第二十七章 相似 重难点突破 学案 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 突破1 平行线分线段成比例 类型一 构平行线→用平行线等分线段 1.(2024荆门)如图,在边长为6 的正方形 ABCD 的外侧,作△ADE,使 EA=ED=5.若 F 为BE 的中点,连接AF 并延长,与CD 相交于点G,则AG 的长为 . 2.(2024新洲)如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B 是切点,过半径OB 的中点 C 作( 交 PA 于点 D.若 ,则⊙O的半径为( ) 类型二 构平行线→用平行线分线段成比例 3.(2023南通)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,点 F 在CD 的延长线上, 过点 E 作. 垂足为G，连接DG. (1)求 的度数； (2)若 求 的值. 突破2 相似三角形的判定 类型一 首选“AA” 1.(2024硚口期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D 分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°.求证:△ABE∽△ECD. 2.(2024武汉外校)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边AB,AC 上,∠AED=∠B,AG 平分∠BAC,线段 AG 分别交线段DE,BC 于点 F,G. (1)写出图中所有相似的三角形； (2)从(1)中选出一对相似三角形加以证明. 类型二 相似转相似 3.(2024枣阳)如图,BD,CE 是△ABC 的两条高.求证:△ADE∽△ABC. 4.(2024襄阳期中)如图,在 Rt△ABC 中, 点 M,N 分别在边AB,AC 上,且MN∥BC,现将△AMN 绕点A 逆时针旋转到△ADE 位置,连接 BD 和CD.若∠BAC=∠ADC,MN=3,CD=9,求线段 BD 的长. 突破3 相似三角形的性质(一) 证比例式或等积式 类型一 等积式变比例式 1.(2024襄阳一模)如图,F 是平行四边形ABCD 边BC 上一点,射线 AF 交对角线BD 于点E,交 DC 的延长线于点G.求证： 类型二 代换一条线段 2.(2024中考模拟)如图,在等边. 中，D 是AB 上的一点，且 于点E,连接BE.求证: 类型三 代换二条线段 3.(2024 中考模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 是对角线CA 延长线上一点,线段 BE 绕点B 顺时针旋转 至 BG,连接CG. (1)求证: (2)连接EG 交AD 于点 F.若. 求证： 突破4 相似三角形的性质(二) 相似比 类型一 周长比 1.(2024二中广雅)如图,∠A=∠C,∠1与∠2互补. (1)求证:AB∥EC; (2)若 直接写出△ABF 与 的周长之比为 . 类型二 面积比 2.(2024新洲)如图,AE 和BD 相交于点C, (1)求证: (2)若C 是BD 的中点, 直接写出 的值为 . 3.(2024中考模拟)如图,在 中， 的顶点D,E 分别在边AB,AC上,顶点F,G 在边 BC 上.若 求 的值. 突破5 相似三角形的性质(三) 求线段比 类型一 平行线求比值 1.(2024襄阳一模)如图,AD 是 的中线，E是AD 上一点，过点 C 作 交 BE 的延长线于点G,交 AC 于点 F.若. 求 的值. 类型二 相似求比值 2.(2024中考模拟)如图,在中,E,F 分别在边AB,BC 上,M 是边AD 上的一点.若 求 的值. 类型三 等线段代换求比值 3.(2024江汉一模)如图,在 中， ,E 为AB 的中点, 于点G,交 AC 于点 F.求 的值. 4.(2024中考模拟)如图,在 中， 点E 在AC上, 于点P,连接AP 并延长交BC 于点 D.求证: 类型四 设参解形求比值 5.(2024武汉一模)如图,D 是等边. 的BC 边上一点,直线 EF 分别与AB,AC 交于点E,F,交 AD 于点 P,且 (1)求 的值； (2)求 的值. 6.(2024江夏期中)如图,在正方形ABCD 中,点 E 在AD 上,连接BE,将 沿BE 翻折得到 ,延长 BF,EF 分别交AD,CD 于点 H,G. (1)求证:( (2)若G 为CD 的中点,求 的值. 突破6 相似三角形的性质(四) 求线段长 类型一 利用相似比求边长 1.(2024襄阳模拟)如图,正方形 ABCD 的边长为10,P 是边AB 上一点,以 DP 为对角线作正方形DEPQ,连接AQ.当正方形 DEPQ 的面积为68时,求AQ 的长. 类型二 相似，勾股求边长 2.(2024黄陂期中)如图,在菱形ABCD 中, 点E 在AD 上,连接BE,将 沿直线BE 翻折得到 BF 交AD 于点 H ,延长 EF,CD 交于点G. (1)求证: (2)若 求BH 的长. 突破7 相似模型(一) A型与X型 类型一 用 X型相似 1.(2023雅安)如图,在 中,F 是AD 上一点,CF 交BD 于点E,CF 的延长线交BA 的延长线于点G，I ,则GF 的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 类型二 作平行线构X型 2.(2023烟台)如图,C 为线段AB 上一点,作等腰 和等腰 在线段 EC上取一点F，使 连接BF,DE. (1)求证:DE=BF; (2)若AD=2,BF 的延长线恰好经过DE 的中点G,求 BE 的长. 类型三 作平行线构A型相似 3.(2023硚口)(1)如图1,在四边形 ABDC 中,点 F,E,G分别在AB,AD,AC 上, 求证： (2)如图2,AM 是 的中线,点 E 在AM 上,直线 BE 交AC 于点G,直线 CE 交AB 于点F.若 求 的值. 突破8 相似模型(二) 仿A、X型 类型一 用仿 X形 1.(2023泰安)如图,在△ABC中,AC=BC=16,点 D 在AB 上,点 E 在BC 上,点 B 关于直线DE 的对称点为点B'，连接 ,分别与AC 相交于点F,G.若AF=8,DF=7,B'F=4,则 CG 的长为 . 类型二 构仿X形 2.(2023外校)(1)如图1,在四边形ABCD 中,AC,BD 交于点E,其中△ABE∽△DCE.求证:△ADE∽△BCE; (2)如图2,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D 是AB 的中点,E,F 是BC 上两点,AE 交DF 于点G,若 求 的值. 类型三 用仿 A型 3.(2023七一华源期中)如图,在矩形 ABCD 中,E 为AD 边上一点,且AD=8,AB=6.将△AEB 沿BE 翻折得到△BEF,延长 EF 交BC 于点G,延长 BF 交CD 于点 H.若 FH=CH,求AE 的长. 突破9 相似模型(三) 子母相似 类型一 用子母相似 1.(2024美加外校)如图,在 中， ,点 D,E 在边 AB 上,且 ,过点 B 作AB 的垂线,交 CE 的延长线于点 F. (1)求证:( (2)当 时,求 BF 的长. 类型二 构子母相似 2.(2024中考模拟)如图,E 为菱形 ABCD 的边 AB 上一点,点 F 在CE 上,且 (1)求证: (2)作 于点H， 求 DE 的长. 突破10 相似模型(四) 射影定理 类型一 设参求比值 1.(2023江岸)问题背景:(1)如图1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D.求证: 尝试应用：(2)如图2，在 中， ,E为BC 中点, 于点D,BD 的延长线交AC 于点F,求 的值. 类型二 给参求比值 2.(2023武昌一模)在中， , D 是AC 的中点,连接 BD,过点 C 作 交BD于点E,交AB于点F. (1)如图1,当n=1时,直接写出 的值为 ； (2)如图2,求 的值(用含n 的式子表示). 突破11 相似模型(五) 一线三等角 类型一 用一线三等角 1.(2024中考模拟)如图,在矩形ABCD 中,E为AB 的中点,EF⊥DE 交BC 于点F,连接DF. (1)求证:△ADE∽△BEF; (2)G为AD 上一点,若CF=2AG,求 的值. 类型二 构一线三等角 2.(1)如图1,在△ABC 中,∠ACB=90°,直线l过点C,分别过A,B 两点作AE⊥l,BD⊥l,垂足分别为 E,D.求证:△BDC∽△CEA; (2)如图2,在▱ABCD 的边 BC 上取点E,使得∠AED=90°.若 求□ABCD 的面积. 突破12 相似模型(六) 十字架 类型一 构斜三角形相似 1.(2024中考模拟)如图,在 中， 点 E 在 BC 上,点 F 在 AC 上 n, 交AB于点D.求 的值. 类型二 构直角三角形相似 2.(2024二中广雅)如图,在 中， . N 为AC 上一点, 交BC于点M.若 求 的值. 突破 13 相似模型(七) 旋转相似 类型一 构旋转相似 1.(2024华一寄宿)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC 下方一点,且∠ADC=45°,CE 平分∠BCD,交AD 于点 E,连接 BD. (1)求证:AE=AC; (2)F 为AB 的中点,连接CF,EF.若AC=5,当△FCE∽△BCD 时,求AD 的长. 类型二 分类讨论 2.(2023洪山)(1)如图,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD 的延长线于点M.求 的值及∠AMB 的度数； (2)在(1)的条件下,将△OCD 绕点O在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点M,若OD=1, 请直接写出当点 C 与点 M 重合时AC 的长. 突破14 相似与圆(一) 无切线 类型一 A 型相似 1.如图,BC 为⊙O 的直径,AB 为⊙O 的弦,D 为 的中点,AD 交 BC 于点 F.若 AB=4,则 的值为 . 类型二 母子相似 2.(2022六中上智)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O, ,连接 BD,延长AD,BC 交于点 E. (1)求证: (2)若 求 BC 的长. 类型三 射影定理 3.(2024青山)如图,A,B,C,D分别为⊙O 上一点,连接AB,AC,BC,BD,CD, 于点E ,连接CO 并延长交BD 于点 F. (1)求证: (2)若 求⊙O 的半径. 突破15 相似与圆(二) 有切线 类型一 构A型相似 1.(2022中考模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点, 于点C,交⊙O于点E,CD 与BA 的延长线交于点 F,且 BD 平分 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 求 DF 的长. 类型二 母子型相似 2.(2024福建中考)如图,在 中， ,以 AB 为直径的⊙O 交BC 于点I 垂足为E，BE 的延长线交 于点F. (1)求 的值； (2)求证: (3)求证:AD 与EF 互相平分. 突破16 相似与抛物线(一) 线段比 类型一 构A型相似 1.(武汉四调)如图，抛物线 分别交x轴于A，B两点(点A 在点B 的左边)，交y轴正半轴于点C，过点 A 作CB 的平行线AE 交抛物线于另一点E，交y轴于点D，若 3AD,求c 的值. 类型二 构相似 2.(2024七一中学)已知抛物线 交x轴于A,B 两点(点 A 在点B 的左侧),交 y轴于点C. (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)过点 H(0,1)作直线 l,交抛物线于K,G 两点(点 K 在点G 的左侧),分别过点 A,C 作 垂足分别为M，N.若( 求点 G 的横坐标. 突破17 相似与抛物线(二) 角度 类型一 等角 1.(2024湖北中考)二次函数 的图象交x轴于点 和B,交 y 轴于点C. (1)求b的值; (2)如图，M为函数图象上一点，满足. 求点 M 的横坐标. 类型二 直角 2.(2024武汉中考)如图，抛物线 交 y轴于点C，点D 与点O 关于点 C 对称，过原点的直线交抛物线于 E，F两点(点E 在第三象限)，直线 DE 交抛物线于另一点G，若 求直线 DE 的解析式. 突破18 与相似有关的无刻度直尺画图 类型一 相似放缩法 1.(武汉中考改)如图是由小正方形组成的网格，矩形 ABCD 的顶点都是格点.先画△ABD 的高AE，再过点 C 画BD 的平行线. 类型二 相似取分点 2.(2024腾云联盟)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都是格点.先在AC上画点D,使CD=3AD,再画BD 的中点E. 类型三 等角构相似 3.(2024武珞路中学)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都是格点.先在AB 上画点D,使 BD=3AD,再在 AB 上画点E,使△ACE∽△ABC. 类型四 先算后画 4.(2024江岸)如图是由小正方形组成的网格，梯形 ABCD 的顶点A，B 是格点,边CD 经过格点E,F. 在AB 上画点H,使得△ADH 与△BCH 相似，画出所有符合条件的点 H. 类型五 相似破对称 5.(2024硚口)如图是由小正方形组成的网格，A，B，C，D 都是格点，在BC 上画点 P,使得 AP+PD 的值最小. 类型六 线段分点比的计算与平行 6.(武汉五调)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)将边 BC 绕点C 顺时针旋转 90°得到线段 DC; (2)画边 AC 的中点E; (3)连接 DE 并延长交BC 于点F，直接写出 的值； (4)在 AB 上画点G,连接FG,使 FG∥CD. 类型七 作分点得面积比 7.(2022武昌)如图是由边长为1的小正方形构成的6×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC 的顶点在格点上，边BC上的点D 也是一个格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. (1)在图1中,先画出 AC 的平行线DE 交AB 边于点E,再在 BC 边上画点 F,使△ACF∽△BCA; (2)在图2中,先在边AB 上画点M,使△MDC 与△MAC 的面积相等,再在边AC上画点N,使△CDN 的面积是△ABC 的面积的三分之一. 类型八 作平行得面积比 8.(2022三寄宿)如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示. (1)在图1中,先在边AB 上画点F,使BF=3AF,再在边 BD 上画点G,使 (2)在图2中,在对角线 BD 上画点H,使CH⊥BD,再在直线CH 上取一点 P,使AP+BP的值最小. 学科网（北京）股份有限公司 $$