第16讲函数的奇偶性（3种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第16讲 函数的奇偶性（3种题型+2个易错点+过关检测） 知识点一、函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 设函数y=f(x)的定义域为A 如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数 如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 知识点二、函数奇偶性的判断 1. 判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法：   注意：如果直接判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)比较困难时，可以研究其等价形式，即判断f(x)±f(-x)是不是0或 ( f(x)≠0)是不是±1. (2)图象法： (3)函数奇偶性的运算性质： 　　设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，在它们的公共定义域上具有的结论如表所示： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 注意：在f(g(x))中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 2. 分段函数奇偶性的判断 判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量，再向对称区间转化，并进行双向验证. 若函数在x=0处有定义，则还要验证f(0)，即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征，也可以作出函数图象，结合对称性判断. 知识点三、函数奇偶性的应用 1. 利用函数的奇偶性求参数的值 　　若函数解析式中含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，利用待定系数法求参数；若定义域中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数. 2. 利用函数的奇偶性求函数值 　　由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值. 3. 利用函数的奇偶性求函数的解析式 (1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上. (2)把-x对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得f(-x). (3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x)，从而求出f(x). 知识点四、函数奇偶性与单调性的综合应用 1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 　　利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用图象的对称性把自变量转化到同一个单调区间上，再根据函数的单调性比较函数值的大小. 3. 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)< f(x2)的形式，再根据函数的单调性列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响. 题型1：函数奇偶性概念的理解 【例题1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列四个命题： ①偶函数的图像一定与轴相交； ②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称． 其中正确的命题是（　　） A．③ B．④ C．②③④ D．①②③ 【变式1】（21-22高一上·四川成都·阶段练习）关于函数，，下列说法正确的有（    ）个 （1）若该函数为奇函数，则必有 （2）若该函数是偶函数，则它的图象必与y轴相交 （3）若该函数在区间I上是单调函数，则 （4）若该函数的最大值为M，最小值为m，则它的值域为[m，M] A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上 ，即在对称区间上单调性 ．符号相同 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的是 ．（填序号） ①对于函数，若，则是奇函数； ②若是奇函数，定义域为，则； ③若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数． 题型2：函数奇偶性的判断 【例题2】（24-25高一上·吉林四平·期中）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是 函数． 【变式3】（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）已知函数，且其定义域为. (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； 题型3：函数奇偶性的应用 【例题3】（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知为R上奇函数，当时，，则（   ） A．8 B． C．0 D．2 【变式1】（20-21高一上·天津南开·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数是奇函数，且，则 ．（填“>”或“<”） 【变式3】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象并写出函数的解析式； (2)根据图象写出函数的单调递减区间： (3)根据图象写出使的的取值集合. 易错点1：忽略函数的定义域而致错 【例题1】．（高一上·河南信阳·期中）函数f（x）＝的奇偶性为（　　） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【变式1】（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数在定义域内的最大值为M，最小值为m，则（　） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错点2：未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 【例题2】（24-25高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 【变式1】（21-22高一上·陕西西安·期中）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 【变式3】（23-24高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知a为实数，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·江苏南通·期中）设函数，若，则（   ） A． B． C．3 D．5 6．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．在上单调递减 C．是奇函数 D．的值域是 11．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 三、填空题 12．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 14．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是 四、解答题 15．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)求不等式的解集. 16．（2024高一上·江苏·专题练习）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)当时，求函数的解析式. 17．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 19．（23-24高一上·云南·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断当时函数的单调性，并用定义证明； (3)若定义域为，解不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 函数的奇偶性（3种题型+2个易错点+过关检测） 知识点一、函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 设函数y=f(x)的定义域为A 如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数 如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 知识点二、函数奇偶性的判断 1. 判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法：   注意：如果直接判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)比较困难时，可以研究其等价形式，即判断f(x)±f(-x)是不是0或 ( f(x)≠0)是不是±1. (2)图象法： (3)函数奇偶性的运算性质： 　　设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，在它们的公共定义域上具有的结论如表所示： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 注意：在f(g(x))中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 2. 分段函数奇偶性的判断 判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量，再向对称区间转化，并进行双向验证. 若函数在x=0处有定义，则还要验证f(0)，即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征，也可以作出函数图象，结合对称性判断. 知识点三、函数奇偶性的应用 1. 利用函数的奇偶性求参数的值 　　若函数解析式中含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，利用待定系数法求参数；若定义域中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数. 2. 利用函数的奇偶性求函数值 　　由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值. 3. 利用函数的奇偶性求函数的解析式 (1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上. (2)把-x对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得f(-x). (3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x)，从而求出f(x). 知识点四、函数奇偶性与单调性的综合应用 1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 　　利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用图象的对称性把自变量转化到同一个单调区间上，再根据函数的单调性比较函数值的大小. 3. 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)< f(x2)的形式，再根据函数的单调性列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响. 题型1：函数奇偶性概念的理解 【例题1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列四个命题： ①偶函数的图像一定与轴相交； ②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称． 其中正确的命题是（　　） A．③ B．④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】举反例可以判断①②③，根据偶函数的定义，可以判断④. 【详解】对于①，函数是偶函数，但其图象不与轴相交，故①错误； 对于②，函数是奇函数，但其图象不通过原点，故②错误； 对于③，函数也既是奇函数，又是偶函数，故③错误； 对于④，根据偶函数的定义，偶函数图象关于轴对称，故④正确； 故选：B. 【变式1】（21-22高一上·四川成都·阶段练习）关于函数，，下列说法正确的有（    ）个 （1）若该函数为奇函数，则必有 （2）若该函数是偶函数，则它的图象必与y轴相交 （3）若该函数在区间I上是单调函数，则 （4）若该函数的最大值为M，最小值为m，则它的值域为[m，M] A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值、值域等知识确定正确答案. 【详解】（1），若该函数为奇函数，但，则没有，（1）错误. （2）函数是偶函数，但图象与轴不相交，（2）错误. （3）单调区间是定义域子集，（3）正确. （4）函数，，最大值为，最小值为，但是值域不是，（4）错误. 所以正确的有个. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上 ，即在对称区间上单调性 ．符号相同 【答案】 单调递减 相反 【分析】略 【详解】略 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的是 ．（填序号） ①对于函数，若，则是奇函数； ②若是奇函数，定义域为，则； ③若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数． 【答案】②③ 【分析】根据奇偶性的性质直接判断. 【详解】①当时，，即，此时为偶函数，所以①错误； ②若是奇函数，定义域为，则，②正确； ③若函数为偶函数，则函数的图像关于轴对称， 若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数，③正确； 故答案为：②③. 题型2：函数奇偶性的判断 【例题2】（24-25高一上·吉林四平·期中）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合奇偶函数的定义，根据常见函数的奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且，故是奇函数； 对于B，函数的定义域为，关于原点不对称，是非奇非偶函数； 对于C，函数的定义域为，且，故是奇函数； 对于D，函数的定义域为R，，是偶函数. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数奇偶性的概念，当时，为偶函数，当时，为奇函数，则由函数是偶函数可排除B，C，D，再判断选项A中函数的单调性即可． 【详解】对于A，因为，所以是偶函数， 当时，设，则， 所以， 所以在上单调递减，故A正确； 对于B，因为，所以是奇函数，故B错误； 对于C，因为，所以是奇函数，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，故D错误. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是 函数． 【答案】奇 【分析】由奇函数的定义即可解答. 【详解】由题意，，且的定义域为， 所以在上一定是奇函数. 故答案为：奇 【变式3】（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）已知函数，且其定义域为. (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减. 题型3：函数奇偶性的应用 【例题3】（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知为R上奇函数，当时，，则（   ） A．8 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：因为为R上奇函数， 所以， 又因为当时，， 所以. 故选：B. 【变式1】（20-21高一上·天津南开·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案. 【详解】为奇函数，故， ， 又，在上单调递减， 故当时，，此时不合要求， 当时，，此时，满足要求， 由对称性可知，在上单调递减， 故当时，，此时满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数是奇函数，且，则 ．（填“>”或“<”） 【答案】> 【分析】运用奇函数的定义和性质解题即可. 【详解】函数是奇函数，且， 则， 又因为，， 则. 故答案为：>. 【变式3】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象并写出函数的解析式； (2)根据图象写出函数的单调递减区间： (3)根据图象写出使的的取值集合. 【答案】(1)作图见解析 (2)和 (3)或 【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可, 根据函数的奇偶性即可直接求出函数的解析式； （2）由图象写出单调递减区间； （3）由图象写出使的x的取值集合即可. 【详解】（1）由题意,结合奇函数的性质，作出函数图象如图所示. 因为当时，， 所以当时，则，有， 由为奇函数，得， 即当时，， 所以函数的解析式为. （2）由图可知，单调递减区间为和. （3）由图可知，使的x的取值集合为或. 易错点1：忽略函数的定义域而致错 【例题1】．（高一上·河南信阳·期中）函数f（x）＝的奇偶性为（　　） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】先求出定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数． 【详解】f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]， 所以f（x）=-=-f(-x) ∴f（x）为奇函数． 故选A． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，属中档题． 【变式1】（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数在定义域内的最大值为M，最小值为m，则（　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先求出函数定义域，化简得到，令，，得到为奇函数，从而得到，进而得到. 【详解】由题意得，解得， 故，定义域为， 令，， 则， 故为奇函数，所以， 故，即. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 【答案】既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数化简，再根据奇偶性的定义分析判断. 【详解】由，得，解得， 所以函数定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 因为，且， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 故答案为：既是奇函数又是偶函数 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数． 【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称，且， 又，， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （4）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 易错点2：未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 【例题2】（24-25高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 【答案】C 【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反求解即可. 【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以， 则在上是增函数且最小值为， 故选：C 【变式1】（21-22高一上·陕西西安·期中）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在单调递减，且，从而可得当或时，，当或时，，然后分和求出不等式的解集 【详解】因为奇函数在上单调递减，且， 所以在单调递减，且， 所以当或时，，当或时，， 当时，不等式等价于， 所以或，解得， 当时，不等式等价于， 所以或，解得或， 综上，不等式的解集为， 故选：A 【变式2】（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【分析】直接根据图像以及奇函数的对称性可得答案. 【详解】根据图像可得在上的单调增区间为，单调减区间为， 又函数为奇函数， 由奇函数在对称的区间上单调性相同得： 在上的单调增区间为，单调减区间为. 故答案为：， 【变式3】（23-24高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令即可证； （2）令并代入题设关系式，结合奇偶性定义即可证； （3）令得，再由偶函数性质确定区间单调性，应用奇偶、单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，得证； （2）为偶函数，证明：令，则， 因为定义域为R，所以函数为偶函数； （3）由题设，令得， 由（2）得：函数为偶函数，且在上递增，则在上递减， 所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，且当时，，即函数在上是增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，C不满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，D满足要求. 故选：D. 3．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性，单调性结合题意可得答案. 【详解】因奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，. 得；. 则或. 故选：C 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知a为实数，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由是奇函数， 则，即， 即， 所以，即， 所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高一上·江苏南通·期中）设函数，若，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由可得，代入的表达式得解. 【详解】将代入解析式可得， 则. 故选：B． 6．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及函数的单调性脱去法则求解即得. 【详解】由是上的偶函数，得， 又在区间上单调递减，则，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：D 7．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，由，对分和讨论，利用函数单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】为奇函数， ，且函数在轴两侧单调性相同， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减 则对于求解集，使用分类讨论思想： （1）当，，，且在区间上单调递增， ； （2）当，，，且在区间上单调递增， . 综上所述：， 故选：C． 8．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】逐项判断各个函数的奇偶性及在上的单调性即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 10．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．在上单调递减 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】ACD 【分析】对A，求出函数的定义域判断；对B，由反比例函数单调性判断；对C，求出的解析式判断；对D，由函数解析式求值域判断. 【详解】对于A，由，得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为可以看成是函数向右平移1个单位得到， 所以在和上单调递减，故B错误； 对于C，因为，所以是奇函数，故C正确； 对于D，因为，所以的值域为，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 【答案】 【分析】当时，可得，根据偶函数的性质可知，当时，由可得，进而可得. 【详解】当时，得， 又函数是定义在上的偶函数， 故当时，由可得， 综上的解集为， 故答案为： 13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据奇偶性可得到结果. 【详解】因为为奇函数，则，所以 则，即， ， 故答案为：. 14．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是 【答案】或 【分析】根据函数的奇函数，单调性与零点等特征，求的解集即可. 【详解】解：因为是奇函数，，且在内是增函数， 所以，且在内是增函数， 因为， 所以①当时，原不等式可化为， 又在内是增函数，所以， ②当时，原不等式可化为， 又在区间上是增函数，所 ③当时，，与矛盾， 所以不是不等式的解， 综上，的解集是或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用奇函数的性质求函数解析式. （2）分情况先求时不等式的解集，在根据函数的奇偶性确定时的解集. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以有， 令，则，， 又因为 所以， 对照可得:，， 所以 （2） 当时，，即或， 或 解得 无解 所以时，不等式解集为； 当时，因为函数为奇函数，所以有的解集为； 综上有：不等式的解集为或. 16．（2024高一上·江苏·专题练习）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)当时，求函数的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）先设时，，根据已知函数式及奇函数定义可求. 【详解】（1）因为时，函数的式为， 所以， 因为为上的奇函数， 所以； （2）证明：设，则， 所以， 因为时，， 则， 所以， 所以在上是减函数； （3）当时，， 则， 所以. 17．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 18．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)3； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 19．（23-24高一上·云南·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断当时函数的单调性，并用定义证明； (3)若定义域为，解不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）判断函数的奇偶性只要用定义的方法即可； （2）用定义法，作差即可； （3）解函数不等式，必须要用函数的基本性质即单调性和奇偶性. 【详解】（1）函数为奇函数．证明如下： 定义域为， 又， 为奇函数； （2）函数在为单调增函数．证明如下： 任取，则 ， ，即，，， ∴ ，， ， 即， 故在上为增函数； （3）由（1）、（2）可得， 则，解得：， 所以，原不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$