精品解析：北京市十一未来城学校2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年第一学期昌平区北京十一未来城学校初二年级期中质量抽测数学试卷 本试卷共4页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 16 的平方根是( ) A. 8 B. 256 C. ±4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义以及性质求解即可． 【详解】16 的平方根是 故答案为：C． 【点睛】本题考查了平方根的问题，掌握平方根的定义以及性质是解题的关键． 2. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，根据题意解得答案． 【详解】解：依题意得x+2≠0， ∴x≠-2． 故选B． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握：当分母不为0时，分式有意义． 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此作答即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各式从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 6. 如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可. 【详解】， ， ， ， 因为0.268＜0.732＜1.268， 所以 表示的点与点B最接近， 故选B. 7. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为，用，表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键；等式两边先同时乘以180，再除以即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 8. 当分别取，，，，…，，，，1，，，…，，，，时，分别计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式运算中的规律，当时，；当时，，故，根据对称性计算即可． 【详解】当时，； 当时，， 故， 根据规律得1012个零的和，仍是0， 故选B． 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 移项得： 即的取值范围是． 10. 当_____，分式的值为零． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分子为零即可求解． 【详解】依题意可得， 解得x=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查分式的值为零，解题的关键是熟知分式的值为零时的条件：分子为零，分母不为零． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】分式分子分母分别平方，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据分式的乘法运算，可得答案． 【详解】解： 故答案为：． 13. 若关于的方程的解为，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解和解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键；把代入方程，求出a即可． 【详解】解：关于的方程的解为， ， 解得：， 经检验，是方程的解， 的值是， 故答案为：． 14. 请列举一个a的值，使不成立，举例：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合题意，举一个反例，满足的数即符合题意． 【详解】依题意使不成立， ， 当时，， 当时，不成立． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 15. 把如图①中的长方形分割成A，B两个小长方形，现将小长方形B的一边与A重合，另一边对齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图①中原长方形的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形B的长为a，宽为b，表示大正方形边长：a+b，进而求出a+b=，也就得出图①中原长方形的周长． 【详解】解：设矩形B的长为a，宽为b， ∵C是正方形， ∴C的边长为b， ∴大正方形边长：a+b， ∵大正方形的面积为5， ∴a+b=， ∵图①中的长方形的周长为：（a+b+b+a）×2=4（a+b）， ∴图①中原长方形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义，根据题意列式计算是解题关键． 16. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为________； ②计算：_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． ①根据已知可得，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； ②利用①的结论可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算． 利用算术平方根、立方根和绝对值化简后，再进行加减法即可． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 19. 已知，求代数式的值. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母，得， 解此方程，得， 经检验，是原分式方程的根． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验． 21. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性、算术平方根的定义等知识． 根据非负数性质得到，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴ 22. 某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【答案】通道的面积为平方米 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可． 【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米， 平方米， 小矩形花坛的长为米，宽米， 小矩形花坛的面积为平方米， 通道的面积为平方米． 23. 先化简，再求值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 24. 已知一个正数的两个不相同的平方根是和． （1）求的值． （2）求的立方根． 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，以及立方根的定义． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出方程，求出a的值，再求出m的值即可； （2）先求出，再根据立方根定义，即可解答． 【小问1详解】 解：∵正数m的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 25. 列方程解决问题： 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某商店销售大、小两种规格的“龙辰辰”，已知大号“龙辰辰”的单价比小号“龙辰辰”贵50元，若顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，求大号、小号“龙辰辰”的单价各是多少？ 【答案】大号“龙辰辰”的单价为100元，则小号“龙辰辰”的单价为50元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：大号“龙辰辰”的单价为100元，则小号“龙辰辰”的单价为50元． 26. 已知：． （1）当时，判断与0的关系，并说明理由； （2）设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 【答案】（1） 当时，．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）①；0或1或3 【解析】 【分析】x本题考查了分式的四则运算及解分式方程．熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程的方法步骤，分类讨论，是解题的关键． （1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用对分子分母分式的正负性质计算讨论即可； （2）①把M、N代入整理得到；②根据，x，y都是整数，可知可以取1，2，3，4．，求出对应的x值为3，1，，0，符合的有0，1，3． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①依题意，得：． 故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数， ∴y可以取1，2，3，4． 当时，， 解得，符合； 当时，， 解得，符合 ； 当时，， 解得，不合，舍去； 当时，， 解得，符合． 综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3． 故答案为：0或1或3 27. 阅读理解： 转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： （1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； （2）仿照以上方法，解方程：； （3）代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3） 不能； 理由：， 原方程变形得， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 【解析】 【分析】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键． （1）根据方程解的定义把代入方程，解关于a的无理方程即可； （2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解； （3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， 两边平方得， 解得， 经检验，是方程的解； 【小问2详解】 解：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， ∴原方程的根是； 【小问3详解】 略 28. 我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为完美分式方程，则____，____． （2）已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 【答案】（1），； （2）；7 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （）类比题目中“完美分式方程”的答题方法即可求解． （）结合运用“完美分式方程”得到，，将变形，整体代入即可求解； 先求出q的范围，再将原式变形为，结合运用“完美分式方程”，代入即可求解． 【小问1详解】 解： 可化为， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 由已知得，， ∵，， ∴； 解：由已知得完美分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴当， ∴， 当时，的值最小， ∴最小值为； 当时， ∴， 则当时，最小值为， ∵此时， 则，符合题意； 综上所述最小值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期昌平区北京十一未来城学校初二年级期中质量抽测数学试卷 本试卷共4页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 16 的平方根是( ) A. 8 B. 256 C. ±4 D. 4 2. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为，用，表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 当分别取，，，，…，，，，1，，，…，，，，时，分别计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2023 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 10. 当_____，分式的值为零． 11. 计算：________． 12. 计算：____． 13. 若关于的方程的解为，则的值是____． 14. 请列举一个a的值，使不成立，举例：____________． 15. 把如图①中的长方形分割成A，B两个小长方形，现将小长方形B的一边与A重合，另一边对齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图①中原长方形的周长为_________． 16. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为________； ②计算：_______． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知，求代数式的值. 20. 解分式方程：． 21. 若，求的值． 22. 某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 23. 先化简，再求值，其中． 24. 已知一个正数的两个不相同的平方根是和． （1）求的值． （2）求的立方根． 25. 列方程解决问题： 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某商店销售大、小两种规格的“龙辰辰”，已知大号“龙辰辰”的单价比小号“龙辰辰”贵50元，若顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，求大号、小号“龙辰辰”的单价各是多少？ 26. 已知：． （1）当时，判断与0的关系，并说明理由； （2）设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 27. 阅读理解： 转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： （1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； （2）仿照以上方法，解方程：； （3）代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 28. 我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为完美分式方程，则____，____． （2）已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $