必修一第一册前三章（集合与常用逻辑用语+不等式+函数的概念与性质）知识梳理及期中测试-【题海探秘】2024-2025学年高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 必修一第一册前三章知识梳理及期中测试 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：　确定性　、　无序性　、　互异性　； （2）集合的三种表示方法：　列举法　、　描述法　、　图示法　； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为　∈　；不属于，记为　∉　； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　正整数　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　整数　集，Q表示　有理数　集，R表示实数集. 提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素 A⊆（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B（或B⫌A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 提醒　（1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（2）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ 　{x｜x∈A，　 　或x∈B}　 A∩B＝ 　{x｜x∈A，　 　且x∈B}　 ∁UA＝ 　{x｜x∈U，　 　且x∉A}　 4.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p　⇒　q p　　q p　⇔　q 条件关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件 提醒　（1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB. 5.全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题叫做存在量词命题 类别 全称量词 存在量词 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∀x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∃x∈M，p（x）　” 6.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 7.比较实数的大小 （1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a　＞　b；如果a－b等于0，那么a　＝　b；如果a－b是负数，那么a　＜　b.反过来也成立； （2）符号表示：a－b＞0⇔a　＞　b；a－b＝0⇔a　＝　b；a－b＜0⇔a　＜　b. 8.等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 9.不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c　＞　b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　＞　bc；a＞b，c＜0⇒ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒＞ （n∈N，n≥2）. 10.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是　a＞0，b＞0　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　a＝b　时取等号； （3）其中叫做正数a，b的　算术　平均数，叫做正数a，b的　几何　平均数. 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 11.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）； （2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）. 12.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（其中a，b，c均为常数，a≠0）. 提醒　对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 13.三个“二次”的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 　{x｜x＜x1，或x＞x2}　 R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 14.函数的概念及其表示 （1）函数的概念 （2）函数的表示法：表示函数的常用方法有　解析法　、图象法和列表法； （3）同一个函数：如果两个函数的　定义域　相同，并且　对应关系　完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 提醒　若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2. 15.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的　不同　取值区间，有着不同的　对应关系　，这样的函数叫做分段函数. 提醒　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 16.复合函数 已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝f（g（x））为函数f（u）与g（x）的复合函数，其中u称为中间变量. 17.函数的单调性 （1）单调性的定义 定 义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　∀　x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求f（x1）与 f（x2） 都有　f（x1）＜f（x2）　 都有　f（x1）＞f（x2）　 结论 函数f（x）在区间I上　单调递增　；若函数f（x）在定义域D上单调递增，则f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上　单调递减　；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则f（x）为减函数 图象描述 自左向右看图象是　上升的　 自左向右看图象是　下降的　 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　区间I　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒　（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 18.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有　f（x）≤M　； ②∃x0∈D，使得　f（x0）＝M　 ①∀x∈D，都有　f（x）≥M　； ②∃x0∈D，使得　f（x0）＝M　 结论 M是函数y＝f（x）的　最大　值 M是函数y＝f（x）的　最小　值 提醒　（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 19.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有　－x　∈D 且f（－x）＝　f（x）　，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝　－f（x）　，那么函数f（x）就叫做奇函数 图象 特征 关于　y轴　对称 关于　原点　对称 提醒　函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 20.函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 21.函数的对称性 （1）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于　x轴　对称； （2）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于　y轴　对称； （3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于　原点　对称. （4）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线　x＝　对称； （5）若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数的图象关于点　（a，0）　对称. 22.幂函数的定义 一般地，函数y＝　xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 提醒　幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项. 23.常见的五种幂函数的图象和性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 R {y｜y≥0} R {y｜y≥0} {y｜y≠0} 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 性质 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增 增函数 增函数 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减 一、单选题 1．已知全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 4．某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（    ） 每户每年用气量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 A． B． C． D． 5．已知恒成立，则实数的取值范围为（    ） A．B． C．或 D．或 6．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A．3 B．－1 C．1或－3 D．－1或3 7．已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 10．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值 C． D．在上是增函数 三、填空题 12．函数的定义域为 .（请用集合形式作答） 13．已知是定义在上的奇函数，则 ， ． 14．已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知集合． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答． 问题：当集合满足______时，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (2)若，求的取值范围． 16．已知函数. (1)若，判断并证明在上的单调性； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 17．已知幂函数的图象经过点. (1)求的值； (2)若函数， ①判断的奇偶性，并证明； ②判断的单调性，并证明． 18．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． (1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 19．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 必修一第一册前三章知识梳理及期中测试 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：　确定性　、　无序性　、　互异性　； （2）集合的三种表示方法：　列举法　、　描述法　、　图示法　； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为　∈　；不属于，记为　∉　； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　正整数　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　整数　集，Q表示　有理数　集，R表示实数集. 提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素 A⊆（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B（或B⫌A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 提醒　（1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（2）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ 　{x｜x∈A，　 　或x∈B}　 A∩B＝ 　{x｜x∈A，　 　且x∈B}　 ∁UA＝ 　{x｜x∈U，　 　且x∉A}　 4.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p　⇒　q p　　q p　⇔　q 条件关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件 提醒　（1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB. 5.全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题叫做存在量词命题 类别 全称量词 存在量词 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∀x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∃x∈M，p（x）　” 6.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 7.比较实数的大小 （1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a　＞　b；如果a－b等于0，那么a　＝　b；如果a－b是负数，那么a　＜　b.反过来也成立； （2）符号表示：a－b＞0⇔a　＞　b；a－b＝0⇔a　＝　b；a－b＜0⇔a　＜　b. 8.等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 9.不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c　＞　b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　＞　bc；a＞b，c＜0⇒ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒＞ （n∈N，n≥2）. 10.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是　a＞0，b＞0　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　a＝b　时取等号； （3）其中叫做正数a，b的　算术　平均数，叫做正数a，b的　几何　平均数. 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 11.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）； （2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）. 12.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（其中a，b，c均为常数，a≠0）. 提醒　对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 13.三个“二次”的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 　{x｜x＜x1，或x＞x2}　 R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 14.函数的概念及其表示 （1）函数的概念 （2）函数的表示法：表示函数的常用方法有　解析法　、图象法和列表法； （3）同一个函数：如果两个函数的　定义域　相同，并且　对应关系　完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 提醒　若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2. 15.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的　不同　取值区间，有着不同的　对应关系　，这样的函数叫做分段函数. 提醒　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 16.复合函数 已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝f（g（x））为函数f（u）与g（x）的复合函数，其中u称为中间变量. 17.函数的单调性 （1）单调性的定义 定 义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　∀　x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求f（x1）与 f（x2） 都有　f（x1）＜f（x2）　 都有　f（x1）＞f（x2）　 结论 函数f（x）在区间I上　单调递增　；若函数f（x）在定义域D上单调递增，则f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上　单调递减　；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则f（x）为减函数 图象描述 自左向右看图象是　上升的　 自左向右看图象是　下降的　 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　区间I　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒　（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 18.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有　f（x）≤M　； ②∃x0∈D，使得　f（x0）＝M　 ①∀x∈D，都有　f（x）≥M　； ②∃x0∈D，使得　f（x0）＝M　 结论 M是函数y＝f（x）的　最大　值 M是函数y＝f（x）的　最小　值 提醒　（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 19.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有　－x　∈D 且f（－x）＝　f（x）　，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝　－f（x）　，那么函数f（x）就叫做奇函数 图象 特征 关于　y轴　对称 关于　原点　对称 提醒　函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 20.函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 21.函数的对称性 （1）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于　x轴　对称； （2）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于　y轴　对称； （3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于　原点　对称. （4）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线　x＝　对称； （5）若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数的图象关于点　（a，0）　对称. 22.幂函数的定义 一般地，函数y＝　xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 提醒　幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项. 23.常见的五种幂函数的图象和性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 R {y｜y≥0} R {y｜y≥0} {y｜y≠0} 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 性质 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增 增函数 增函数 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减 一、单选题 1．已知全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 2．下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数特征逐一判断即可. 【详解】对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误； 对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确； 对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误； 对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 3．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【详解】解：不等式， ，解得， 故不等式的解集为：， 则其一个充分不必要条件可以是， 故选：． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 4．某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（    ） 每户每年用气量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分段讨论列方程求解. 【详解】该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元， 当时，，令，解得，不合题意； 当时，， 令，解得，符合题意； 当时，， 令，解得，不合题意， 综上，. 故选：C. 5．已知恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用基本不等式求出最小值，再借助不等式恒成立求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 依题意，，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 6．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A．3 B．－1 C．1或－3 D．－1或3 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念及性质即得. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或3； 又在上单调递增， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 故． 故选：A． 7．已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案. 【详解】的定义域为，不符合函数图像，A不满足； 的定义域为，不符合函数图像，B不满足； ，，不符合函数图像，D不满足. 故选：C 8．已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的减函数， 所以有. 故选：C. 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】选项A，由存在量词命题的否定是全称量词命题可得；选项B，转化为方程没有实数根求解；选项C，当时，；选项D，证明充分性，当时，，说明“”是“”的不必要条件. 【详解】选项A，存在量词命题的否定是全称量词命题，选项A正确； 选项B，若命题“，”为假命题， 即方程没有实数根， 则，解得，选项B正确； 选项C，若，， 所以“”不是“”的充要条件，故C错误； 选项D，， 当，但不成立，即，故D正确. 故选：ABD. 10．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定． 【详解】由得，故正确； 当时，，且存在使得， 则时，，，且当有, ∴在上有最大值为1，故正确； 若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误； 若时，，则时，，，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值 C． D．在上是增函数 【答案】ABD 【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 【详解】因为， 画出的图象如下： A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误； B选项，无最大值，有最小值0，B错误； C选项，因为， 故， ， 因为， 所以，故，C正确； D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误. 故选：ABD 三、填空题 12．函数的定义域为 .（请用集合形式作答） 【答案】且 【分析】求使函数有意义的的范围即可. 【详解】要使函数有意义， 可得，解得且， 所以函数的定义域为且. 故答案为：且. 13．已知是定义在上的奇函数，则 ， ． 【答案】 【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又因为是奇函数， 则恒成立， 即恒成立， 化简得，因为该等式对恒成立， 所以. 故答案为：；. 14．已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性，分别求得函数和的值域构成的集合 ，结合题意，得到，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数在为单调递减函数，可得 ， 即函数的值域构成集合， 又由函数在区间 上单调递增，可得， 即函数的值域构成集合， 又由， ，使成立，即 , 则满足，解得 ， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有 成立，故； （2）若，，有 成立，故； （3）若， ，有成立，故 ； （4）若， ，有，则 的值域是值域的子集 ． 四、解答题 15．已知集合． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答． 问题：当集合满足______时，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的包含关系分和两种情况求参； （2）根据交集分和两种情况求参. 【详解】（1）选择①②③，都有． 当时，，解得． 当时，解得． 综上，的取值范围为． （2）当时，由，解得，符合题意． 当时，或解得． 综上，的取值范围为． 16．已知函数. (1)若，判断并证明在上的单调性； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）计算，考虑，和，两种情况，得到函数单调区间； （2）变换得到，设，计算函数的最大值得到答案. 【详解】（1），则， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明：，且， ， ，故，， 当，时，，所以， 故，即，所以函数在上单调递减； 当，时，，所以， 故，即，所以函数在上单调递增. （2），即， 即，存在，使得成立. 令，，.所以存在，成立. 所以，. 又，所以当时，， 所以，即. 17．已知幂函数的图象经过点. (1)求的值； (2)若函数， ①判断的奇偶性，并证明； ②判断的单调性，并证明． 【答案】(1)； (2)①奇函数，证明见解析；②在上单调递增，证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，代入求出. （2）求出函数的解析式，再利用奇偶性定义、单调性定义推理即得. 【详解】（1）由幂函数的图象经过点，得， 所以. （2）由（1）知，则，定义域为， ①函数是奇函数， 由于，所以是奇函数. ②函数在上单调递增， 任取，且，， 因为，则，即，， 所以函数在上单调递增，同理得在上单调递增. 18．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． (1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 【答案】(1)，该设备从第2年开始实现总盈利； (2)方案二更合适，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果； （2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断. 【详解】（1）由题意可得， 由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利． （2）方案二更合理，理由如下： 方案一：由（1）知，总盈利额， 当时，取得最大值160， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得， 平均盈利额为 ， 当且仅当，即时等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元． 综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适． 19．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值. （2）结合函数的定义以及反证法进行判断. （3）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值，从而确定正确答案. 【详解】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 若函数为函数， 所以，即， 解得. （2）函数不是P函数，理由如下： 在上递增， 因为m，n为整数，由题意可知，即， 令，即，解得， 假设函数为P函数， 则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n， 所以函数不是P函数； （3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 因为关于x的不等式的解集恰为 所以，即 将①代入③得，， 又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意， 综上所述，存在实数使得函数为P函数. 【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但也是围绕 “新定义”去列式. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$