3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 1 一、新课引入 问题一：用一个平面去截圆锥，圆锥与平面的交线是怎样的曲线？ 问题二：我们如何去研究这些曲线？ 坐标法 采用坐标法研究圆锥曲线的好处为可以程序化、精细化的计算 思路： 现实背景—曲线概念—曲线的方程—曲线的性质—实际应用 椭圆 问题2：如果把一个细绳的两端用图钉分别固定在木板上，套上一条没有松紧的绳子，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是怎样的曲线？ 追问1：在这一过程中细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 追问2：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ 追问3：在画椭圆的过程中，绳子的长度与两定点之间的距离有怎样的大小关系？ 追问4：改变绳子的长度与两定点间的距离的大小，轨迹又是什么？ 追问5：你能用精确的数学语言来刻画椭圆吗？ 追问6：在椭圆的定义中我们要注意哪些要素呢？ 平面内到两个定点,的距离之和等于常数（大于）的动点的轨迹叫做椭圆. 其中两个定点,叫做椭圆的焦点，两个定点（焦点）间的距离叫做椭圆的焦距. 问题3：按照解析几何研究图形的基本思路，在了解了椭圆的概念后，我们下一步要研究什么呢？ 追问1：利用坐标法求椭圆方程的步骤是什么？ 三、椭圆的标准方程 （1）建--------建系 （2）设--------设点 （3）限--------找限定条件列出等量关系式 （4）代--------将等量关系代数化 （5）化--------化简并检验 简记为：建设限（现）代化 追问2：椭圆是否有某种对称性？你能猜出椭圆的对称轴吗？ 追问3：如何选取坐标系可能使得椭圆的标准方程变得简单呢？ （1）建系： 以,所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系xoy,则,的坐标为（-c,0）,（c,0） (2)设点： 设p(x,y)为椭圆上任意一点 p(x,y) 追问4：如何用坐标表示椭圆上的点所满足的条件呢？ 由椭圆的定义可知，椭圆可以看作点集 P={P| } 由 可得 追问1：如何去化简这个式子呢？ 追问2：直接平方是不是最好的化简方法呢？ 移项得： 两边平方得： ① 对方程①两边平方，得 整理得： 整理，得 ② 追问1：类比圆的标准方程，这个结果是否达到你的预期？ 从简洁、美化的角度我们可以令,则方程②变为 两边同除以，得 问题4：在上面的推导过程中我们是将焦点放在x轴上，若将焦点放到y轴上，椭圆的方程又是怎样的？ p(x,y) (1)建系： (2)设点： （3）列式： （4）代入： （5）化简 椭圆的标准方程总结 p(x,y) p(x,y) (1)焦点在x轴上 （2）焦点在y轴上 四、例题讲解 例1、求满足下列条件的椭圆的标准方程。 (1)两焦点坐标分别为(－3，0)、(3，0)， 且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10. 解：因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为 因为 所以= 所以所求的椭圆标准方程为 例2、已知椭圆的两个焦点分别为， ，且该椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 解法1（定义法） 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义可知 =8, 所以 又因为=16-8=8 因此，所求椭圆的标准方程为 例2、已知椭圆的两个焦点分别为，且该椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 解法2 （待定系数法） 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为 因为椭圆的两个焦点坐标为， ， 所以c= ，从而 又因为点椭圆上，所以 由①②解的 因此，所求椭圆的标准方程为 五、小结 （1）焦点在x轴上 （2）焦点在y轴上 平面内到两个定点,的距离之和等于常数（大于）的动点的轨迹叫做椭圆. 其中两个定点,叫做椭圆的焦点，两个定点（焦点）间的距离叫做椭圆的焦距. 2、椭圆的标准方程 1、椭圆的定义 不止因为学习而喜欢数学， 而是因为数学而喜欢学习 多观察生活，发现数学之美！ $$