2024-2025学年人教版数学八年级上册专题训练06 等腰三角形+等边三角形（半角和手拉手）

专题06 等腰三角形+等边三角形 一、解答题 1．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若CD＝3，求DF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明； （3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长． 3．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接并延长，交于点G． 求证： (1)； (2)点G为AB的中点． 4．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 5．如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°． （1）求证：OB=DC； （2）求∠DCO的大小； （3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形． 6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF． （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由． 7．在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 8．已知中，，点是边上一点，点为边上一点．    (1)如图1，若，连接，以为一边作等腰直角，，连接，求证：． (2)如图2，若，以为一边作等腰直角，，连接，求的度数． (3)如图3，若把（1）中的条件改为：，以为一边作等边，连接．求的度数（直接写出结果，不需要过程）． 9．如图，已知是等边三角形，E为延长线上任意一点，选择一点D，使是等边三角形，如果M是的中点，N是的中点．    (1)求证：； (2)是等边三角形． 10．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外部，且DA＝DC，连接BD． (1)判断BD和AC的位置关系，并说明理由． (2)过点D作交BC于点E，若BC＝10，CF＝4，求DE的长． 11．如图，已知是等边三角形，点是边上一点．    (1)如图1，以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），猜想与的位置关系，并证明你的结论； (2)如图2，过点C作，在上取一点F，连接、，使得，猜想的形状，并证明你的结论． 12．已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证： (1)BE＝AD (2)∠AOB的度数 13．（1）如图1，四边形是正四边形，在的内部绕点A转动，若平分．求证：平分． （2）如图2，四边形是正四边形，，绕点A旋转，的边与的延长线交于点，与的延长线交于点，判断、、的数量关系并证明． 14．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．    (1)求证：； (2)求的大小； (3)求证：． 15．如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 16．如图，在中，，，点为内一点，且， (1)求证：； (2)，为延长线上的一点，且， ①求证：平分； ②若点在上，且，试证明； ③若为直线上一点，且为等腰三角形，直接写出的度数． 17．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； (3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 18．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点P，于Q．      (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 19．如图，在四边形中，，，交于E，交于F，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）见解析；（2）DF＝6． 【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，从而可得到∠CEF=30°，故此可得到△CEF为等腰三角形； （2）先求得CF=DE，然后由EC=DC进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60° ∵DE∥AB， ∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60° ∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60° ∵EF⊥ED， ∴∠DEF＝90° ∴∠F＝30° ∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°， ∴∠F＝∠FEC＝30° ∴CE＝CF． ∴△CEF为等腰三角形 （2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60° ∴CE＝DC＝3 又∵CE＝CF， ∴CF＝3   ∴DF＝DC+CF＝3+3＝6 【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（1）∠ADB=150°；（2）△ABE是等边三角形．理由见解析；（3）AD= 4． 【分析】（1）首先证明是等边三角形，推出，再证明，推出即可解决问题． （2）结论：是等边三角形．只要证明即可． （3）首先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，理由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． （2）解：结论：是等边三角形． 理由：， ， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形． （3）解：连接． ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 3．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质推出，再利用角的和差，即可证明； （2）证明，可得是线段的垂直平分线，即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴G为AB的中点． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质以及线段垂直平分线的判定是解题的关键． 4．（1）∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由见解析；（2）见解析；（3）∠B+∠C＝180°，理由见解析 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案；（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可． 【详解】 （1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE， 理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE； （2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H， ∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ∴△BAD≌△CAE（SAS），   ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AG＝AH， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AM平分∠BME． （3）∠B+∠C＝180°， 理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD， ∵∠ADP＝60°， ∴△ADP为等边三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAP， 在△BAD和△CAP中，   ， ∴△BAD≌△CAP（SAS）， ∴∠B＝∠ACP， ∵∠ACD+∠ACP＝180°， ∴∠B+∠ACD＝180°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键． 5．（1）证明见解析；（2）40°；（3）当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形 【分析】（1）由已知证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得； （2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数； （3）分三种情况进行讨论即可得. 【详解】（1）∵∠BAC=∠OAD=90°， ∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO， ∴∠DAC=∠OAB， 在△AOB与△ADC中， ， ∴△AOB≌△ADC， ∴OB=DC； （2）∵∠BOC=130°， ∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°， ∵△AOB≌△ADC ∠AOB=∠ADC， ∴∠ADC+∠AOC=230°， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠DAO=90°， ∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°； （3）当CD=CO时， ∴∠CDO=∠COD==70°， ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA=45°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°， 又∠AOB=∠ADC=α， ∴α=115°； 当OD=CO时， ∴∠DCO=∠CDO=40°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°， ∴α=85°； 当CD=OD时， ∴∠DCO=∠DOC=40°， ∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°， ∴α=145°， 综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、等腰三角形的判定和性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质和定理是解题的关键. 6．（1）详见解析；（2）BD=CF；详见解析． 【分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题； （2）结论：BD=CF．过点D作DG∥AC交BC于G，证明∆DGE≌∆FCE ，则DG=CF，再证出DG=BD即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠EAF=90°，∠ADE+∠F=90°， ∵∠DAE=∠ADE， ∴∠EAF=∠F， ∴EA=EF， ∵∠DAE=∠ADE， ∴EA=ED， ∴DE=EF；         （2）解：BD=CF．理由： 过点D作DG∥AC交BC于G， ∴∠EDG=∠F， ∵ED=EF，∠DEG=∠FEC， ∴∆DGE≌∆FCE， ∴DG=CF， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∵DG∥AC ∴∠ACB=∠DGB， ∴∠B=∠DGB， ∴BD=DG ∴BD=CF． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【详解】（1）， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 8．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作交于，同（1）的方法判断出，推出，即可得出结论； （3）过点作交于，同（1）的方法判断出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ； （2）如图2，    在中，，， ， 过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图3， 在中，，， ， 过点作交于，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加辅助线． 9．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质； （1）根据等边三角形可得，利用证得即可； （2）根据，得出，从而证得可得，证明，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 10．(1)BD垂直平分AC．理由见解析 (2)6 【分析】（1）由等边三角形的性质可得BA＝BC，然后运用SSS证得△ADB≌△CDB即∠ABD＝∠CBD，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可说明； （2）先说明△CEF是等边三角形可得CE＝CF＝4，然后再说明∠ABD＝∠EDB,可得DE=BE，然后根据线段的和差求得BE即可． 【详解】（1）解：BD垂直平分AC．理由如下： ∵△ABC是等边三角形（已知）    ∴BA＝BC 又∵DA＝DC（已知）  DB＝DB（公共边）     ∴△ADB≌△CDB（SSS） ∴∠ABD＝∠CBD（全等三角形的对应角相等） ∴BD垂直平分AC．（等腰三角形三线合一）． （2）解：∵（已知），△ABC是等边三角形（已知） ∴△CEF是等边三角形     ∴CE＝CF＝4 ∵（已知），∠ABD＝∠CBD（已证） ∴∠ABD＝∠EDB＝∠DBE ∴ ∵ ∴DE=6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解答本题的关键． 11．(1)，理由见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，则，进而得出，则，即可得出； （2）根据题意画出图形，在上截取，使，连接，通过证明为等边三角形，进而得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形，理由如下： 如图：在上截取，使，连接，    ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、三角形全等的判定及性质、平行线的判定及性质，解题的关键是通过标出相应的角标找出角之间的关系，通过等量代换进行求解，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质和判定． 12．(1)证明见详解 (2)60° 【分析】（1）利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，即可得出BE＝AD （2）由△BCE≌△ACD可得∠CAD＝∠CBE，根据“八字型”证明∠AOP＝∠PCB＝60°即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE 即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD （2）由（1）可得△BCE≌△ACD ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠APO＝∠BPC， ∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 13．（1）见解析；（2）；理由见解析 【分析】（1）过点A作，垂足为点G，根据角平分线的性质，得出，从而得出，最后根据角平分线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出，，证明，再证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）过点A作，垂足为点G，如图所示： ∵四边形为正四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）；理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵四边形为正四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 14．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由外角的性质可求解； （3）作于G，于H，由全等三角形的性质可得，由面积法可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，由（1）可得 ∴， 由三角形的外角性质得： ， ∴；    （3）证明：作于G，于H，如图所示：    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积的计算，三角形外角的性质，利用面积法求线段相等是解题的关键． 15．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌； （2）由≌可知：，，从而可求出的度数． 【详解】（1）由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌； （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 16．(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③的度数为7.5°、15°、82.5°、150° 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①易证，再证，得，即可解决问题； ②连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； ③分、、、点与点重合四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：，， 垂直平分线段， ． （2）①证明：，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分； ②解：，理由如下： 如图1，连接， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ③解：如图2，分情况讨论： 、当时，， ； 、当时，， ； 、当时，； 、当点与点重合时，， ； 综上所述：为等腰三角形时，的度数为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由见解析 【分析】（1）如图所示，先根据三角形内角和的得∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得，∠DBC=∠ACB=35°，可得结论； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC=AD+CD=BD+AD 证法二：如图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C=35°，得BF=BE，可得结论 （3）正确画图，做辅助线，构造等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，则线段的和与差可得结论 【详解】（1）如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝35°， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴△BCD为等腰三角形； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH， 由（1）得：△BCD为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠EAH， ∴△ABE≌△AHE（SAS）， ∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°， ∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°， ∴EH＝HC， ∴AB+BE＝AH+HC＝AC， ∴BD+AD＝AB+BE； 证法二：如下图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF， 由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠EAC， ∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴∠F＝∠C， ∵∠C＝35° ∴∠F＝∠C＝35° 由（1）知∠ABC＝70° ∴∠BEF=35°                             ∴∠F=∠BEF ∴BF＝BE， ∴AB+BE＝AB+BF＝AF， ∴BD+AD＝AB+BE； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由是： 如上如图所示，在BE上截取BF＝AB，连接AF， ∴∠AFB＝∠BAF ∵∠ABC＝70°， ∴∠AFB＝∠BAF＝35°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠HAB＝105°， ∵∠BAC＝75° ∴∠BAH＝105° ∵AE平分∠HAB， ∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°， ∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°， ∴AF＝EF， ∵∠AFC＝∠C＝35°， ∴AF＝AC＝EF， ∴BE-AB＝BE-BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和和外角的性质，正确作出辅助线是解题关键 18．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，由（2）知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 19．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据，则可证明，进而可得出结论； （2）证明可得，在中，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$