； (2)设函数，的图像的“等值点”分别为点A、B，过点B作轴，垂足为，当面积为3时，求的值； (3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，与组合成的图像上恰有两个“等值点”时，请求出的取值范围． 29．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知，是平面直角坐标系内的两点，我们将称作，间的“型距离”，记作，即．已知二次函数的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标分别为，，点C在直线上运动，且满足． (1)求； (2)求抛物线的表达式； (3)已知是该坐标系内的一个一次函数．若D，E是图象上的两个动点，且，求面积的最大值． 30．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线与x轴分别交于、，与y轴交于顶点为C． (1)求该抛物线的解析式，及顶点C的坐标． (2)如图（1）抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P，若不存在，请说明理由： (3)如图（2），将该抛物线绕点B顺时针旋转，交y轴于点F、G，顶点C旋转至点E，在旋转后抛物线上之间，是否存在一点M，使得四边形面积最大？若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．A 【分析】根据二次函数和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，该函数的图象开口向下，故选项A正确； 对称轴是直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误； 当时，随的增大而增大，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值．正确的计算是解题的关键． 分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可． 【详解】解：将代入，得，； 同理，， ∴， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行作答即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移2个单位长度， ∴ ∵再向右平移1个单位长度， ∴ 故选：D 4．A 【分析】由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出的大小关系． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为， ∴在的右边随的增大而减小， ∵点，与为二次函数图象上的三点， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 5．C 【分析】把点代入即可求得a的值． 【详解】解：∵是二次函数图象上的一个点， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 6．B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键． 【详解】解：时，； 时，； 抛物线与轴的一个交点在和点之间， 方程有一个根约为1.14． 故选：B． 7．B 【分析】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围，先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出的值． 【详解】解：因为前两个图象的对称轴是轴，所以，又因为，所以，与矛盾； 第三个图的对称轴，，则，与矛盾； 故第四个图正确． 由于第四个图过原点，所以将代入解析式，得： ， 解得， 由于开口向下， ． 故选：B． 8．D 【分析】先把关于的一元二次方程的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的解就是函数与的交点的横坐标， ， 抛物线开口向下， ， 在轴下方， ， 如图所示： ， 故选D． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直线和抛物线的交点． 9．B 【分析】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力．根据二次函数的图象和性质结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点横坐标为，则点纵坐标为，点的纵坐标为， 轴， ∴点纵坐标为， ∵点是抛物线上的点， ∴点横坐标为， 轴， ∴点纵坐标为， ∵点是抛物线上的点， ∴点横坐标为， ， ， 故选：B． 10．B 【分析】过点B向x轴引垂线，垂足为E点，连接，可得的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】如图，作轴于点E，连接，    ∵正方形绕顶点O顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B坐标为， 设抛物线解析式为（） 代入点B坐标，得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，用待定系数法求函数解析式和勾股定理的运用，解题的关键是到点B的坐标． 11．A 【分析】根据题意确定函数的解析式为，画出函数的图象从图象上观察当关于的方程为恰有三个互不相等的实数根时的取值范围． 【详解】解：由可得，由可得． 根据题意得． 即， 画出函数的图象如图， 观察函数的图象和直线有三个不同的交点时，， 关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是． 故选：． 12．A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先补全函数图象，再根据图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，补全后的函数图象如下图所示： 由图可知，函数图象关于轴对称，故①正确； 函数有最大值，没有最小值，故②错误； 当时，随的增大而增大，故③正确； 当时，直线与函数图象有4个交点，因此关于的方程有4个实数根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④，共3个， 故选A 13． 【分析】根据题意可得对称轴，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故答案为：． 14． 【分析】由抛物线与轴的交点坐标分别是，得到为方程的两根，利用根与系数的关系得到，，将原式变形代入计算可得． 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标分别是， ∴为方程的两根， ，， ． 故答案为． 15． 【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为，然后求出关于的对称点坐标，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知：与是关于对称轴对称的， ∴该二次函数的对称轴为， 设二次函数图象上的点为，， 由对称性可知：， ∴， ∴与关于对称， 由表格可知：时，， 令代入， ∴． 故答案为：． 16．11 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．根据题意，写出与的函数关系式，分别根据一次函数和二次函数的性质得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，与的函数关系式为； 当时，，， ∴y随x的增大而增大， 当时，取得最大值1200， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值1210， ， 当时，该鞋店获利最多， 答：当顾客一次性购买11双时，该网店从中获利最多． 故答案为：11． 17．或 【分析】分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为，求出直线的解析式为，联立方程组，由时，解得，此时抛物线的顶点为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点；当抛物线的顶点为时，平移后的抛物线与射线有两个公共点，由此可求解． 【详解】解：∵ ∴顶点 令，则 ∴ 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴y＝﹣x﹣3， ①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位， ∴平移后的抛物线解析式为 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴ 联立方程组， 整理得 当时， 解得 此时抛物线的顶点为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点； ②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位， ∴平移后的抛物线解析式为 当抛物线经过点B时， 解得（舍）或， 此时抛物线的顶点坐标为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点， 当抛物线的顶点为时，平移后的抛物线与射线有两个公共点， ∴综上所述：或． 故答案为：或． 18． 【分析】将一般式化成顶点式，得到当时，函数有最小值为：，再根据当时：，利用抛物线的对称性得到当时，，根据时，函数的最大值是1，最小值是，可知，在和之间，包括两个端点，即可得解； 【详解】解：， ∵ ∴当时，函数有最小值为：， 当时：， 由抛物线的对称性可知：当时，， ∵函数在的最大值是1，最小值是， ∴； 故答案为：． 19．或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，，且a越大开口越小，开口向下时，，且a越大，开口越大，从而确定a的范围． 【详解】+：如图，      抛物线的对称轴为：直线， 设抛物线与直线l交点（靠近y轴）坐标为， ， ， 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最小， 将点代入，得：， 解得， ； 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最大， 将点代入，得：， 解得， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 20．/0.9 【分析】本题考查了二次函数和一次函数综合，先得出，，再根据过点的直线将分成两个面积相等的三角形，得出过点M的直线为中线，然后进行分类讨论：分别求出各条中线的函数解析式，将点M的坐标代入，求出a的值，即可．①当该直线为边上的中线时，②当该直线为边上的中线时，③当该直线为边上的中线时． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， 把代入得：， ∴， ∵过点的直线将分成两个面积相等的三角形， ∴过点M的直线为中线， ①当该直线为边上的中线时， 令中点为点D， ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入的：， 解得：，不符合题意，舍去； ②当该直线为边上的中线时， 令中点为点E， ∵，， ∴， ∵， ∴轴，不符合题意，舍去； ③当该直线为边上的中线时， 令中点为点F， ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入的：， 解得：； 故答案为：． 21． 【分析】根据题意A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称得到，连接，由中位线定理得，求出长即可得解． 【详解】解：∵点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，， ∴， ∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称， ∴， 连，的中点是F， ∴． 故答案为：． 22． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值． 【详解】解：如图，连接，过B作轴于D； 则； 已知正方形的边长为4，则； 中，，， 则； 故， 代入抛物线的解析式中，得：， 解得， 故答案为： 23．(1) (2)4米或8米 (3)的长为6米时储料场的面积最大，最大面积为54平方米 【分析】（1）作于点G，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，则，结合新建墙总长即可求解； （2）利用梯形面积公式列方程，即可求解； （3）设储料场的面积为S，列S关于x的二次函数，化为顶点式，即可求出最值． 【详解】（1）解：如图，作于点G， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 总长为16米，， ； （2）解：由题意知， 当储料场的面积为48平方米时，， 即， 解得或， 即的长为4米或8米； （3）解：设储料场的面积为S， 则， 因此当时，S取最大值54， 即的长为6米时储料场的面积最大，最大面积为54平方米． 24．(1) (2)水池的半径至少为1米 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的实际应用． （1）根据抛物线的顶点式求解即可． （2）令得到求得抛物线与x轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是所求． 【详解】（1）∵水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式为． （2）令得到， 解得，（舍去）， 故水池的半径至少为1米． 25．(1)第30天的利润最大，最大利润是5600元 (2) 【分析】（1）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】（1）设销售利润为w元，销售时间为x天， 由题意可知， ∵ ∴函数有最大值， ∴当时，w取最大值为元， ∴第30天的利润最大，最大利润是5600元； （2）设未来30天每天获得的利润为y，时间为t天，根据题意， 得 化简，得 每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大， ∴ 解得， 又∵ 即a的取值范围是：． 26．(1) (2)， (3) 【分析】（1）令，则，进行计算得即可求出A、B的坐标，即可得； （2）根据题意和二次函数的性质依次求出点C、D、A、B的坐标，即可得，过点作轴交于点，得，，即可得，可得， 根据是等腰直角三角形可求出点Q的坐标，根据C点关于的对称点，即可得平分，设直线的解析式为，即可得，进行计算得出一次函数的解析式为，联立方程组，进行计算即可得； （3）令，则，求出点C的坐标，令，则， 解得或，即可得点A、B的坐标，设直线的解析式为， 即可得，进行计算即可得一次函数的解析式为，过点作轴交于点，过点A作轴交于点，设，则，，由得，当最大时，有最小值，，当时，有最大值，即可得． 【详解】（1）解：令，则， ，， ∵A在点的左侧，， ∴，， ∴线段 的长为：， 故答案为：； （2）解：当时，， 抛物线的对称轴为直线， 令，则， ， 点与点关于二次函数图像对称轴对称， ， 令，则， 解得或， ∵A在点的左侧， ，， ， ， 如图所示，过点作轴交于点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点关于的对称点， ， 平分， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得（舍或， ∴； （3）解：令，则， ， 令，则， 解得或， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 如图所示，过点作轴交于点，过点A作轴交于点， 设， ，， ，， ， ， 当最大时，有最小值， ， 当时，有最大值， 的最小值是：． 27．(1) (2) (3)没有最小值 【分析】（1）将抛物线的解析式由一般式变为顶点式，再用参数表示出抛物线的顶点，根据可列出与的等量关系，再结合根与系数的关系求解即可； （2）由，可知函数图象开口向下，函数的对称轴为：，画出函数图象，连接，，过作交于点，与轴交于点，设，根据，则，由，°，可知为等腰直角三角形，进而可以推理出为等腰直角三角形，则，则，且，根据对顶角相等可以推出为等腰直角三角形，则，则，则，，由二次函数的对称轴为，则的中点为，则，解得：，则，，，由三点坐标可以推出函数解析式； （3）根据，则为抛物线第一象限的点，根据题意画出图象，分析可知点越接近点或点时，的长度越小，则的长度可以无限接近于,但不会等于，则没有最小值． 【详解】（1）解：抛物线， 顶点为（1，）， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线为， 令， 则，， ∴， 故； （2）解：由，可知函数图象开口向下，函数的对称轴为：， 画出函数图形如下图所示： 连接，，过作交于点，与轴交于点， 设， ∵， ∴， ∵，°， ∴为等腰直角三角形， ∴，且， ∴°， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，且， ∵°，∠AOC=90°， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴，， ∵二次函数的对称轴为， ∴的中点为， ∴， 解得：， ∴，，， 将两点坐标代入中， 得， 解得：， 则函数解析式为：． （3）解：根据题意作出图象，如下图所示， ∵， ∴为抛物线在第一象限的点， 点越接近点或点时，的长度越小， 且点在第一象限，则点不会与点，点重合， ∴的长度可以无限接近于,但不会等于， ∴没有最小值． 28．(1)函数的图象上存在“等值点”为；函数的图象上不存在个“等值点” (2)b的值为或 (3)或 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案； （2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上 “等值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可； （3）先求出函数的图象上有两个“等值点” ，，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）在中，令，得， ∴函数的图象上存在“等值点”为； 在中，令，此时，方程无解， ∴函数的图象上不存在个“等值点”； （2）在函数中，令， 解得：， ∴， 在函数中，令， 解得：, ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， 当时，， 解得， 当时，， ∵， ∴方程没有实数根， 当时，， 解得：， 综上所述，b的值为或； （3）令， 解得：， ∴函数的图象上有两个“等值点”，， ①当时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”，， 将函数的图像沿直线翻折后为：， 令， 整理得：， ∵的图象上不存在“等值点”， ∴， ∴， ∴， ②当时，有3个“等值点” ， ，，， ③当时，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”， ④当时，两部分组成的图象上恰有1个“等值点” ， ⑤当时，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 29．(1)5 (2) (3)10 【分析】（1）根据题干中对于“L型距离”的定义，即可求解； （2）根据二次函数经过点A、B、C三点，所以只要求出C点坐标即可：根据点C在直线上运动，所以可设点，根据列方程求解出m的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线的表达式； （3）根据的一边长度固定等于4，所以只要求出顶点C到的最大距离即可：由所在的直线过固定点，故直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点C到的距离最大，此时就是的最大面积，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵点C在直线上运动， ∴设点，且 由平面上两点间距离，利用勾股定理得： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵二次函数的图像经过， ∴设 ∴代入解析式得： 解方程组得： ∴抛物线的表达式为； （3）∵ 令时， ∴直线恒过定点 ∴直线的图像是绕点旋转的直线， ∴当直线时，点C到的距离最大，面积也最大，即， ∵， ∴面积最大值为． 30．(1)，顶点的坐标为 (2)存在，，， (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法，将、、代入抛物线表达式，即可求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，由求得的面积，根据同底等高的三角形面积相等及平行线的性质，过点作的平行线与抛物线相交于点，则，待定系数法求出直线的解析式，根据直线与抛物线相交，列方程组即可求出直线与抛物线的交点的坐标，将直线的解析式转化为，即可得到直线是由直线：向上平移个单位所得，将直线：向下平移个单位得直线：，则直线与抛物线的交点为点，满足，求出直线与抛物线的交点即可； （3）如图，令原抛物线的对称轴与轴的交点为点，则点坐标为，连接，，过点作轴，垂足为点，连接，将逆时针旋转得点在原抛物线上，过点作轴的平行线，过点作，点为垂足，通过构造全等三角形，求出点的坐标为，同理得，求出点的纵坐标，代入原抛物线解析式，即可得出点坐标，进而求出点的坐标为，由题意可设旋转后的抛物线解析式为，将点，，的坐标代入抛物线解析式，求解即可得抛物线的解析式为，再根据，可得当最大时，有最大值，即当与平行的直线与旋转后的抛物线相切时，切点为，最大，已知点，的坐标，利用待定系数法，求得直线的解析式为，可设与平行的切线解析式为，利用切线与抛物线只有一个交点，联立抛物线与切线解析式得方程有两个相等的实数根，根据，求得，即可得到切线解析式，联立抛物线与切线解析式得，求出点的坐标，再验证点是否在之间即可． 【详解】（1）解：将、、代入抛物线表达式， 得： ，解得， 抛物线表达式为， 将抛物线表达式化为顶点式得：， 顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入直线的解析式， 得，解得， 直线的解析式， 抛物线的顶点， 抛物线的对称轴是， 如图，令对称轴与的交点为， 则由题意得，解得， ， ， 过点作的平行线与抛物线相交于点，则， 设直线的解析式为， 将点代入直线的解析式， 得，解得， 直线的解析式为， 得方程组，解得（舍去），， ， 直线的解析式为， 直线是由直线：向上平移个单位所得， 将直线向下平移个单位得到直线：， 则直线与抛物线的交点为点，满足， 得方程组，解得，， ，， 综上所述得，抛物线上存在一点P，使得，点的坐标为，，． （3）解：如图，令原抛物线的对称轴与轴的交点为点，则点坐标为，连接，，过点作轴，垂足为点，连接，将逆时针旋转得点在原抛物线上，过点作轴的平行线，过点作，点为垂足，   原抛物线绕点顺时针旋转，顶点旋转至点， ，， ，， ，， ， 在和中，， ， 又，， ，， ，，即， ，， ， 又，， ， ，， ， 点在原抛物线上， 将，代入， 得，解得（舍去），， ， ， ， ， 根据题意设旋转后的抛物线解析式为：， 将，，代入抛物线解析式， 得，解得， 旋转后的抛物线解析式为：， ，的值固定， 当最大时，有最大值， 当与平行的直线与旋转后的抛物线相切时，切点为，最大， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式， 得，解得， 直线的解析式为：， 设与平行且与旋转后的抛物线相切的切线解析式为：，转化为， 当直线与抛物线相切时只有一个交点， 联立抛物线与切线解析式得， 去分母，合并同类项得， 方程有两个相等实数根， ， 解得， 切线的解析式为， 联立抛物线与切线解析式得，解得， ， 切点坐标为 ，， 在旋转后的抛物线上之间 故在旋转后抛物线上之间，存在一点，使得四边形面积最大，坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$