第二十八章 锐角三角函数 重难点突破 学案 2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十八章 锐角三角函数 突破1 求三角函数值 类型一 等角转换 1.(2024武汉三初)如图,PA,PB 分别与⊙O 相切于点A,B,直线 PO 与⊙O交于点C,D,连接DA,DB.若CD=3CP,则 sin∠ADB 的值为 . 2.(2023济宁改)如图,△ABC 是边长为6 的等边三角形,点 D,E 在边 BC 上.若. 且∠DAE=30°,则 tan∠CAE 的值为 . 3.(2023中考模拟)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边AD 上,把 沿直线 BE 翻折，得到 ,BG 的延长线交CD 于点F,且 F 为CD 的中点,连接CG.若点E,G,C 在同一条直线上,则 cos∠DEC 的值为 . 4.(2023武钢实验)如图,在矩形 ABCD 中, ,H 是AB 的中点,将 沿CH折叠,点 B 落在矩形内点 P 处,连接AP,则 tan∠HAP 的值是 . 类型二 直接作垂线 5.(2023 中考模拟)如图,点 D 在钝角△ABC 的边 BC 上,连接 AD,∠B =45°,∠CAD =∠CDA,CA:CB=5:7,则∠CAD 的余弦值为 . 6.(2024外校)在△ABC 中,AH 是BC 边上的高,CD 是AB 边上的中线,AB=10,AH=6.若 则 tan∠DCH 的值为 . 类型三 间接作垂线 7.(2024七一中学改)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°(AC>BC),三角形的角平分线 AD,BE相交于点F.若 则 tan∠CAD 的值为 . . 类型四 构造等角 8.(2023武昌六校联考)如图,在△ABD 中,∠A=90°,若BE=mAC,CD=mAB,连接BC,DE交于点F,则 cos∠BFE 的值为 . 突破2 知三角函数值 类型一 作垂线 1.(2022二中广雅)如图,在 中，延长斜边 BD 到点 C，使 连接AC，若 则 的值为 . 2.(2024武钢实验)如图,在正方形 ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是边AB 上的一点,连接CE,CF.若 则正方形 ABCD 的边长为 . 类型二 构相似(全等) 3.(2024二中广雅改)如图,在四边形 ABCD 中, 若 则 的值为 . 4.(2022汉阳)如图,在 中， ,D,E 分别在AB,AC 上,连接 BE,CD 交于点F.若 则 的值是 . 突破3 图形拼接与锐角三角函数值 类型一 面积关系+勾股 1.(2022七一华源)如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”.若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则tanθ的值是 . 类型二 面积关系+方程 2.(2021江岸)如图,用8个全等的 分别拼成如图1和图2 中的两个正方形，中间的两个小正方形的面积分别记为 和 且 则 tanA 的值为 . 3.(2021东湖高新)点 E,F 分别是图1中矩形 ABCD 的边AB,CD 的中点( 沿虚线剪为四块，拼成如图2无缝隙无重叠的平面图形，已知阴影部分的面积是空白面积的8倍，则 的正切值是 . 类型三 面积关系+相似 4.(2022武昌)如图是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，直线 AB 过点 P，并把图形分成上下面积相等的两部分，则 的值是 . 类型四 特殊图形+构全等 5.(2022三初)在△ABC 中,AB=AC,G,F分别为AB,BC 的中点,AG=2AD=2EC,连接EG,DF,将△ABC 分成四块(如图1中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ),且四块图形恰好能拼成如图2的矩形,则 tanB 的值为 . 类型五 特殊图形十分类讨论 6.(2021中考模拟)如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,AD 的中点,M 是AB 上的一点,AB=5，BC=8，分别沿 ME，MF 两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形(不能有重叠和缝隙)，则拼成的等腰三角形的底角的正切值为 . 7.(2022中考模拟)如图，有一张面积为10的△ABC纸片，AB=AC，把它剪两刀拼成一个矩形(如图虚线所示，无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与AB 平行，所拼得矩形的周长为13，则sinA 的值为 . 类型六 翻折变换十等比代换 8.(2023成都)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,CD 平分∠ACB 交AB 于点 D,DE∥BC 交AC 于点E,将△DEC 沿 DE 折叠得到△DEF,DF 交AC 于点G.若 则 tanA 的值为 . 突破4 “a+ kb(k≠1)”型——“胡不归”最值问题 类型一 “a+ kb(k<1)”型 1.(2023外校)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,tanA=3,CD⊥AB 于点D,E 是线段CD 的一个动点，则 的最小值是 . 2.(2023光谷实验)如图,在△ABC 中, , P 为AC 边上的一个动点(不与A,C重合)，连接BP，则 的最小值是( ) A. B. D.2 类型二 型 3.(2023二中广雅)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D 是线段BE上的一个动点，则 的最小值是 . C 4.(2024武珞路中学)如图,在 中， )为BC 边上的一动点,连接AD,则( 的最小值为 . 突破5 与锐角三角函数有关的无刻度直尺画图 类型一 分点构比值 1.(2024外校五调)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都是格点.先将线段 AC 绕点A 顺时针旋转 90°得到线段 AD，再在AB 边上画点 P，使得 2.(2024江汉)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都是格点. 先将线段 CA 绕点C 逆时针旋转90°得到线段 CD，再在 BC 上画点E，使得 类型二 等距构比值 3.(2024八十一中)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都是格点.先将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BD，再在BC 上画点E，使得 类型三 正弦转正切 4.(2024外校五调)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都是格点.先将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AD，再在AC 上画点E，使得 类型四 等角转化法 5.(2024腾云联盟)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都是格点.先在 AB 上画点 F，使得 再在 BC 上画点G,使得∠BFG=∠BCF. 突破6 圆与三角函数(一) 作垂径构直角 类型一 作垂径 1.(2022光谷实验)如图，在等边 中,点O 在边 BC 上,以 OC 为半径的⊙O 交AC 于点D,过点 D 作 于点E. (1)求证:DE 为⊙O 的切线; (2)连接AO交DE 于点F,若( 求 的值. 类型二 连弧的中点与圆心得垂径 2.(2023洪山)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D,E 是 的中点,BE交AC于点F, (1)求证:BC是⊙O 的切线; (2)若 求 的值. 突破7 圆与三角函数(二) 用直径构直角 类型一 见直径连直角 1.(2022江岸)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 为⊙O的切线,AC 交⊙O 于点D, BE 交AC 于点 F. (1)求证: (2)若 求 tanC 的值. 类型二 作直径构直角 2.(2024苏州中考)如图, 中， D为 AB 的中点, ⊙O 是 的外接圆. (1)求 BC 的长; (2)求⊙O 的半径. 突破8 圆与三角函数(三) 用切线构直角 类型一 单切线→连圆心与切点 1.(2024武珞路中学)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,过点 C 作⊙O 的切线交AB的延长线于点 D,连接AC,BC. (1)求证:∠BCD=∠CAB; (2)若 求 BD 的长. 2.(2023南充)如图,AB 与⊙O 相切于点A,半径 ,BC 与⊙O 相交于点D,连接AD. (1)求证: (2)若 求OC 的长. 类型二 双切线→连圆心与切线交点 3.(2023华一寄宿)如图,在 中， ,点 D 在以AB 为直径的⊙O 上,且CD 为⊙O 的切线,AD,BC 交于点E,求 的值. 突破9 圆与三角函数(四) 等角转换 类型一 作垂径→圆周角转圆心角 1.(2023中考模拟)如图,△ABC 内接于⊙O,CD⊥AB 于点 D,已知AD=4,BD=8,tan∠ACB=2,求CD 的长. 类型二 同弧或等弧→圆周角转圆周角 2.(2024达州中考)如图,BD 是⊙O 的直径,四边形 ABCD 内接于⊙O,连接AC,且AB=AC,以 AD 为边作∠DAF=∠ACD 交BD 的延长线于点 F. (1)求证:AF 是⊙O 的切线; (2)过点 A 作AE⊥BD 于点E,若CD=3DE,求 cos∠ABC 的值. 类型三 同角(等角)的补角→圆外角转圆心角 3.(2024武汉模拟)如图,⊙O 的弦AB,CD 的延长线交于点P,且AB=CD. (1)求证:PB=PD; (2)连接AD,若 求⊙O 的半径. 突破10 三角函数与抛物线小综合 类型一 知线段关系求三角函数值 1.(2023中考模拟)如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A，B，与y轴交于点C. (1)若抛物线的对称轴为直线. 求a 的值； (2)若 求 的值. 类型二 知坐标关系求三角函数值 2.(2024七一中学改)如图，已知抛物线 P(m,n)是第四象限抛物线上的一动点，过点 P 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点 Q. (1)直接写出点 Q 的坐标(用含 m 的式子表示)； (2)M是抛物线上的一点，其横坐标为 连接 MQ.当 时， 的大小是否发生变化? 若不变，请求出 的值；若变化，请说明理由. 类型三 知三角函数求参数值 3.(2023中考模拟)如图，抛物线 经过 两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式(用含 a 的式子表示)； (2)连接AB,BC,若 求a 的值. 类型四 知三角函数求坐标 4.(2022七一中学)如图，抛物线 与x轴交于A,B 两点(A 在B 的左侧),与 y 轴交于点C. (1)连接AC,BC,求 的面积； 为x轴上一点，在第四象限的抛物线上有一点G，连接 PG 交线段AC 于点D，当 时，求点G 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$