8.1一元二次方程课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

第八章 一元二次方程 1　一元二次方程 第1课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 【小题快练】 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是 ( ) A.2x+1=0 B.x2-1=0 C.x2+x3=7 D.+x2=1 2.把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是 ( ) A.3x2-5x=2 B.3x2-2=5x C.3x2-5x-2=0 D.3x2+5x+2=0 B C 3.若一元二次方程x2-mx+1=0的一次项系数为-3,则m的值为_______.  4.为绿化、美化环境,某园林部门计划在某地修建一个面积为100平方米的矩形 花园,它的长比宽多10米,设宽为x米,可列方程为________________.  　3　 　x(x+10)=100　 重点1一元二次方程及相关概念 【典例1】将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖线,记成,定义=ad-bc.上述记法就叫做二阶行列式.那么=22表示的方程是一元二次方程吗?如果是,请写出它的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. 重点·典例研析 [自主解答] =22表示的方程是一元二次方程.理由如下: 根据题意,得:(x+1)·2x-(x+2)(x-2)=22, 整理,得2x2+2x-x2+4=22, 即:x2+2x-18=0, 符合一元二次方程的定义, 它的一般形式为x2+2x-18=0,它的二次项系数是1,一次项系数是2,常数项是-18. 【举一反三】 1.(2023·烟台招远市期中)若方程(m+3)+mx-2=0是关于x的一元二次方程, 则m等于_______.  2.将方程y2-y(-4y+1)=1化为一般形式(要求二次项系数为正数),写出二次项的系数, 一次项和常数项. 【解析】去括号,得y2+4y2-y=1, 整理,得5y2-y-1=0. 所以二次项的系数为5,一次项和常数项分别是-y,-1. 　3　 3.某中学数学兴趣小组对关于x的方程(m++(m-2)x-1=0提出了下列问题: (1)是否存在m的值,使方程为一元一次方程?若存在,求出m的值,并解此方程. (2)是否存在m的值,使方程为一元二次方程? 若存在,求出m 的值. 【解析】(1)存在,由题可知当或时方程为一元一次方程. 当时,解得m=0,此时方程为-x-1=0,解得x=-1;当时,解得 m=-1,此时方程为-3x-1=0,解得x=-. (2)存在m的值,使方程为一元二次方程.由题可知当时,方程为一元二次方程, 解得m=1. 【技法点拨】 判别一元二次方程的三个技巧 1.先把方程化简变形为一般形式后再判断. 2.分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程. 3.二次项系数中含有字母时,若字母的取值不明确,不一定是一元二次方程. 重点2根据实际问题列一元二次方程 【典例2】(教材再开发·P51 习题8.1T1补充)参加足球联赛的每两个球队之间都要 进行两场比赛,共要比赛110场,设参加比赛的球队有x个,根据题意,下面列出的方 程正确的是( ) A.x(x+1)=110 B.x(x-1)=110 C.x(x+1)=110 D.x(x-1)=110 D 【一题多变】 1.某学校要组织一次篮球比赛,采用单循环赛制(每两队之间都要赛一场),计划 安排21场比赛,设参赛队数为x,列方程为 ( ) A.x(x-1)=21 B.x(x-1)=21 C.2x(x-1)=21 D.x(x+1)=21 2.在典例2中,如果有5个球队参赛,那么一共比赛________场,如果有x个球队参赛, 那么一共比赛___________场.  B 　20　 　x(x-1)　 【技法点拨】 列一元二次方程的步骤 (1)审题,找出题目中的等量关系; (2)设未知数,并用未知数表示相关量; (3)将等量关系转化为方程. 素养·思维赋能 【模型溯源】 溯源 根据矩形面积列方程 模型 解读 旨在通过确定矩形的长与宽,利用面积公式列一元二次方程 【触类旁通】 (2023·阳泉期末)某景区计划在一个长为72 m,宽为40 m的矩形空地上修建一个停 车场,停车场中修建三块相同的矩形停车区域,它们的面积之和为1 792 m2,三块停 车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道,问行车通道的宽度是多少米?设行 车通道的宽度是x m,则可列方程为 ( ) A.(72-x)(40-x)=1 792 B.(72-4x)(40-2x)=1 792 C.(72-3x)(40-2x)=1 792 D.(72-4x)(40-x)=1 792 B 1　一元二次方程 第2课时 基础·主干落实 重点·典例研析 素养·思维赋能 基础·主干落实 判一判: 1.x=2是方程x(x-2)=3的一个解. ( ) 2.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则a-b-c=0. ( ) × × 【小题快练】 1.下列各未知数的值是方程x2=2的解的是 ( ) A.x=-1 B.x=0 C.x=- D.x=2 2.如果2是方程x2-c=0的一个根,那么c的值是 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 C A 3.根据下列表格对应值: 判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是 ( ) A.x<3 B.x>5 C.3<x<4 D.4<x<5 4.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则a+b的值是 ( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6 x 3 4 5 ax2+bx+c 0.5 -0.5 -1 C B 重点一元二次方程的解与近似解 【典例】(教材再开发·P53“做一做”补充)小亮根据x的取值:1.1,1.2,1.3,1.4,1.5分别代入x2+12x-15求值,估算一元二次方程的近似解. 由此可确定一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解x的范围是 ( ) A.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4 D.1.4<x<1.5 重点·典例研析 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A 【举一反三】 1.观察表格,一元二次方程x2-3x=4.6的一个近似解为 ( ) A.-1.123 B.-1.117 C.-1.089 D.-1.073 x -1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 x2-3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 B 2.(2023·青岛期末)根据下表的对应值,试判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解 的取值范围是 ( ) A.-3<x<-1 B.-0.03<x<0.02 C.-1<x<1 D.-0.07<x<-0.03 x -3 -1 1 4 ax2+bx+c 0.06 0.02 -0.03 -0.07 C 3.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为 ( ) A.1　　B.-1　　C.1或-1　　D. 4.(2023·威海乳山市一模)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1, 则代数式2 024-a-b的值为 ( ) A.-2 024 B.2 023 C.2 024 D.2 025 B D 5.下列表格所表示的是小江对方程x2-9.25x+10=0进行近似计算所列的表格, 若小江要进一步精确估算,则他要选择的范围是__________.  x 0 0.5 1 1.5 2 x2-9.25x+10 10 5.625 1.75 -1.625 -4.5 　1~1.5　 6.观察下表: 请你从表中确定方程3x2-7x+4=0的根的情况是怎样的? 【解析】根据表格中的数据,可知方程有一个根是x=1; 另一个根x的范围是1.3<x<1.4. x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 3x2-7x+4 0.13 0 -0.07 -0.08 -0.03 0.08 【技法点拨】 求一元二次方程近似解的三个步骤 1.定范围:根据实际问题确定解的大致范围. 2.细计算:在确定的取值范围内均匀地取一些x的值,计算出对应的ax2+bx+c的值,进一步缩小解的范围. 3.作比较:比较计算的结果,确定方程的近似解. 素养·思维赋能 快速查故障——二分法在生活中的应用 用二分法确定一元二次方程的近似解 做法 找出初始范围的中间点,判断解所在范围,不断缩小范围求近似解 步骤 ①估计x的大致范围 ②缩小x的范围 ③按照实际需要确定近似解 【开放探索】 假设一工人要维修一条10 km长的电话线,如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆,10 km长大约有200多根电线杆. 因此就可使用二分法进行查找: 设电线两端分别为A,B,首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段, 再到BC中点D,发现BD正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来看, 这样每查一次,就可以把待查线路长度缩减为一半,那么经过　　　　次查找,就可以将故障发生的范围缩小到50~100 m.  【解析】∵×10 000=5 000,∴经过1次查找,就可以将故障发生的范围缩小到0~ 5 000 m左右,且每经过1次查找,就可以将故障发生的范围缩小到上一次的一半, ∵×10 000=78.125,∴经过7次查找,就可以将故障发生的范围缩小到50~100 m. 答案:7 本课结束 $$