3.1.1椭圆及其标准方程 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 椭圆及其标准方程 教学目标 1. 通过演示，使学生了解圆锥曲线概念的由来。 2. 使学生了解椭圆的定义并掌握椭圆的标准方程。 教学重难点 教学重点： 1. 圆锥曲线概念的由来。 2.椭圆的数学定义。 教学难点： 1. 椭圆标准方程的推导。 2. 椭圆标准方程的应用。 教学过程 一、新课引入 问题一：用一个平面去截圆锥，圆锥与平面的交线是怎样的曲线？ 问题二：我们如何去研究这些曲线？ 二、认识椭圆 问题一：生活中有哪些椭圆呢？ 问题2：如果把一个细绳的两端用图钉分别固定在木板上，套上一条没有松紧的绳子，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是怎样的曲线？ 追问1：在这一过程中细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 追问2：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ 追问3：在画椭圆的过程中，绳子的长度与两定点之间的距离有怎样的大小关系？ 追问4：改变绳子的长度与两定点间的距离的大小，轨迹又是什么？ 追问5：你能用精确的数学语言来刻画椭圆吗？ 追问6：在椭圆的定义中我们要注意哪些要素呢？ 三、椭圆的标准方程 问题3：按照解析几何研究图形的基本思路，在了解了椭圆的概念后，我们下一步要研究什么呢？ 追问1：利用坐标法求椭圆方程的步骤是什么？ 追问2：椭圆是否有某种对称性？你能猜出椭圆的对称轴吗？ 追问3：如何选取坐标系可能使得椭圆的标准方程变得简单呢？ （1）建系： 以,所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系xoy,则,的坐标为（-c,0）,（c,0） (2)设点： 设p(x,y)为椭圆上任意一点 追问4：如何用坐标表示椭圆上的点所满足的条件呢？ 由椭圆的定义可知，椭圆可以看作点集 = 追问1：如何去化简这个式子呢？ 追问2：直接平方是不是最好的化简方法呢？ 移项得：= -= 两边平方得: 整理得： ① 对方程①两边平方，得 整理，得 ② 追问1：类比圆的标准方程，这个结果是否达到你的预期？ 从简洁、美化得角度我么们可以令，则方程②变为，两边同除以，得 () 问题4：在上面的推导过程中我们是将焦点放在x轴上，若将焦点放到y轴上，椭圆的方程又是怎样的？ （1）建系： （2）设点： （3）列式： （4）代入：=2 （5）化简: () 椭圆的标准方程总结 （1）焦点在x轴上：() （2）焦点在y轴上：() 四、例题讲解 求满足下列条件的椭圆的标准方程。 （1）两焦点坐标分别为(－3，0)、(3，0)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10. 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ()， 因为 所以椭圆的标准方程为. 已知椭圆的两个焦点分别为， ，且该椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 解法1（定义法） 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为() 由椭圆的定义可知 =8, 所以，所以 因此，所求椭圆的标准方程为. 解法2（待定系数法） 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为 因为椭圆的两个焦点坐标为， ， 所以c= ，从而 又因为点椭圆上，所以 由①②解的 因此，所求椭圆的标准方程为 五、小结 1、椭圆的定义 平面内到两个定点,的距离之和等于常数（大于）的动点的轨迹叫做椭圆. 其中两个定点,叫做椭圆的焦点，两个定点（焦点）间的距离叫做椭圆的焦距. 2、椭圆的标准方程 （1）焦点在x轴上：() （2）焦点在y轴上：() 学科网（北京）股份有限公司 $$